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Chap 2

Chap 2. Discrete-time systems and the z-transform. 2.1 INTRODUCTION. Analog 제어기와 digital 제어기. Analog( ) 제어기. Digital ( ) 제어기. e(t). m(t). 여기서 차방은  윗식 , 중간 , 아래식 ? 여기서 관심은  중간식 아래식  ( ) 제어기 이다. 2.2 DISCRETE-TIME SYSTEMS. 여기서 digital computer 의 역할  차분방정식 풀이.

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Presentation Transcript

  1. Chap 2 Discrete-time systems and the z-transform

  2. 2.1 INTRODUCTION

  3. Analog제어기와 digital 제어기 Analog( )제어기 Digital ( ) 제어기 e(t) m(t) 여기서 차방은 윗식,중간,아래식 ? 여기서 관심은 중간식 아래식( )제어기 이다

  4. 2.2 DISCRETE-TIME SYSTEMS 여기서 digital computer의 역할차분방정식 풀이 앞장에서 관심은 중간식 1차 차분방정식 다시 쓰면T는 이미 아니까 x(k)=x(k-1)+e(k) x(k)=e(k)+x(k-1)

  5. ( Difference equation=차분방정식 ) 차방을 일반화 하면 현재의 출력 = ? 지금 현재의 출력 x(k)=지금 입력 e(k)곱하기 bn+ 한샘플전 입력 e(k-1) 곱하기 bn-1+ … 한샘플전 출력 x(k-1) 곱하기 an-1- 두샘플전 출력 x(k-2) 곱하기 an-2… 자주출제

  6. 2.3 z-변환 정의(defined)

  7. Example 2.1 함수값

  8. Example 2.2 e(k) 1 0 unit-step function

  9. Example 2.3

  10. 임펄스 함수의 z변환 단위 [V] 교 35p Z 변환 하면 무얼까 ? 

  11. 2.4 z-변환의 성질 Sequence Transform 중요 !

  12. 2.5 차분방정식의 풀이1)컴퓨터 풀이 2) z 변환을 이용한 풀이 1)컴퓨터로 풀이 출력을 재순환(recursion) 시킨다 !

  13. Example 2.8 출력 디지털( ) 입력 e(k) m(k) m(k)=e(k)-e(k-1)-m(k-1) 필터

  14. 디지털 필터의 다른 예제 출력신호가 어떻게 바뀌었나? (부 )게 X(n) X(4)는 몇 [V] 인가? 입력 X(n) -14- ( )차 차방1차디지털필터 출력 y(n) 그래서 차방을 ( )라고 한다약자는 ?d.F

  15. 디지털 필터를 Matlab 코딩 하시오 m(k)=e(k)-e(k-1)-m(k-1) e(-1) = 0, m(-1) = 0 디지털 필터 실습하기! 프로그램다양 하다 출력 그림을 그리시오 !

  16. 2) z변환을 이용한 차분방정식의 풀이 Example 2.9

  17. 2.6 역 z변환 방법 1)Power Series Method별루 2)Partial-Fraction Expansion Method최고 3)Inversion-Formular Method X 4)Discrete Convolution Method X

  18. 1)Power Series Method

  19. 2)Partial-Fraction Expansion Method Example 2.11 중요 !

  20. 2.7 Simulation Diagram & Signal Flow Graph 실현 x 단지 심볼(symbol ) 이다컴 메모리에 저장의 의미 ! m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1) m(k+1) = e(k+1) – e(k) – m(k) ( ) 다 Simulation Diagram Signal Flow Graph

  21. 신호흐름도에서 전달함수 메이슨의 이득공식을 이용하여 구한다

  22. 메이슨(mason)의 이득공식 디지털제어  별로 중요  x  각자 필요 시 옛날의 제어책 혹은 이 책 626 p 참고 요망 △k = the △ for that part of the SFG that is nontouching with the kth forward path

