Download
matriks dan ruang vektor n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Matriks dan Ruang Vektor PowerPoint Presentation
Download Presentation
Matriks dan Ruang Vektor

Matriks dan Ruang Vektor

544 Views Download Presentation
Download Presentation

Matriks dan Ruang Vektor

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. MatriksdanRuangVektor

  2. Cakupan materi dan prasyarat CakupanPengetahuanDasar • Kesamaanmatriks • Jumlahanmatriks • Perkalianmatriksdenganskalar • Perkalianduamatriks • Matriks inverse Materi -1: SistemPersamaan Linier Operasibariselementer

  3. Matriks • Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. • Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn baris A = Notasi: Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n kolom

  4. Matriks persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3 diagonal utama Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

  5. Matriks nol dan identitas matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 0 0 0 matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0 I3 I4 I2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

  6. 1 2 4 2 1 3 1 2 4 2 1 3 A = B = 1 2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 C = D = 1 2 4 2 2 2 x 2 4 2 2 2 E = F = ? ? ? ? ? ? ? ? ? • 2 2 • 5 6 • 9 0 7 H = G = Kesamaan dua matriks • Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. A = B C ≠ D E = F jika x = 1 2 2 2 G = H 4 5 6 9 0 7

  7. 10 22 1 -1 2 6 7 5 A = B = 10+2 22+6 1+7 -1+5 12 28 8 4 A + B = = 10-2 22-6 1-7 -1-5 8 16 -6 -6 A - B = = Jumlahan dan pengurangan dua matriks • Contoh • Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? • Jawab: ordo dua matriks tersebut sama • A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, • A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

  8. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 K = L = 25 30 5 35 10 15 5 6 1 7 2 3 C = D = ? ? ? ? ? ? C + D = ? ? ? ? ? ? ? ? ? K + L = Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan) D + C = L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

  9. -8 0 • 4 7 2 • -1 8 4 • 6 -1 2 • 9 9 8 • -2 16 8 • 7 2 • 5 2 6 • -1 8 4 D = • 7 2 • 5 2 6 C = C +D = E = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = B = Quiz: Jumlahan dua matriks • Quiz: • C + D =… • C + E = … • A + B = … Feedback:

  10. 5x5 5x6 5x1 5x7 5x2 5x3 25 30 5 35 10 15 5 6 1 7 2 3 A = 5A = = 250 300 50 350 100 150 H = Hasil kali skalar dengan matriks • Contoh: Apa hubungan H dengan A? H = 50A • Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: • (cA)ij = c.(A)ij = caij • Catatan: PadahimpunanMmxn, perkalianmatriksdenganskalarbersifattertutup (menghasilkanmatriksdenganordo yang sama)

  11. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 K = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4K = 5 20 -45 15 35 0 25 45 -65 5K = Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan) • K 3 x 3

  12. 7 2 • 5 2 6 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = = 7*0 7*0 7*0 7*0 7*0 7*0 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 cA = cA = Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Contoh: c = 7 c = 0 kesimpulan Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

  13. 1 2 7-6 4-9 11 3 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = B = Perkalian matriks 2.1 +3.7+4.4+5.11-35 -49-35 -94-55 94-35 -49 -35 -94 -55 A B = =

  14. r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 1 2 7 -6 4 -9 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = B = Perkalian matriks (lanjutan) Definisi: Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: • (C)ij = (AB)ij = A B AB • Syarat: r x n m x n m x r Tentukan AB dan BA

  15. 1 2 7-6 4-9 11 3 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 A = B = Perkalian matriks (lanjutan) 2.1 +3.7+4.4+5.11-35 -49-35 -94-55 94-35 -49 -35 -94 -55 A B = = BA tidak didefinisikan

  16. A B B A m x n m x n n x k n x k AB = A = B = 3 -3 -2 2 0 0 0 0 2 3 2 3 Perkalian matriks (lanjutan) • Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? m = k AB dan BA matriks persegi ABmxm ABnxn 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

  17. 1 2 -9 0 8 0 5 6 2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6 A = B = 7 -11 4 3 5 -6 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9 C = D = Latihan: Perkalian matriks (lanjutan) Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi. • A B = ?? • AC = ?? • BD = ?? • CD = ?? • DB = ??

  18. A = 2 3 1 2 Perpangkatan matriks Contoh: 2 3 1 2 2 3 1 2 A2 = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 A3 = A x A2 = A0 = I An = n faktor An+m = An Am A A A …A

  19. Penyajian SPL dalam persamaan matriks • SPL dalam bentuk: • dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 : am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn x1 x2 : xn b1 b2 : bn = x b A:matriks koefisien Ax = b

  20. Contoh: Penyajian SPL dengan persamaan matriks x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x3 = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL 6 1 4 6 1 4 1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1 x2 x3 1.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 = =

  21. ½√2 -½√2 -½√2 ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 -½√2 1 0 1 0 A x = x A = = Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi • Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x y x’ = Ax = x = π/4 x

  22. 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 A= Perkalian dengan matriks identitas 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A.I = = 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 1 2 3 7 5 6 -9 3 -7 I.A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =

  23. 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 Perkalian dengan matriks identitas • AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? = = A I I A A = = AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas)

  24. 4 2 2 2 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 4 2 1 2 2 1 3 3 1 4 2 1 2 2 1 3 3 1 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 ½ -½ 1 -½ -½ 1 0 3 -2 Inverse matriks B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1 I A A A-1 A-1 = = Contoh 1 0 0 1 = = A A-1 A-1 A I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = B I B-1 B B-1

  25. 4 2 2 2 a b c d ½ -½ -½ 1 A-1 A-1 1 ad - bc d -b -c a Inverse matriks 2x2 1 0 0 1 = I A-1 A 1 0 0 1 = = = Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.

