Download
vektor n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
VEKTOR PowerPoint Presentation

VEKTOR

506 Views Download Presentation
Download Presentation

VEKTOR

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

  2. Pengertian Dasar • Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah • Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor • Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal

  3. Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan v = PQ • Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama) • Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

  4. Penjumlahan Vektor

  5. Pengurangan Vektor • Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a +(-b)

  6. Skalar dikalikan Vektor Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0

  7. Operasi Vektor di R2

  8. Operasi Vektor di R2 CONTOH : Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka : v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3) v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7) 5v = 5 (3,-2) = (15,-10)

  9. Operasi Vektor di R2 • Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka • P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)

  10. Panjang Vektor • Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan • Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah

  11. CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2 • Salah satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik • Terdapat tiga Komponen Daya Listrik • Daya Kompleks (S) -- VA • Daya Aktif (P) -- Watt • Daya Reaktif (Q) -- VAr P = (x,0) Q = (0,y) S = P + Q = (x,y)

  12. Power Factor Correction

  13. Panjang Vektor di R-3

  14. Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah :

  15. DOT PRODUCT

  16. ORIENTASI RUANG • Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x • Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y • Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z Triple i,j,k disebut vektor basis Setiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k

  17. Definisi • Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan  adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :

  18. Contoh Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :

  19. Jikau, vdanwadalahvektordiruangdimensi 2 atau 3, dankmerupakanskalar, maka:

  20. i.i=1 j.j=1 k.k=1 • i.j=0 j.k=0 k.i=0

  21. VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH • Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan. • ux = u.i = 1 x 1 cos  = cos  dengan  adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x. • uy = cos  • uz = cos 

  22. VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH • Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka : Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :

  23. Sudut antar Vektor

  24. Contoh Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v. u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

  25. Resume sudut Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan  adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka : •  lancip , jika dan hanya jika u.v > 0 •  tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0 •  tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0

  26. PROYEKSI ORTHOGONAL • w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a Dinyatakan dengan : proyau • w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau

  27. Formula Proyeksi

  28. w1=ka • u= w1 + w2 = ka + w2 • u.a = (ka+w2).a = k + w2.a • Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0

  29. Panjang Komponen Proyeksi

  30. Contoh • Carilah rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0 • Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q

  31. SOAL Vector • Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w • Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) • Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) • Carilah semua skalar sehingga dimana v = (1,2,4)

  32. SOAL Dot Product • Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul atau ortogonal • u=(7,3,5) v=(-8,4,2) • u=(1,1,1) V=(-1,0,0) • u=(6,1,3) v=(4,0,6) • u=(4,1,6) v=(-3,0,2) • Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya • carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : • u=(-7,1,3) v=(5,0,1) • u=(0,0,1) v=(8,3,4)