Vektor

1. Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

2. Susunan Koordinat Ruang-n a. Ruangdimensisatu (R1) R O P E A Titik O mewakilibilangannolditulis O(0), titik E mewakilibilangan 1 ditulis E(1). P(2/5) artinya P mewakilibilangan 2/5 dan P diletakkankearah E (arahpositip) sehingga OP = 2/5 satuan.

3. b. Ruang dimensi dua (R2) Setiap pasangan bilangan riel (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua, ditulis R2.

4. c. Ruang dimensi tiga (R3)

5. d. Ruangdimensi n (Rn) SecaraumumuntukRnadalahpengembanganlebihlanjutdari R3dengan n adalahbilanganbulatpositip, makasuatutitikdidalamRndinyatakansebagai n-urutanbilangan riel. Contoh : Titik X (x1, x2, ……….xn)

6. GeometridanAljabarVektor VektordalamBidang (R2) BidangKartesian : x, y Definisi : garis yang memilikiarah, yang menyatakanperpindahansatutitik (A) ketitik yang lain (B). Notasi : Titik A : titikawalatauekor Titik B : titikakhirataukepala Y B A x

7. Kumpulan titik-titik dalam bidang merupakan kumpulan vektor yang berpangkal pada titik awal di titik asal O. Pada umumnya untuk menyatakan vektor dengan menggunakan koordinat. Contoh : titik A=(3,2), maka penulisan vektor a = =(3,2) vektor b = =(-1,3) vektor c = =(2,-1) B A O C

8. Penjumlahan vektor

9. Mengikutihukum : • Komutatif :

10. Assosiatif :

11. Vektoradalahvektor yang memilikibesaran yang samadenganvektortetapiberlawananarah, biladijumlahkanakanmenghasilkan :

12. Komponen vektor • merupakanproyeksivektorpadasumbusistemkoordinat Komponenvektor: disebut komponen skalar atau komponen

13. Penjumlahan vektor dengan komponen , setiapkomponensamadengankomponen

14. Besar vektor : Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : Dalil sinus : β c a α γ b

15. Vektor satuan: KoordinatKartesius Vektorsatuanpadaarahpositifsumbux, ydanzdiberitanda :

16. Kita dapattulisvektordansebagaiberikut : disebut komponen vektor

17. Perkalian vektor : • Perkalianvektordenganskalar : Jikavektordikalikandenganskalarsakanmenghasilkanvektorbarudenganbesarnilai absolute sdenganarahjikaspositif, danberlawananarahjikasnegatif. Vektordibagidengansberartikitamengkalikandengan 1/s. • Perkalianvektordenganvektor : • Menghasilkanskalar : Scalar Product Dikenalsebagai : Dot product

18. Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = I . k = 0 i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k ; j x i = - k i x k = - j ; k x i = j k x j = - i ; j x k = i

19. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : Scalar product berlaku hukum komutatif Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

20. Menghasilkan vektor : Dengan besar c adalah : Besaran ditulis jika dan maksimum jika

21. Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor dikenal sebagai hukum tangan kanan.

22. Penulisan dalam vektor satuan : Hasil akhir :

23. Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan

24. Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2

25. Vektordalamruang (R3) • Penjumlahan vektor dengan komponen vektor satuan

26. Contoh : Diketahuiujungvektor A terletakpadatitik (2,2,2), vektor B padatitik (1,2,3) danmasing-masingberpangkaldititik (0,0,0) padaruangkartesius 3 dimensidibawahini :

27. Jawab : Vektor a dan b diuraikan pada sumbu x, y dan z

29. Perkalian titik (dot product)

30. Jikav = (v1, v2, v3) danw = (w1, w2, w3) adalah 2 vektortak nol. Dan θadalahsudutantaravdanw, makahukumcosinusmenghasilkan :

33. Perkaliansilang (cross product) Definisi : Jikav = (v1, v2, v3) danw = (w1, w2, w3) adalah 2 vektordiR3 makahasil kali silangnyaadalah : v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1) Ataudalamnotasimatrik

34. Contoh : Carilah u x v dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Jawab :

37. Vektor di ruang dimensi n (Rn)

38. Contoh soal : 1 Duabuahvektorbertitiktangkapsamasalingmengapitdengansudut . Jikabesarvektor dua kali vektordan , hitung ! Jawab :

39. 2 Duabuahvektor yang besarnya 8 dan 15 satuansalingmengapitdengansudut 45. Hitungbesarresultannyadansudutantararesultandenganvektorpertama. Jawab : Sudutantararesultandenganvektorpertamadapatdicaridengan 2 cara : dalilcosinusataudalil sinus DalilCosinus : Dalil Sinus : v2 r 450 v1 v2 v2 r r v1 v1 1350

40. 3 Diketahui 3 buahvektor • Hitungbesarvektordansudutantaravektorinidengansumbuz • jika . Hitungjugasudutantaravektor ! • Jawab : • Sudutantaradengansumbuz : men”dot” kandenganvektorsatuanarahsumbu z. • Sudutantaradiperolehdenganmen”dot”kankeduanya.

41. 4.Suatu vektora dalambidangxymempunyaibesar 5 satuandanarahnyaterhadapsumbuxpositif. Vektorb mempunyaibesar 4 satuandanarahnyasearahsumbuy. Hitungbesarperkaliantitikdanperkaliansilangkeduavektortersebut. Jawab : Sudutterkecilantarakeduavektortersebutadalah: Sehinggadiperoleh :

42. Soal Latihan :