1. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Ir. Indrawani Sinoem, MS

2. EIGEN • Eigen  bahasa jerman • Eigen = asli = proper • Nilai eigen = nilai asli = proper value • Nilai eigen = nilai karakteristik • Nilai eigen = akar laten

3. DEFINISI • Jika A adalahsebuahmatriksn x n, makasebuahvektor yang taknol x didalamRndinamakanvektoreigendari Ajika Ax adalahkelipatanskalardari x, yaitu: Ax = λx untuksuatuskalarλ. Skalarλdinamakannilaieigendari A dan x dikatakansebuahvektoreigenyang bersesuaiandengan A

4. CONTOH • Vektor adalah vektor eigen dari matriks yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 3, karena

5. NILAI EIGEN • Diketahui bahwa <=> • Bentuk implisit • Difaktorkan

6. NILAI EIGEN • Jika A adalah matriks maka: sehingga PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

7. NILAI EIGEN • Menurut definisi, vektor eigen adalah vektor tak nol • Sehingga agar (x,y) memiliki solusi, maka det(λI-A) = 0  persamaan karakteristik

8. CONTOH I • Carilah nilai eigen dari Gunakan persamaan karakteristik!

9. SOAL I • Carilah nilai eigen dari

10. VEKTOR EIGEN • Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor tak nol dalam ruang pemecahan dari SPL homogen (λI - A)x = 0 • Ruang pemecahan dari SPL homogen tersebut disebut dengan ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan x

11. CONTOH II • Carilah vektor eigen dari contoh I

12. SOAL • Cari vektor eigen dari matriks berikut

13. DIAGONALISASI • Definisi: Matriks A (matriks bujur sangkar) dapat didiagonalisasi jika ada sebuah matriks P yang mempunyai invers sehingga P-1AP menghasilkan matriks diagonal

14. LANGKAH-LANGKAH DIAGONALISASI • Tentukan n eigenvektor yang bebas linier darimatriks A. berinama P1, P2, P3,…. • Bentuklahmatriks P, dimana, P1, P2, P3, … Pnmerupakankolom 1, 2, 3, …n (sebagaivektorkolom) • Hitung P-1 • P-1AP akanmembentukmatriks diagonal denganλ1, λ2, λ3,.. λn sebagainilaipada diagonal utama. Dimanaλ1, λ2, λ3,.. λ n merupakannilaieigen yang bersesuaiandengan P1, P2, P3,…Pn

15. CONTOH • Diagonalkan matriks berikut • Langkah: • Cari eigen vektor  jadikan vektor kolom • Cari inversnya • Hitung P-1AP

16. TERIMA KASIH