Eigen value & Eigen vektor

1. Eigen value & Eigen vektor

2. Hubunganantaravektorx (bukannol) denganvektorAx yang beradadiRnpadaprosestransformasidapatterjadiduakemungkinan : 1) Tidakmudahuntukdibayangkanhubungankeduanya. 2) Keduanya, mempunyaihubungangeometri yang cukupjelas.

3. Definisi : JikaterdapatsuatumatrikAberukurann x ndanvektortaknolxberukurann x 1, xRn, makadapatdituliskan : Ax : vektorberukuran n x 1 λ : skalarriil yang memenuhipersamaan, disebutnilaieigen (karekteristik) x : vektoreigen Ax = λx

4. Cara menentukan nilai eigen dari A : Untukmencarinilaieigendarimatrik A yang berukuran n x n yang memenuhipersamaan : Ax = λxdapatditulissebagai : Ax = λIxatauekivalen : (λI – A)x = 0 Sistempersamaantersebutmemilikijawabbukannol (singular), jikadanhanyajika : Inidisebutsebagaipersamaankarakteristik (polinomialdalam λ)

5. Contohsoal : 1. Buktikanvektoradalahvektoreigendaridantentukannilaieigennya! Jawab : Untukmembuktikannyadilakukandengancaramengali-kanmatrikdenganvektor, sehinggadiperolehhasilkelipatandarivektoriatusendiri. vektor eigen nilai eigen

6. Carilahnilaieigendari : Jawab : Persamaankarakteristik : = (λ)(λ-2)(λ-3)+2(λ-2) = (λ-2) (λ(λ-3)+2)=0 = (λ-2)(λ-2)(λ-1)= 0 Nilai-nilaieigen: 1 dan 2

7. Cara menentukan vektor eigen dari A : • Banyaknyanilaieigenmaksimalnbuah. Untuksetiapnilaieigendapatdicariruangsolusiuntukx denganmemasukkannilaieigenkedalampersamaan : (λI – A)x =0 • Ruangsolusi yang diperolehdisebut : ruangeigen. Dari ruangeigen yang bersesuaiandengannilaieigentertentudapatdicari minimal sebuahbasis ruangeigen yang salingbebas linier. • Vektoreigen yang berhubungandengan λ adalahvektor-vektortidaknoldalamruangeigen.

8. Contohsoal : • Tentukan basis dariruangeigen : Jawab : Dari hasilperhitungansebelumnyadiperolehnilaieigen A adalah 1 dan 2. Dengansubstitusi λ=1 kepersamaan : (λI-A)x = 0 diperoleh :

9. ~ ~ Basis dariruangeigen yang berhubungandenganλ=1 adalah :

10. Untuk λ=2 : Basis dariruangeigen yang berhubungandengan λ=2 adalah : dan

11. 2. Carilahnilai-nilaieigendan basis-basis untukruangeigendari : Jawab : Persamaankarakteristik : det (λI – A)= 0 (λ-3)(λ) – (1)(-2)=0 λ 2- 3 λ + 2 = 0 Nilaieigen : λ1 = 2, λ2 = 1

12. Ruangvektor : Untuk λ1 = 2 diperoleh : -x1 – 2x2 = 0 x1 + 2x2 = 0 Jadivektoreigendari A yang bersesuaiandengan λ adalahvektortaknol : Jadiuntuk λ=2, basisnyaadalah : x1 = –2x2

13. 3.

16. 4.

17. Catatan : • Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah nilai eigen = λ, maka akan memiliki nilai eigen λk. • Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak n juga, maka basis ruang eigennya tetap sama. • Tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n (terjadi jika ada nilai eigen yang saling berlawanan tanda), maka salah satu nilai eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang berbeda

18. Misalkan :

19. Contohsoal : Tentukannilaieigendanvektoreigendari A5, bila: Jawab : Nilaieigendari A5adalahnilaieigendari A dipangkatkan 5 sehinggadiperoleh : 25dan 65. Sedangkanvektoreigenuntukλ =25 tetapsamadenganvektoreigenλ = 2 yaitu : Serta vektoreigenuntukλ =65samasepertiλ = 6 yaitu :

20. Padacontohini, untuk λ=1 memilikidua basis ruangeigen yang berasaldarinilaieigen -1 dan 1. • Karenaberasaldariduanilaieigen yang berbeda, maka basis ruangeigennyajugamengalamisedikitperubahan basis yaitu basis ruangeigendengan λ= -1 • Basis ruangeigeninimerupakanvektorproyeksidariterhadapvektor Dalamhalini basis ruangeigenuntuk λ= -1 dibuatsaling orthogonal

21. Diagonalisasi Definisi : Suatumatrik A berukuran n x n disebutdapatdidiagonalisasijikaterdapatmatrik P yang memilikiinverssehinggadiperolehmatrik diagonal : Pmatrikn x n disebutmatrik yang mendiago-nalisasiAdengankolom-kolomnyamerupakankolomdari basis ruangeigenA. Dmerupakanmatrik diagonal yang elemendia-gonalnyamerupakansemuanilaieigendariA D = P-1AP.

