1° teorema di Euclide

1. 1° teorema di Euclide Definizione e dimostrazione del primo teorema di Euclide LAVECCHIA FRANCESCO II G A.S.: 2011/2012

2. I triangoli rettangoli sono triangoli particolari che hanno delle proprietà in più rispetto agli altri triangoli; fra queste rivestono particolare importanza quelle enunciate dai teoremi di Euclide e di Pitagora. Il PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE afferma che: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.

3. Dimostreremo che il quadrato verde costruito sul cateto minore sarà uguale al rettangolo verde appartenente al quadrato costruito sull’ipotenusa e avente come lati il cateto citato e l’ipotenusa stessa. La stessa cosa vale per il quadrato e il rettangolo rosa.

4. Possiamo renderci conto del significato di questo teorema osservando la figura; in essa: • il triangolo ABC è rettangolo in B • Il quadrato giallo è costruito sul cateto BC. Per ottenere il rettangolo giallo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione di BC sull’ipotenusa, facciamo questa costruzione: • dal vertice C tracciamo la perpendicolare all’ipotenusa AC e prendiamo su di essa il segmento CL ≅ AC • tracciamo dal vertice B dell’angolo retto la perpendicolare a AC: il segmento CH è la proiezione di BC sull’ipotenusa • costruiamo adesso il rettangolo che ha per lati CL e CH. Il teorema afferma che il quadrato giallo è equivalente al rettangolo giallo; veniamo adesso alla dimostrazione del teorema.

5. DIMOSTRAZIONE La dimostrazione è abbastanza semplice se consideriamo il parallelogramma ausiliario FGBC che otteniamo prolungando il lato superiore ED del quadrato e le due rette dei lati CL e HM del rettangolo. Osserviamo prima di tutto il triangolo ABC e il triangolo CED che si è venuto in questo modo a formare sono congruenti (CB≅CE, l’angolo ACB≅ECF perché complementari dello stesso angolo BCF); di conseguenza, essendo CF≅AC, anche CF≅CL. Per i teoremi sull’equivalenza che abbiamo studiato nel precedente paragrafo abbiamo che: • il quadrato CEDB è equivalente al parallelogramma FCBG (hanno la stessa base BC e la stessa altezza BD) • il parallelogramma FCBG è equivalente al rettangolo CHML (hanno rispettivamente come basi CF e CL che sono segmenti congruenti, e la stessa altezza CH). Dunque, per la proprietà transitiva: - ECBD è equivalente a CBGF che è equivalente a CHML, allora ECBD è equivalente a CHML.

6. FINE