  23. 2.8 Discrete state equation 구하기 Ex 2.8  m(k)=e(k)-e(k-1)-m(k-1) 과 같은 개념 핵심  ( ) 변수 ? 차분방정식 상태방정식 p.55  Ex 2.8 처럼 Matlab으로 풀어오기 ! Ex 2.16  입력은 unit step, 초기조건 = 영  2 샘플 뒤진다 State Variable 정의 과정 ! 보59p 를 보시오!  즉  백터 메트릭스형 으로 바꾸시오! Discrete State Eq. x(k+1) = x(k) + u(k)  무슨과정 ?( )화 과정  무슨제어계 ?( )로그

  24. 2.8 Discrete state equation 구하기 x(k+1) = x(k) + u(k) ( )화 하면 !! X(k+1) = Ax(k) + Bu(k) : Discrete state equation 답백터 메트릭스 화 퀴즈: ( )방정식 상태방정식 로 바꾼건가 ? 그러면 아나로그 상태방정식 은 어떤 형태 인가 ?

  25. state equation 복습: 미방을 아나로그 상태방정식으로 바꾸기 ! state variable : 한글 이름은 ? A와 B는 ? . X = Ax + Bu :State equation

  26. 정리: . X(t)= Ax(t) + Bu(t) : Continous state equation X(k+1) = Ax(k) + Bu(k) : Discrete state equation

  27. Discrete state equation 다시 한번 강조: 중요 ! X(k+1) = Ax(k) + Bu(k) Discrete output equation y(k) = Cx(k) + Du(k)  중요  x  짜배기 !

  28. 전달함수  state equation으로 바꾸기 !! x(k+1) = x(k) + u(k)  핵심 ! 원래: 차분방정식  z변환  전달함수   [풀이 ] 그러면, 즉 전달함수  차방 으로 바꾸어  state equation으로 바꾸면 된다 !  -29- 그런데 조금 전 Ex 2.16 에서 x(k+1) = x(k) + u(k)  결국 2차 전달함수가  state equation으로 바꾸었다 일반화 하면 Pole=극점=고유치=eigen value는 ?  중요 !

  29. 전달함수  state equation으로 바꾸는 방법 1) 전달함수  차방 state equation 2) 신호흐름도 방법  왜 빨간색 ?  ( ) 효과적 이니까.

  30. 첫째로 신호흐름도 그리기 !  다음 상방 구하기 ! 트릭 ! 위,아래 찟어 오려고 Signal Flow Graph

  31. p.59 • Transfer function → State equation 으로 바꾸기 예제 Ex 2.17 Signal Flow Graph 1 여기서 X1(z)=X1(k) X2(z)= X2(k)=X1(k+1) X3(z)=X3(k)= X2(k+1) 2 1 X3(z) X2(z) X1(z) -2 -1 -1/2 그러면 X3(k+1)은 어딜까? x(k+1)= S.E O.E 무엇의 약자 ?

  32. 2.9 Other State-Variable Formulations • In a given system, There is no unique state equation p.62 Ex 2.20 Z-transform Mason의 이득공식에 의하여 a b x2(k+1) x1(k+1) x2(k) x1(k) x(k+1) = x(k) + u(k) y(k) = x(k) x(k+1) = x(k) + u(k) y(k) = x(k) 두개 중에서 어떤 게 풀기 좋을까 ? 이와 같이 여러 개 나올 수 있다.

