Download
vektor skalar dan bidang rata n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Vektor , Skalar,dan Bidang Rata PowerPoint Presentation
Download Presentation
Vektor , Skalar,dan Bidang Rata

Vektor , Skalar,dan Bidang Rata

972 Views Download Presentation
Download Presentation

Vektor , Skalar,dan Bidang Rata

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Vektor , Skalar,danBidang Rata

  2. VektoradalahBesaran yang mempunyaibesar danarah. Contoh : • Kecepatan, momentum, berat, percepatan, gayadan lain-lain Skalaradalahbesaran yang mempunyaibesar tapitanpaarah. Contoh : • Volume, massa, panjang, waktudan lain-lain VektordanSkalar

  3. Ekor panah disebut ttk pangkal • Arah panah menentukan arah vektor • Panjang panah menentukan arah vektor • Ujung panah disebut ttk ujung • Maka vektor v = V = AB PenyajianVektor B A

  4. 1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z AljabarVektor w v z

  5. 2. Vektor negatif Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan v - v

  6. 3. VektorNol • Vektor yang panjangnyanol • DinyatakandenganO • 4. PenjumlahanVektor w v v w + w v

  7. 5. Jika v adalahsuatuvektortaknoldan k adalahsuatubilangan real taknol (skalar), makahasil kali kvdidefinisikansebagaivektor yang panjangnya (k*panjangv)dan yang arahnyasamadenganarahvjika k>0danberlawananarahdenganvjika k< 0 v 2v

  8. Jika a, b dan c adalahvektor-vektorserta m dan n adalahskalar, maka : 1. a + b = b + a ; HukumKomutatif untukpenjumlahan 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; HukumAssosiatifuntuk penjumlahan 3. ma = am ; HukumKomutatifuntuk perkalian 4. m(na) = (mn)a ; HukumAsosiatifuntuk perkalian 5. (m+n) a = ma + na ; HukumDistributif 6. m (a + b) = ma + mb ; HukumDistributif HukumAljabarVektor

  9. Komponen-KomponenVektor • Vektordalambidang OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY) Jikaisebagaivektorsatuandalamarah ox j sebagaivektorsatuandalamarah OY maka : a = aidan b = bj Dengandemikianvektor OP = dapatditulissebagai : R = ai + bj y p r Ѳ x o

  10. 2. Vektor dalam ruang Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat dilihat pada gambar berikut: z p r c y o a b x Misal : OP = ai + bj + ck, maka : |r | = panjang vektor OP =OP =  a² + b² + c²

  11. HASIL KALI TITIK DAN SILANG 1. Hasil kali titik Hasil kali titik (skalar) duavektor A dan B didefinisikan : A  B = ABcos dengan : • AdanBmasing-masingpanjangvektor A dan B • adalahsudutantaravektor A dan B • ( 0  )

  12. Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian skalar 1. A  B = B  A 2. A  (B+C) = A  B + A  C 3. m (A  B) = (mA)  B = A  (mB) , m adalah skalar 4. i  i = j  j = k  k = 1 , i  j = j  k = k  i = 0 5. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k maka A  B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b3 6. Jika A  B = 0 dan A , B bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus.

  13. Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan sebagai berikut : A x B = AB sin  u dengan : -  adalah sudut antara A dan B ( 0  ) - u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari C 2. Hasil Kali Silang

  14. Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian silang (vektor) : 1. A x B = - B x A 2. A x (B+C) = A x B + A x C 3. m (A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m, m adalah skalar 4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j 5. jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k , maka : = (a2b3 - b2a3) i - (a1b3 - b1a3) j + (a1b2 - b1a2) k 6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A dan B 7. Jika A x B = 0 dan A = B 0 maka A dan B sejajar.

  15. DiketahuiVektor A = 2i – 3j + k B = – i + 4j + 5k Maka : 1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k = i + j + 6k 2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k = 3i – 7j – 4k 3. A . B = (2)(-1)i + (-3)(4)j + (1)(5)k = -2i – 12j + 5k Contoh

  16. 4. = { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-1) }j + { (2)(4) – (-1)(-3) }k = (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k = -19i – 11j + 5k

  17. z d • Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: x y

  18. BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

  19. Terlihat pada gambar bahwa : OX = OP + PX ......(1) dimana Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x1 , y1, z1 ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [ x a ,y a, z a] dan b = [xb ,y b, z b] .