  26. 3 2 4 1 A = Contoh: Inverse matriks 2x2 A-1 I = =

  27. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 1 0 0 1 5 1 1 2 0 1 0 2 0 0 4 1 1 0 0 1 c. d. a. d. a. b. Quiz: inverse matriks 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse? ad-bc = 0 2. Tentukan inverse matriks berikut ini b. tidak mempunyai inverse c. tidak mempunyai inverse

  28. 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = Transpose Definisi: Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. 4 5 2 3 6 -9 77 AT = A’ = • [AT]ij = [A]ji n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..

  29. 4 2 2 3 4 2 2 3 A = A’ = Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT A simetri 1 2 3 4 2 5 7 0 37 8 2 4 0 2 9 A = = AT

  30. 0 -1 1 0 0 1 -1 0 A = AT= ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 B = BT= Matriks ortogonal Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1 = A-1 = B-1 (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT Jika A adalah matriks orthogonal, maka(A-1)T = (AT)-1

  31. 4 2 6 7 5 3 -9 7 Sifat-sifat transpose matriks • (AT )T = A • Transpose dari A transpose adalah A: (AT)T A = A AT Contoh: 4 5 2 3 6 -9 77 4 5 2 3 6 -9 77

  32. T T T A A+B B = + • (A+B)T = • AT • BT + Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT

  33. Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k T A kA T k • (kA)T = k(A)T

  34. T T T B AB A Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB)T = BT AT = • (AB)T • = BTAT • AB

  35. Quiz: Isilah titik-titik di bawah ini • A simetri maka A + AT= …….. • ((AT)T)T = ……. • (ABC)T = ……. • ((k+a)A)T = …..... • (A + B + C)T = ………. • Kunci: • 2A • AT • CTBTAT • (k+a)AT • AT + BT + CT

  36. Mengingat kembali • Sebutkan 3 operasi baris elementer • Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi baris elementer pada matriks identitas tersebut. • Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari matriks identitas I? Salah satu jawaban: 7 kali yaitu, [1] kalikan brs kedua dengan 7, [2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4, [5]kalikan 2 baris pertama, [6] kalikan 5 baris pertama 4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E? tiga kali

  37. Matriks elementer • Operasi baris elementer pada matriks 1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol 2. menukarkan posisi dua baris 3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain Definisi: Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi B1 dan B2 bukan matriks elementer, E1 dan E2 matriks elementer.

  38. Matriks elementer (lanjutan) minimal 3 kali obe 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 8 0 7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 R2 7* R2 minimal 2 kali obe 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R3 R4

  39. Matriks elementer (lanjutan) 1 0 0 0 4 0 0 0 1 R2 4* R2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 R3 R2 R1 4R2+R1 1 4 0 0 1 0 0 0 1

  40. 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 E1 = E3= E3 = R2  R3 R2 2 R2 R1 R1+2R2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 (E1)-1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 0 0 0 ½ 0 0 0 1 (E2)-1 = 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 ½ 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 -2 0 0 1 0 0 0 1 (E3)-1 = 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 -2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = Inverse matriks elementer

  41. Matriks elementer (lanjutan) 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1/4 0 0 0 1 E1-1= E1= R2 4* R2 R2 (1/4)* R2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E2= R3 R2 R3 R2 E2-1= R1 4R2+R1 R1 - 4R2+R1 1 4 0 0 1 0 0 0 1 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 E3-1= E3=

  42. Inverse matriks elementer (lanjutan) Kesimpulan: Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inverse matrks elementer adalah matriks elementer

  43. 1 0 0 0 1/2 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 E1-1 E1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E2-1 E2 1 0 0 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 -5 1 E3 E3-1 Latihan: inverse matriks elementer Tentukan inverse matriks elementer berikut ini Jawaban:

  44. Sifat-sifat • Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C (A-1)-1 2.(A-1)-1 = A 4 2 2 2 A = 1 0 0 1 ? ½ -½ -½ 1 = ½ -½ -½ 1 A-1 = A-1 4 2 2 2 A

  45. 4 2 2 2 ½ -½ -½ 1 A = A-1 = 0.625 -1 -1 1.625 (A3)-1 = Sifat-sifat (lanjutan) • Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… 104 64 64 40 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 A3 = = sama ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 0.625 -1 -1 1.625 (A-1)3 = =

  46. Sifat-sifat (lanjutan) • Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1 4 2 2 2 20 10 10 10 (5A) = 5 = 0.1 -0.1 -0.1 0.2 (5 A)-1 = sama 0.1 -0.1 -0.1 0.2 ½ -½ -½ 1 1/5 1/5 (A)-1 = =

  47. ½ 5/4 ½ - ¾ 4 2 2 2 3 5 2 2 A = B-1 = B = Sifat-sifat (lanjutan) • (AB)-1 = B-1 A-1 -0.875 1.5 0.625 -1 16 24 10 14 -1 (AB)-1 = = ½ 5/4 ½ - ¾ ½ -½ -½ 1 -0.875 1.5 0.625 -1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ 5/4 ½ - ¾ -0.5 1 0.75 -1.375 A-1 B-1 = =

  48. Perkalian dengan matriks elementer I E 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1 R2 4R2 1 2 0 3 1 1 4 1 0 1 2 0 12 4 4 4 1 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 2 0 3 1 1 4 1 0 R2 4R2 A E A Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.

  49. Matriks elementer dan operasi baris elementer Hasilnya sama dengan EA = E EA = E EA = E EA

  50. Mengingat kembali: Menerapkan operasi baris elementer pada matriks A sama dengan mengalikan A dari kanan dengan matriks elementer yang sesuai. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks persegi adalah matriks identitas atau matriks dengan baris nol Kita akan menerapkan operasi baris elementer untuk menentukan inverse matriks. Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer.