Download
slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Geometri Vektor (Garis dan Bidang) PowerPoint Presentation
Download Presentation
Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

681 Views Download Presentation
Download Presentation

Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

  2. 1. DuaDimensi (R2) • PersamaanGaris Untukmembentukpersamaangarisdiperlukan minimal duatitik. Garismerupakantempatkedudukantitik-titik. Jikasuatugarismelaluititik A (xA,yA)dantitik B (xB,yB), makatentunyaadatitik P (x,y) yang terletakpadagaristersebut. Secaravektordituliskan : p-a = k(b-a) p = kb-(k-1)a AP = k AB

  3. Jadi titik P mempunyai koordinat : x = k(xB – xA) + xA y = k(yB – yA) + yA Dengan mensubstitusikan nilai k, maka diperoleh : Persamaan garis secara umum dinyatakan : dengan : juga ditulis : y = mx + c disebut : gradient/kemiringan

  4. Persamaan garis juga dapat ditulis : Atau : Contoh : Buktikan bahwa vektor normal n dari garis : ax + by + c = 0 adalah (a,b). (yB – yA)x + (xB – xA)y + (xAyB – yAxB) = 0 ax + by + c = o

  5. Jawab : Persamaangarisdapatdigambarkandalamkoordinatkartesiussepertiberikut :

  6. Sudutantaraduagaris Jikasudutgarisg1dengansumbuxadalahα, sedangkansudutgarisg2dengansumbux adalahβ, makasudutperpotongangarisnyaadalah : (β – α) denganθ = sudutantara 2 garis Olehkarenaitu : = θ g1 g2

  7. θ = 0o tan θ = 0o, m1 = m2 2 garis // • θ = 90o tan θ = ~ 1+ m1m2= 0 ataum1m2 = – 1 Sudut istimewa : Contoh : Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis berikut : x + y – 2 = 0 dan 2x – y + 3 = 0 Jawab : Langkah awal yang dilakukan adalah mencari gradien : x + y – 2 = 0 y = – x + 2, makam1= –1 2x – y + 3 = 0 y = 2 x + 3, makam2= –1

  8. Dengan mensubtitusikan m1 danm1ke rumus sudut antara 2 garis yang berpotongan, maka diperoleh :

  9. Jaraktitik P(xP, yP) yang beradadiluargaris g1 yang mempunyaipersamaan ax+ by + c = 0 adalah : • Jarak titik terhadap garis Perhatikan :

  10. Titik A terletakpadagaris g1, makaaxA + byA + c = 0 sehinggadidapatkanc =– axA – byA Jadijaraktitikterhadapsuatugarisadalah :

  11. Contoh : Tentukan jarak antara garis x – y + 3 = 0 dan garis y = x + 2 Jawab : Gambar kedua garis tersebut sebagai g1 dan g2.(g1 //g2) Misalkantitik P(2,4) beradapadagaris g2, makajaraktitik P kegaris g1samadenganjarakgaris g1ke g2. Denganmenggunakanrumusjarakdiperoleh :

  12. 2. TigaDimensi (R3) • PersamaanGaris Titik A (xA,yA,zA) dantitik B (xB,yB,zB) terletakpadasatugaris. Jikatitik P (xP,yP,zP) terletakditengah titik A dan B, secaravektordituliskan :

  13. Jadipersamaangaris yang melaluititik A dantitik B dituliskandalambentukpersamaanparametrik : Contoh : Tentukanpersamaangaris yang melaluititik (2,-1,0) dan (1,-1,1). xP = k(xB– xA) + xA yP = k(yB– yA) + yA zP = k(zB– zA) + zA

  14. Jawab : Gunakanpersamaangarismelaluikeduatitiktersebut . x = k(xB– xA) + xA = k(2 – 1)+2= k + 2 yP = k(yB– yA) + yA = k(– 1–(–1)+(–1) = k – 1 zP = k(zB– zA) + zA = k(0 – 1)+ 0= – k Persamaangarisdiruang 3 dimensiadalahpersamaanparametrik. Variabel A dan B dapatditukar, yang membedakanadalaharahgarisnya Perhatikan :

  15. Persamaanbidang Bidangmerupakansuatupermukaandatar. Untukmembentuksuatupersamaangarisdibutuhkan 2 titik, sedangkanuntukmembentukpersamaanbidangdibutuhkan 3 titikatausatutitikdanvektor normal daribidangtersebut. Jikaterdapatsatubidang yang melaluititik P (xP,yP,zP) danmemilikivektor normal n = (a,b,c), makabilainginmencaripersamaandaribidangtersebutdiperlukansuatutitiksembarang Q(x,y,z) yang terletakpadabidangtersebut.