  20. Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3 persamaan : • ……….(2) • yang disebut persamaan parameter bidang rata. • Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan diatas diperoleh : • V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3) • yang disebut persamaan linier bidang rata yang mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak lurus bidang rata ) : • [ A, B, C ]

  21. = a x b • dimana : • Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik ( x1 , y 1, z 1 ) dengan vektor normalnya ( A , B , C ) berbentuk: • A ( x — x1) + B ( y — y 1) + C ( z — z 1) = 0

  22. Hal-halkhususdaribidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. 1. BilaD = 0 makabidang rata akanmelaluititikasal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiapbidang rata yang melaluititikasalpersamaannya akanmempunyaihargaD = 0. 2. ApabilaD ≠ 0 persamaanAx + By + Cz + D = 0dapatditulismenjadiAx/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dansebutberturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapatpersamaan : x/p + y/q + z/r = 1 yang manamemotongsumbuXdi (p, 0, 0 ) sumbuYdi ( 0, q,0 ) sumbuZdi ( 0, 0, r ). 3. BilaA = 0, bidang rata sejajarsumbuXbilaB = 0, bidang rata sejajarsumbuY, danbilaC = 0, bidang rata sejajarsumbuZ 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajarbidangXOYbilaB = C = 0, bidang rata sejajarbidangYOZbilaA = C = 0, bidang rata sejajarbidangXOZ

  23. Contoh : 1. Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product ( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, —5, 2 ) 4x – 5y + 2z – 13 = 0

  24. 2. Bidang 2x + 3y + 4z = 12 dapat ditulis menjadi : x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) & (0,0,3).

  25. Catatan : 1. Jikan = a x b . dimanaa danb adalahvektor-vektorpadabidang, makapersamaanbidang rata dapatditulisdalambentuk : 2. Jikavektor a bertitikawaldi p (x1, y1, z1) dantitikujungnya q (x2, y2, z2), serta b titikawalnya p (x1, y1, z1) dantitikujungnya r (x3, y3, z3), makapersamaanbidang rata dapatditulisdalambentuk :

  26. 4. Jadiempatbuahtitik ( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ), dan ( x4, y4, z4 ) akansebidangjikadanhanyajika : Contoh : 1. Tentukanpersamaanbidang yang melaluiketigatitik ( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 ) 2. Apakahempattitikberikutsebidang, jikasebidang , tentukanpersamaanliniernya : ( 2, 1, 3 ), ( 4, 2, 1 ), ( -1, -2, 4 ) dan ( 0, 0, 5 )

  27. Sudutantaraduabidang rata Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang : maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal , yaitu :

  28. Contoh : Jawab :

  29. Kedudukan 2 buahbidang rata 1. Kedudukan sejajar : • Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan), berarti [A1, B1, C1] = λ[A2, B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar (λ sebarang ≠ 0 ) 2. Kedudukan tegak lurus : • Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

  30. Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) ! • Jawab :

  31. Contoh : 2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus pada bidang rata V1 =x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) ! Jawab :

  32. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar. Jarak dari titik ( x1, y1, z1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz + D = 0 adalah : Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil sembarang titik pada V2, lalu menghitung jarak titik tsb V1

  33. Contoh : 1. Tentukanjaraktitik (4,7,3) kebidang 2x + 6y – 3z = 13 . Jawab : 2. DiketahuiV1 = x + y + z – 2 = 0 danV2 = x + y + z – 5 = 0. jikaR padaV2, hitunglahjaraktersebutkeV1 . jawab :

  34. Berkasbidang

  35. Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang : V1 = 2x + 3y +24 = 0 dan V2 = x – y + 2z = 12 Jawab : V dapat dimisalkan berbentuk : ------ (*) Karena V melalui ( 0,0,0 ) terpenuhi : Yang kita subtitusikan ke (*) diperoleh : V = 4x + y + 4z = 0

  36. Jaringanbidang Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ). Bentuk : menyatakan kumpulan bidang- bidang yang melalui titik potong ketiga bidang V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ). Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.

