1 / 37

VEKTOR

VEKTOR. DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA. CROSS Product. DEFINISI CROSS PRODUCT. Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut  antara keduanya.

randall-schmidt
Télécharger la présentation

VEKTOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

  2. CROSS Product

  3. DEFINISI CROSS PRODUCT • Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut  antara keduanya. • Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

  4. Hasil Cross pada Vektor basis • i x i = j x j = k x k = 0 • i x j = k • j x k = i • k x i = j i j k j x i = - k k x j = -i i x k = -j

  5. DEFINISI CROSS PRODUCT • Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k) = u1i x (v1i + v2j + v3k) + u2j x (v1i + v2j + v3k) + u3z x (v1i + v2j + v3k) = ( u2v3-u3v2)i + (u3v1-u1v3)j + (u1v2- u2v1 )k

  6. Atau dalam notasi determinan :

  7. Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : • u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) • v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) • u x v = - ( v x u ) • u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) • ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) • k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) • u x u = 0

  8. Contoh Soal • Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

  9. HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL • Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel. • Tanda kurung sangat mempengaruhi : • ( i x i ) x j = 0 • i x ( i x j ) = i x k = - j

  10. Latihan C  • Diketahui segitiga ABC Buktikan b a   A B c

  11. DIFERENSIAL, GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

  12. TURUNAN BIASA VEKTOR • Misalkan R (u) merupakan sebuah vektor yang bergantung pada sebuah variabel u, maka : • Dimana R menunjukkan suatu pertambahan dalam variabel u

  13. Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap variabel u diberikan oleh : • Turunan untuk orde lebih tinggi dari turunan diatas dinyatakan oleh :

  14. Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yang menghubungkan titik asal O dari suatu sistem koordinat dan sebarang titik (x,y,z), maka : • Fungsi vektor r(u) mendefinisikan x,y,z sebagai fungsi-fungsi dari u • Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva ruang yang memiliki persamaan-persamaan parameter :

  15. Maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) yang dinyatakan oleh :

  16. Vektor Variable Waktu • Jika u adalah waktu (t), maka menyatakan kecepatan v sepanjang kurva, • Turunan dari kecepatan terhadap waktu (t) menyatakan percepatan (a) sepanjang kurva

  17. RUMUS DIFERENSIASI

  18. CONTOH 1 • Sebuah partikel bergerak pada lengkung C, yang mempunyai persamaan parameter : x =e-t , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3 t dengan t adalah waktu. • Tentukan kecepatan dan percepatan setiap waktu • Hitung besarnya kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0

  19. JAWAB • Vektor posisi r dari partikel ditulis : r = x i + y j + z k r = e-t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k • Kecepatan = - e-t i - 6 sin 3t j + 6 cos 3t k • Percepatan = e-t i - 18 cos 3t j - 18 sin 3t k • Untuk t = 0 maka v = -i + 6k a = i – 18 j

  20. CONTOH 2 • Sebuah partikel bergerak pada lengkung x=2t2 , y=t2-4t , z=3t-5 dengan t waktu. Tentukanlah komponen dari kecepatan dan percepatan untuk t=1 dalam arah i – 3j +2k

  21. Jawab

  22. GRADIEN • Misalkan f=f(x,y,z) terdefinisikan dan diferensiable pada tiap-tiap titik (x,y,z) didalam suatu daerah tertentu , maka gradien f (grad f) didefinisikan oleh : •  f Mendefinisikan sebuah medan vektor • Komponen dari f dalam arah sebuah vektor-satuan a diberikan oleh f.a dan disebut turunan arah dari f pada arah a.

  23. Untuk permukaan (x,y,z)=C, maka   merupakan vektor tegak lurus permukaan (x,y,z)=C Contoh : Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada permukaan x2y + 2 xz = 4 di titik (2,-2,3)

  24. Jawab Vektor n yang tegak lurus pada permukaan (x,y,z)=x2y + 2 xz = 4 ditentukan oleh :

  25. DIVERGENSI • Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka divergensi dari V (.V) didefinisikan oleh :

  26. CURL • Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka curl atau rotasi dari V didefinisikan oleh :

  27. Contoh • Jika A=x2y I -2xz j + 2yz k, hitunglah curl A dan div A Curl A =  x A

  28. Div A =   A

  29. SOAL (PR) • Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut • Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC

  30. Jikadan Tentukan : • Jikadan Tentukan : padatitik (2,-1,1)

  31. Suatuvektor V dikatakanirrasionaljika curl V = 0. Tentukannilaia,b,c, pada sehinggavektor V dikatakanirrasional • Jika dan , tentukan :

  32. SELESAI

More Related