  16. Dari definisibahwavektor normal tegaklurusterhadapbidang, maka PersamaanUmum, dengan :

  17. Contoh : Tentukanpersamaanbidang yang melaluititik (1,2,1) danmemilikivektor normal (-1,2,3). Jawab : Langsungdigunakanpersamaanumumdenganmensubstitusivektor normal : Untukmencarinilai d, dilakukansubstitusititik (1,2,1) kepersamaan, karenatitiktersebutterletakdibidang. Maka : Jadipersamaanbidang yang dicariadalah :

  18. Bagaimana mencari persamaan bidang jika yang diketahui adalah 3 buah titik? Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(-1,2,1), B(2,1,1) dan C(-2,-1,3). Jawab : Substitusikan koordinat dari 3 titik itu ke dalam persamaan umum, sehingga diperoleh 3 persamaan dengan 4 variabel yaitu : Cara 1.

  19. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh : a = 1/10 d, b = 3/10 d dan c = ½ d Persamaan bidang yang dicari adalah :

  20. Cara 2. Mencarivektor normal ndenganmenggunakanperkaliansilangvektorABdanvektorBC.

  21. Jaraktitikterhadapbidang Vektor normal n padabidangax + by + cz+ d = 0 dapatditulissebagai (a,b,c). Titik A(xA, yA) beradadiluarbidang, sedangkansembarangtitik P(x,y,z) padabidang, sehingga : D : jaraktitik A kebidang

  22. Persamaan yang digunakanuntukmencarijaraksuatutitikkebidang yang telahdiketahuipersamaannya.

  23. Contoh : Tentukanjaraktitik (2,1,1) kesuatubidangdenganpersamaan 3x – y – 2z + 5 = 0 Jawab : Gunakanpersamaan :

  24. Sudutantaraduabidang Jika 2 bidangsalingberpotongan, makadalammenentukansudut yang terbentuksamahalnyasepertimencarisudutantara 2 garis. Persamaanbidang P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Jikakoefisien : a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, makaada 2 kemungkinanyaitu : 1. Bidangberhimpitbila d1 = d2, 2. Bidangsejajarapabila d1≠d2,

  25. Jikakoefisientidakmempunyainilai yang sama, makakeduabidangpastiberpotongan. Vektor normal bidang P1adalah N1(a1,b1,c1). Vektor normal bidang P2adalah N2(a2,b2,c2). Denganperkaliantitikkeduavektor normal tersebutdapatdiperolehsudutantara 2 bidang, yaitu :

  26. Contoh : Tentukansudut yang dibentukolehbidang-bidangdenganpersamaanberikutini : P1 : 2x –3y + 2z –4 = 0 P2 : x + y + z –3 = 0 Jawab : Vektor normal P1: (2, –3,2) dan P2: (1,1,1).

  27. Tidaksepertimenghitungjaraktitikterhadapgarispadadimensidua, karenapersamaangarisnyaberbeda. Olehkarenaitu, diperlukanbantuansatutitik (Q) yang terletakpadagaris g1 sedemikiansehinggajikadihubungkandengantitik yang diketahui(P) akansalingtegaklurus • Jarak titik terhadap garis Jadijarak P terhadap g1 = jarakantaraduatitik P dan Q (PQ)

  28. Contoh : Tentukanjaraktitik (2,3,-1) kegaris g1denganpersamaan x = 2t-1; y = t-3; z = t. Jawab : Misalkantitik Q padagaris g1dengankoordinat (2t-1, t-3, t), maka :

  29. Jadi :

  30. Vektor kode dan modul aritmatika Sistemtitikdangaris Kode yang familier : Morse Era digital : semua data dikirimsecaraelektronikdenganjumlahbanyak, cepatdanakurat. Vektordigunakanuntukmendeteksikesalahanpadapengiriman data, bahkanjugadapatmembetulkankesalahan. Komputerdirancanguntukmengolah data denganangka 0 dan 1 (binary)

  31. KodeBiner Data angka 0 dan 1 dapatdiartikansebagai: Mati/hidup, tutup/buka, salah/benaratautidak/ya. Hukumpenjumlahandanperkalianbiner : 1 : ganjildan 0 : genap. Hukumdiatasmerupakanjumlahdan kali bilangangenapdanganjil

  32. modul 2 bilangan Vektorbinerdenganpanjang n Kumpulan bilangan {0,1} ditulis : Z2 Vektordalam Contoh : (0,0), (0,1), (1,0) dan (1,1) Berapakahjumlahvektor : ? Contohsoal : Vektor U=[1,1,0,1,0] dan V=[0,1,1,1,0] merupakanduavektorbinerdenganpanjang 5. Tentukan U.V ! Jawab : U.V= 1.0 + 1.1 + 0.1 + 1.1 + 0.0 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 0

  33. Pesan dalam bentuk kata, simbul ataupun angka dikirimkan sebagai vektor biner. Kode biner Encoding : proses merubah pesan ke dalam vektor kode Decoding : proses merubah vektor kode ke dalam pesan Kumpulan vektorbinerdenganpanjang yang sama.