  37. Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang : Jawab : ……(*) Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 ) Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang diminta, yaitu : V = x + y + z – 7 = 0

  38. PersamaanGarislurus Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Mis, titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR=[ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ] Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR Jelas bahwa : OQ = OP + PQ ……(*) Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 )

  39. Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan mempunyai vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah : ……….(**) Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu : • x = x1 +  a • y = y1 +  b ………(***) • z = z1 +  c yang disebut persamaan parameter garis lurus. Kemudian bila a  0, b  0, c  0,  kita eliminasikan dari persamaan (***), diperoleh : •  = = = yang disebut persamaan linier garis lurus

  40. Contoh : Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 ,-2) dan (4, -2,-1) Jawab : yang merupakan persamaan liniernya.

  41. Hal KhususdariGarisLurusDenganVektorArah [a,b,c] 1. 2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang yoz Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0) maka, persamaan garis lurusnya menjadi : [x, y, z]= [ x1, y1, z1 ] +  [0, b, c] Sedangkan persamaan liniernya :

  42. 3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0,0, c] sejajar dengan arah sumbu Z Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X Contoh : 1. 2. Garis lurus [x,y,z] = [2,3,-2] + λ[0,4,2] bersifat sejajar sumbu Y ( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai : x = 2 , z = - 2 ( dimana berlaku untuk setiap y )

  43. GarislurussebagaiPerpotonganDuaBidang Rata Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata. V 1 = A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan V 2 = A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 , maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :

  44. Untukmencaripersamaan linier garislurustsbsbb : 1. Menentukanvektorarahdarigarislurus : [ a, b, c ] Jelas [a, b, c] = n1 x n2 2. Menentukansembarangtitik (x1, y1, z1) padagarislurus, biasanyadiambiltitikpotongdenganbidangkoordinat, mis. bidangxoy z = 0 sehinggadiperoleh : A1x + By1 + D1 = 0 A2x + By2 + D2 = 0

  45. Contoh : Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah bidang : V1 : x - 2y + z = 1 V2 : 3x - y + 5z = 8 Jawab : n1 = [ 1, -2, 1 ] dan n2 = [ 3, -1, 5 ] vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ] titik potong bidang dengan bidang xoy : z = 0 x – 2y = 1 x = 3 3x – y = 8 y = 1 Jadi persamaan liniernya : [x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] +  [ -9, -2, 5 ]

  46. KedudukanduagarisLurus Didalamruangberdimensitiga, 2 garislurusmungkinsejajar, berimpit, berpotongan, ataubersilangan. Diketahuigarislurus 1. g1sejajarg2bilaarahmerekaberkelipatan. Jadibila , μ ≠ 0 ataubila Jikaberlaku , maka : g1dan g2berimpit. contoh :

  47. 2. Kalau arah g1 yaitu [ a1, b1 ,c1 ] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2 ] tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. Jika , maka kedua garis tsb berpotongan pada satu titik dan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1 dan g2 tsb adalah : Jika tidak demikian, maka kedua garis tsb bersilangan.

  48. Contoh : Tunjukan bahwa berpotongan Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 tsb. Jawab : Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun berimpit. Sedangkan determinan : , jadi g1 dan g2 berpotongan. Titik potongnya dicari dari persamaan g1= g2 , diperoleh : 1 = 1 kemudian di subt. ke g 1 ( 5, -7, 6 ) 2 = 2 kemudian di subt. ke g 2 ( 5, -7, 6 )

  49. Persamaan bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 adalah : 11x – 6y – 5z -67 = 0 Sudut antara garis g1 dan g2 adalah sudut antara vektor-vektor arah [ a1, b1 ,c1 ] dan [ a2, b2 ,c2 ] , yaitu :

  50. KedudukanGarisLurusdanBidang Rata Pandang garislurus g denganvektoraraha =[ a , b , c] danbidang rata Vdenganvektor normal n = [ A , B , C], maka : g 1sejajardengabidang V g3tegaklurusbidang V g 2terletakpadabidang V 1. Garislurusgsejajarbidang rata Vjikkavektorarahgaris tegaklurus normal bidang. a . n = 0 atauaA+ bB+ cC= 0