  33. Other State-Variable Formulations(cont’d) x1(k) u(k) x2(k) Cascade form y(k) x1(k) Parallel form y(k) u(k) x2(k)

  34. Similarity transform x(k+1) = Ax(k) +Bu(k) There are many many state-variable formulation !! P : 복덕방 matrix w : New state variable 여기서 P 를 복덕방 matrix 라 한다 x(k) = Pw(k) P 는 x와 w 의 관계를 맺어준다 Aw = P-1AP Bw= P-1B w(k+1) = Aww(k) +Bwu(k)

  35. Similarity transform 예제 1 p.65 Ex 2.21 x(k+1) = x(k) + u(k) Aw = P-1AP Bw= P-1B 공식을 이용하면 구할 수 있다. P = 그러나 similarity transform 은 별루 중요x P-1= 언제 ?단지 A행렬을 ( )으로 만들 때 효과 있다 w(k+1) = w(k) + u(k)

  36. Similarity transform 예제 2(대각선화) p.67 Ex 2.22 = M-1AM x(k+1) = x(k) + u(k) 대각선화의 목적은? 예제임의의 시스템 ( ) 연산시간 단축 대각선화 시키는 P 를 특히 P → M 라고 표시한다 M = M-1= w(k+1) = w(k) + u(k) Diagonalization

  37. 2.10 Transfer Functions 중요  X

  38. 2.11 Solutions of the State Equations 변역하면 ? p.71 1) Recursive solution방법  o 2) Z-transform 방법  p.73  x

  39. x(1) = Ax(0) +Bu(0) x(2) = Ax(1) +Bu(1) x(3) = Ax(2) +Bu(2) 1) Recursive solution 방법 무진장 중요 ! 순환과정 x(k+1) = Ax(k) +Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) Recursive순환,재사용 Recursive manner x(k) = Ak x(0) + A(k-1-j)Bu(j) (식2-88) x(2) = A(Ax(0) + Bu(0))+Bu(1) =A.AX(0)+ABU(0)+BU(1) Ф(k) : State transition matrix or Fundamental matrix Ф(k) = Ak y(k) = Cx(k) + Du(k) x(3) = A(A.AX(0)+ABU(0)+BU(1)) + Bu(2) =A3X(0)+A2BU(0)+ABU(1)+BU(2) y(k) = CФ(k)x(0) + CФ(k-1-j) + Du(k) 교 72 p 보기

  40. Example 2.25 x(1) = Ax(0) +Bu(0) x(2) = Ax(1) +Bu(1) x(3) = Ax(2) +Bu(2) 숙제 Ex 2.16을 이렇게 풀어오기 ! 전달함수S.E  입력은 unit step, 초기조건=영 출력을 어떻게 잡었게 ?  C=[1 0] 이다 무엇 ?  그래프를 꼭그려오시오 !  결국 상방을 컴으로 풀었다 X1(k) X2(k)  정말로 최종상태변수를 그래프로 그렸다

  41. matlab으로 상태방정식 풀이 코딩 현미경 확대  뒷장 A=[0 1; -2 -3 ] ; B=[0 ; 1] ; C=[ 3 1] ; X=[ 0 ; 0] ; u=1 ; for k = 0 : 5 x1=A*x+B*u ; y=C*x ; x=x1 ; end Result : y = 1 1 -1 5 9 여기서 X1(k)와 X2(k)의 관계는? X2(k)=X1(k+1) X2(k)가 X1(k)보다 ( )샘플 앞선다. x(k+1) = x(k) + u(k) 이 상방에서 무엇 때문에?

  42. 2.12 Linear Time-Varying Systems 중요 X X2(k)=X1(k+1) 현미경 확대 ! 복습  X2(7)=X1(8) 여기서 1) X1(k)와 X2(k)의 이름은 ?  ( )변수 2) 무엇을 풀어서( )방정식 3) 어디다 쓰려구 ?  ( ) p 왜 state equation을 만들지 ? 1)state ( )을 걸기위하여 2) ( )속도를 높이기 위하여 무엇의 연산속도를 높이기 위하여 ?

  43. 2장 핵심사항 1) 차분방정식 이란 ? 2) z 변환 정의(임펄스 함수의 z 변환) 3) 차방의 컴퓨터 풀이 4) 차방상방으로 바꾸기 5) 연속상방과 이산상방 공식 6) 전달함수  상방으로 바꾸기 7) 상방의 풀이및 그래프 그리기

  44. 2장 끝 !

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