  34. Kodedeteksikesalahan Pesansebagaikumpulanvektorkodebinerdikirimmelaluisaluransepertipemancar radio, telepon, fiber optikatau CD. Dalampengirimanadakemungkinanterjadikesalahanpembacaanakibatadanyajalur yang sibuk, interferensi, kotorataurusak. Beberapaangka 0 berubahmenjadi 1 atausebaliknya. Bagaimanacaranyamengatasimasalahini ?

  35. Digunakan 4 vektorbinerdalam Contoh : sebagaikodebineruntukmengirimpesan : naik, turun, kiridankanan. Ditabelkansebagaiberikut : Jikatidakterjadikesalahan, makaproses decoding : trivial Misalkanterjadikesalahantunggalsepertipesanturundengankode[0,1] komponen 0 berubahjadi 1, sehinggaditerimanya [1,1] yang berartikanan. Dalampraktek, tidakmungkinterjadibanyakkesalahan.

  36. yang ditabelkanberikutini Untuk mencegah kesalahan tunggal, penulisan pesan menggunakan kode dalam Jika terjadi kesalahan tunggal seperti pesan turun dengan kode[0,1,1], 1 komponen berubah, sehingga diterimanya [1,1,1] atau [0,0,1] atau [0,1,0], maka tidak ada yang cocok dengan vektor yang tersedia. Inilah yang disebut dengan kode deteksi kesalahan.

  37. Penggunaan kode deteksi kesalahan harus memiliki kesamaan dengan kode awalnya (parity check code) yaitu dengan menambahkan komponen ekstra yang disebut angka pengecek (check digit) sehingga setiap vektor mempunyai kesamaan ( jumlah total angka 1) adalah genap. Contoh : Vektor biner [1,0,0,1,0,1] jumlah angka 1 ganjil, ditambah dengan angka pengecek 1 agar jumlahnya genap, sehingga vektor berubah menjadi [1,0,0,1,0,1,1] Jika terjadi kesalahan pada komponen ke 3 sehingga vektor yang diterima [1,0,1,1,0,1,1] dengan jumlah angka 1 menjadi ganjil. Bagaimana caranya untuk menormalkan kembali ?

  38. Anggappesansebagaivektorbiner : b =[b1, b2, ……….,bn] dalam Vektorkodepengecek : v =[b1, b2, ….,bn, d] dalam dengan d adalahbilanganpengecek yang dipilih : b1+ b2 +……….+ bn+ d = 0 dalam Z2 Ataubentuk yang sama : 1 . v = 0 1 = [1,1…….1] vektorsemuakomponen 1 Jikavektor yang diterimaadalah v’dan 1. v’ = 1, makadipastikanterjadikesalahan check vector

  39. ModulAritmatika : Vektordengankomponenkumpulanbilanganterbatas (0,1,2, ………k) untuk k≥2, langkah yang harusditempuhadalahpengembangandaribiner. modul 3 bilangan = {0, 1, 2} Z3

  40. Contoh : Hitung 2 + 2 + 1 + 2 dalam Z3 Jawab : Jumlahkan 2 + 2 + 1 + 2 = 7, selanjutnyadibagi 3 , tentunyaadasisa 1. Jadi : 2 + 2 + 1 + 2 = 1 dalam Z3 Cara yang lebihbaikadalahdikerjakandenganbentukperhitungandalam Z3 2 + 2 + 1 + 2 = (2 + 2) + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = (1 + 1) + 2 = 2 + 2 = 1 Atau (2 + 2) + (1 + 2) = 1 + 0 = 1 Cara 1. Cara 2.