22. Cara menentukan P • Jika matrik A ukuran n x n mempunyai n vektor eigen bebas linier {x1, x2, …., xn} berhubungan dengan n nilai eigen {λ1, λ2, ….., λn} kemudian didiagonalisasi matrik P, maka formulasi matrik P adalah: • Jika D adalah matrik diagonal ukuran n x n dan D = P-1AP, maka : • Nilai λ1, λ2, ….., λn tergantung pada nilai x1, x2, …., xn P=[x1, x2, ….., xn]

23. Langkah-langkah yang digunakanuntukmendia-gonalisasisuatumatrikadalahsebagaiberikut : • Tentukan n buahvektoreigen yang salingbebas linier dari A, misalkan p1, p2, …., pn • Bentukmatrik P yang isinyaadalah p1, p2, …., pnsebagaivektorkolomnya. • Hasil kali P-1AP adalahmatrik diagonal dengan λ1, λ2, …., λnadalahnilaieigen yang sesuaidenganvektoreigen p1, p2, …., pn

24. Catatan : • Tidaksemuamatrikbujursangkardapatdidiagonali-sasi, tergantungdarijumlah basis ruangeigen yang dimiliki. • Jikamatrik n x n : basis ruangeigen yang bebas linier = n, dapatdidiagonalisasi. < n, tidakdapat. • Saatmatrik n x n memilikinilaieigensejumlah n, maka basis ruangeigennyajugaberjumlah n. • Saatmatrik n x n jumlahnilaieigenkurangdari n, makaada 2 kemungkinanyaitu basis ruangeigenjugaberjumlah n ataukurangdari n • Jadipadasaatjumlainilaieigensamadengan n, makamatrikdapatdidiagonalisasi, sedangkanpadasaatnilaieigenkurangdari n, makamatrikbelumbisaditentukanbisaatautidakdidiagonalisasi.

25. Contohsoal : 1. Carilahmatrik P yang dapatmendiagonalisasimatrik Jawab : Dari perhitungansebelumnyadiperolehbahwa : Basis ruangeigen yang berhubungandengan λ= 1 adalah : Basis ruangeigen yang berhubungandengan λ= 2 adalah : danmatrikdiagonalnya !

26. Diperoleh basis ruang eigen dari A : Maka : Dan matrik diagonal : D=P-1AP=

27. 2. Diketahui : Tentukanmatrik yang mendiagonalisasi A danmatrikdiagonalnya ! Jawab : Dari perhitungansebelumnyadidapatkannilaieigen : - 1, 1 dan 2 dengan basis ruangeigen yang bersesuai-an berturut-turutadalah :

28. Jadimatrikpendiagonal P bisaditentukansebagai : Kolom-kolompadamatrik P bisadiubah-ubahurutannyasehinggaterdapat 6 matrik yang memenuhijawaban. Matrik D tentusajajugamengikutiurutandarimatrik P denganmatrik diagonal :

29. matrik Apakahmatrik C dapatdidiagonalisasi ? 3.

32. Diagonalisasi ortogonal Definisi :matrikbujursangkar P disebutmatrikortogonalapabilaberlakuPT = P-1 Matrik A dapatdidiagonalisasisecaraortogonaljikaterdapatmatrik P yang ortogonalsehingga : P-1AP=D dengan D adalahmatrik diagonal.

33. Berbedadengandiagonalisasisebelumnya, matrik yang dapatdidiagonalisasiatautidakdijabarkansebagaiberikut : • P-1AP = D • PDP-1 = A • PDPT = A (darisifat PT = P-1 ) ………………(1) • (PDPT)T = AT (keduaruasditransposekan) • PDPT = AT ….………………………………………………(2) Dari persamaan 1 dan 2 disimpulkanbahwa agar supayamatrik A dapatdidiagonalisasisecaraortogonal, makamatrik A harusmemenuhisifat A = AT ( A harusmatriksimetri)

34. Menentukan matrik P yang mendiagonalisasi secara ortogonal • Samasepertisaatmenentukan P pada diagonal biasayaitudidasarkanpada basis ruangeigen. • Misalkan : x1, x2, …., xnmerupakan basis ruangeigen yang bersesuaiandengannilaieigen λ1, λ2, ….., λn, kemudianu1, u2, …., unmerupakanhimpunanortonormalhasiltransformasidari x1, x2, …., xndenganhasil kali dalamEuclides, makamatrik yang mendiagonalisasisecaraortogonaladalah : P = [u1, u2, …., un] danmatrikdiagonalnyaadalah D

35. ContohSoal :

37. Latihansoal : • Carilahsemuanilaieigen yang bersesuaiandenganvektoreigendarimatrik : 2. Tentukanmatrik P yang dapatmembuatmatrikmenjadimatrik diagonal !