Analītiskā ģeometrija Datorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī

1. Analītiskā ģeometrijaDatorikas nodaļas 2. kurss 1998. gada rudenī 3. daļa. Pārveidojumi

2. Ģeometriskie pārveidojumi: Priekšvārds Ģeometrija ir zinātne, kas pēta figūru īpašības. Dažas īpašības, piemēram, krāsa vai figūras attālums līdz ekrāna malai vispār neaplūko ģeometrijā, bet citās mākslās. Ģeometriskās īpašības ir tās, kuras saglabājas jeb ir invariantas, veicot noteiktus telpas punktu pārveidojumus. Interesantākie pārveidojumi ir tie, kuru apgrieztais pārveidojums un kompozīcija arī ir pārveidojumi, t.i. pārveidojumi dzīvo grupās. Atkarībā no lietotā pārveidojumu tipa, izšķir dažādas ģeometrijas: Topoloģija aplūko īpašības, kas invariantas pret nepārtrauktiem pārveidojumiem Projektīvā ģeometrija - pret centrālajām projekcijām Afīnā ģeometrija - pret paralēlajām projekcijām Eiklīda ģeometrija - pret kustībām vai līdzības pārveidojumiem.

3. Grupas D Kopu ar kompozīcijas likumu , kas katriem diviem elementiem piekārto to reizinājumu , sauc par grupu, ja izpildās sekojošas aksiomas (asociativitāte) ( sauc par vienības elementu) ( sauc par a apgriezto elementu) Ja izpildās arī grupu sauc par komutatīvu.

4. Grupu īpašības D Aplūkojam izteiksmi Reizinām abas puses ar , t.i. No šejienes D D Katrā grupā ir tikai viens vienības elements Ja un ir divi vienības elementi, tad

5. Grupu piemēri Katrai kopai aplūkojam - visu kopas P permutāciju kopu (permutācija ir bijektīva funkcija no uz ). Divu permutāciju kompozīcija sakrīt ar atbilstošo funkciju kompozīciju. Katrai galīgai kopai aplūkojam P - grupu, ko veido elementi, kam kompozīcija ir saskaitīšana sauc par ciklisko grupu. P Katram aplūkojam - visas ģeometriskās kustības, kas kādu regulāro - stūri attēlo sevī. Diādiskajā grupā ir 2n elementu.

6. Grupu homomorfisms Funkcija ir grupu un P homomorfisms, ja tā ir sirjekcija un Ja ir vienības elements grupā , tad tā T homeomorfais attēls ir vienības elements Katram eksistē , kam Tad un arī P - reālo skaitļu grupa ar kompozīciju - saskaitīšanu. - komplekso skaitļu grupa, kam ar kompozīciju - reizināšana. ir šo grupu homomorfisms.

7. Grupas darbība kopā Grupa G darbojas kopā A, ja dots homomorfisms kas katram grupas elementam piekārto kādu grupas permutāciju. D Plaknes vektoru grupa darbojas plaknē, katram vektoram piekārtojot paralēlo pārnesi par šo vektoru. Šajā gradījumā ir visu paralēlo pārnešu kopa. Visu plaknes punktu permutāciju, protams, ir daudz vairāk nekā paralēlo pārnešu, tādēļ . P

8. Apakšgrupas ir grupas G apakšgrupa, ja katriem diviem elementiem , to kompozīcija , arī ir no B. D Ja grupa G darbojas kopā A ar homomorfismu P tad B ir SA apakšgrupa.

9. Pagriezieni kompleksajā plaknē Im Reizināt ar kompleksajā plaknē nozīmē griezt par pretēji pulksteņa rādītājiem. Vispārīgais gadījums: Re - vienības vektors Im Reizinot ar , kompleksie skaitļi pagriežas par leņķi ap sākumpunktu O. Re

10. Centrālā projekcija Divas figūras dažādās plaknēs ir iegūtas viena no otras ar centrālo projekciju, ja visas taisnes, kas savieno atbilstošos punktus, abās figūrās krustojas vienā punktā, ko sauc par projekcijas centru. D zūdošā taisne

11. Koniskie šķēlumi Visas taisnes, kas projekcijas centru savieno ar riņķa līniju, veido konusu; riņķa līnijas centrālā projekcija ir šī konusa šķēlums ar projekciju plakni, t.i., cita riņķa līnija, elipse, parabola vai hiperbola.

12. Krustiskas un paralēlas taisnes Krustisku taišņu centrālā projekcija ir paralēlas taisnes, ja to krustpunkts atrodas uz zūdošās līnijas. T Paralēlu taišņu centrālā projekcija ir krustiskas taisnes, ja vien tās nav paralēlas zūdošajai līnijai. T

13. Punktu un taišņu incidence D Ja taisne iet caur punktu (vai punkts atrodas uz taisnes ), tad un ir incidenti. Taisne, kas incidenta diviem punktiem un , ir šos punktus savienojošā taisne (apzīmē ). Punkts, kas incidents divām taisnēm un , ir šo taišņu krustpunkts (apzīmē ).

14. Taišņu šķipsna Centrālajā projekcijā invariants ir taišņu šķipsna. D Taišņu šķipsnā vai nu visas taisnes ir savstarpēji paralēlas, vai arī taisnes krustojas vienā punktā. Tā kā nav invarianta atšķirības starp krustiskām un paralēlām taisnēm, pieņem, ka paralēlu taišņu šķipsna krustojas bezgalīgā punktā. Taisni raksturo visi punkti uz tās, bet punktu raksturo visas taisnes, kas caut to iet.

15. Bezgalīgi tālā taisne D Punktu, kuru nosaka paralēlu taišņu šķipsna, sauc par bezgalīgi tālu punktu. D Visi bezgalīgi tālie punkti nosaka bezgalīgi tālo taisni, kas ir projekcijas attēls zūdošajai līnijai. horizonts Krustojums ar telefonu stabiem

16. Dezarga teorēma L Trijsūriem un un , bet krustojas vienā punktā. Tad . T Ja taisnes, kas savieno divu trijstūru atbilstošās virsotnes, iet caur vienu punktu, tad atbilstošo malu krustpunkti atrodas uz vienas taisnes.

17. Dezarga teorēmas pierādījums Centrāli projicējam šo bildi tā, lai punkti un abi būtu uz zūdošās līnijas. Tad pēc projicēšanas un . Saskaņā ar lemmu . Tādēļ sākotnējā attēlā arī atradās uz zūdošās līnijas, t.i., visi atrodas uz tās pašas taisnes.

18. Atdalīti punkti D Ja punkti izvietoti uz taisnes secībā vai kādā citā, kas no šīm atšķiras ar ciklisku permutāciju, tad punktu pārus un sauc par atdalītiem (apzīmē ). Attiecība “ atrodas starp un ” projektīvajā ģeometrijā nesaglabājas. zūdošā līnija Projekcijas plaknes šķērsgriezumā