  41. Secaraumum : Zm = (0,1,2, ……..,m-1) : modul integer m : vektorsusunan m bilangandenganpanjang n Kode yang menggunakanvektorsusunan m bilangandisebutkodebilangan m vektorbilangan 3 panjang 5 Bilau = [2, 2, 0, 1, 2] danv = [1, 2, 2, 2, 1], maka: u . v = 2.1 + 2.2 + 0.2 + 1.2 + 2.1 = 2 + 1 + 0 + 2 + 2 = 1 Contoh :

  42. Universal Product Code (UPC) Merupakankodeasosiasidengankodebatang yang ditemukanpadabermacam-macambarangproduksi. Batanganhitamputihdibacadengansinar laser, merupakansusunan 10 bilanganvektor. u = [u1, u2, ……..u11, d] denganpanjang 12. Sebelasangkapertamamerupakankomponenvektormenyatakaninformasipabrikdanproduksinya. Komponenterakhir d adalahangkapengeceksehinggac.u = 0 dalam Z10. Vektorpengecek c = [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] Hasilakhirdiperoleh : 3(u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11)+(u2 + u4 + u6 + u8 + u10)+d= 0

  43. Contoh UPC disamping, bisaditentukanbahwaangkapengeceknyaadalah 6 dalamperhitungan Z10dengancara : 6 0 7 4 9 2 7 0 2 0 9 4 c.u = 3.0 +7 + 3.4 + 9 + 3.2 + 7 + 3.0 + 2 + 3.0 + 9 +3.4 +d = 3(0+4+2+0+0+4) + (7+9+7+2+9) + d = 3(0) + 4 + d = 4 + d Angkapengecek d harus 6 agar supayahasilperhitung-an = 0 dalamZ10 c.umerupakankelipatan 10.

  44. Kode nomor buku internasional(ISBN) Merupakan kode angka pengecek yang juga telah digunakan di seluruh dunia. Vektor kode merupakan vektor dalam . Sembilan angka pertama merupakan komponen yang menyatakan informasi negara, penerbit dan buku. Komponen kesepuluh adalah angka pengecek. ISBN buku Calculus: Concepts and Contexts by James Steward adalah 0-534-34450-X. Ini tercatat sebagai vektor b =[0,5,3,4,3,4,4,5,0,X] dengan angka pengecek adalah huruf X. Vektor pengecek ISBN adalah vektor : c = [10, 9, 8,7,6,5,4,3,2,1]

  45. Diperlukanhasil c . b = 0 dalam Z11. c . b = 10.0+9.5+8.3+7.4+6.3+5.4+4.4+3.5+2.0+d Semuaperhitungandibuatkebentukkelipatan Z11 (contoh 9.5 = 1, karena 45 jikadibagi 11 akansisa 1) Maka : c . b = 0 + 1 + 2+ 6 + 7 + 9 + 5 + 4 + 0 + d = 1 + d c.umerupakankelipatan 11, maka d = 10. Karenadalam ISBN setiapkomponennyaadalahangkatunggal, makauntukangka 10 digantidenganbilanganRomawi X.

  46. SistemCodabar (ATM ataukartukredit) Kodeangkapengecekberjumlah 16. Lima belasangkapertamamerupakaninformasidari bank penerbitdanangkaterakhirmerupakanangkapengecek. Kebanyakan bank yang menggunakansisteminimenyebutnyadengannama : Codabar. Misalkanangka yang tercetakpadakartuKreditadalah : 5412 3456 7890 4327 Vektorx = [5,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,4,3,2,d] dalam . Vektorpengecek c = [2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1]. Diperlukanhasilc.x = 0 dalam Z10

  47. Misalkan h adalah jumlah angka ganjil yang lebih besar dari 4. Dalam contoh ini angka tersebut adalah 5, 5, 7 dan 9, sehingga h = 4. Sehingga diperoleh : c.x + h=0 dalam Z10 Maka : c.x + h = (2.5+4+2.1+2+2.3+4+2.5+6+2.7+8+2.9+0+2.4+3+2.2+d)+4 = 2(5+1+3+5+7+9+4+2)+(4+2+4+6+8+0+3+d)+4 = 2(6) + 7 + d + 4 = 3 + d Jadi agar hasil akhir = 0 dalam Z10, maka d = 7

  48. SoalLatihan : 1. Tentukanproyeksivektorvkevektoruberikutini : a. b. 2. Tentukanpersamaangaris g yang melaluititik A(-1,1) dantitik B(1,2)

  49. 3. Carijarakdarititik B =(1,0,2) kebidang P yang mempunyaipersamaan x + y – z =1 4. a. Cariangkapengecekdari UPC berikutini : [0,5,9,4,6,4,7,0,0,2,7,d] b. Cariangkapengecekdari ISBN berikutini: [0,3,8,7,9,7,9,9,3,d]