Lezione

1. Lezione Progetto di Strutture

2. Sistemi a più gradi di libertà

3. Modi di oscillazione libera Assegnando una deformata iniziale generica Assegnando una particolare deformata iniziale la forma varia man mano la forma resta la stessa modo di oscillazione libera del sistema

4. Modi di oscillazione libera Telaio piano (con traversi inestensibili): numero di modi di oscillazione libera = numero di piani

5. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione

6. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione

7. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione- n modi di rotazione

8. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di oscillazione libera secondo la direzione di simmetria sono disaccoppiati dagli altri: -n modi di traslazione nella direzione di simmetria- 2n modi di traslazione e rotazione

9. Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio con un asse di simmetria

10. Modi di oscillazione libera Esempio - edificio con un asse di simmetria In una struttura intelaiata T1  0.1 sec a piano edificio con n.6 piani In una struttura intelaiata i tre periodi sono abbastanza prossimi tra loro

11. Modi di oscillazione libera

12. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano): numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono accoppiati

13. Modi di oscillazione libera Telaio spaziale senza impalcati indeformabili nel piano Il numero di modi di oscillazione libera è molto maggiore

14. Modi di oscillazione libera L’equazione del moto, in termini matriciali, è analoga a quella dell’oscillatore semplice La soluzione, in caso di moto libero con deformata modale, è una funzione armonica Dall’ equazione si ricavano le frequenze angolari jassociate a deformate  non nulle

15. Modi di oscillazione liberaFormula approssimata di Rayleigh Si consideri il sistema che oscilla liberamente secondo un moto armonico, con spostamenti e velocità delle masse I valori massimi delle energie potenziali e cinetiche sono Dall`eguaglianza di dette energie si desume la pulsazione associata alla forma di vibrazione fissata

16. 1 2 3 q1 q2 q3 Equazioni del moto liberoCoordinate modali Una qualsiasi deformata può essere espressa come combinazione delle deformate modali u = q

17. Equazioni del moto liberoCoordinate modali Con questa posizione, l’equazione del moto diventa ovvero

18. Equazioni del moto liberoCoordinate modali Nell’equazione del moto (in forma matriciale) le matrici M* e K* sono diagonali, ovvero solo i termini della diagonale principale sono diversi da zero Infatti:

19. Equazioni del moto liberoCoordinate modali Il sistema di equazioni è quindi costituito da equazioni disaccoppiate ciascuna contenente una sola incognita Pertanto, si può valutare il contributo di ciascun modo separatamente, come se fosse un oscillatore semplice

20. Equazioni del moto libero con smorzamento Con la stessa posizione ( ), u = Fq l’equazione del moto in presenza di smorzamento diventa In molti casi, oltre a M* e K*, anche la matrice C*è diagonale e le equazioni sono disaccoppiate (sistemi classicamente smorzati)

21. Anche in questo caso se la struttura è classicamente smorzata il sistema si scompone in tante equazioni separate Si noti che l’accelerazione del terreno è moltiplicata per j Equazioni del moto Risposta ad un accelerogramma L’equazione del moto diventa Coefficiente di partecipazione modale:indica se il contributo del modo al moto totale del sistema è più, o meno, rilevante

22. Se Forze sollecitazioni spostamenti T T Analisi modale con spettro Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .

23. Analisi modale con spettro Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . . . . . e poi combinare le massime sollecitazioni (o spostamenti) trovati per i singoli modi

24. Analisi modale con spettroRegole di combinazione modale La combinazione dei risultati può essere fatta come... • radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS) • come combinazione quadratica completa (CQC) dove r = coefficiente di correlazione modale

25. Analisi modale con spettroCoefficiente di correlazione modale r ij 1.0 0.8 0.6 x=0.05 x=0.20 0.4 0.2 x=0.10 x=0.02 bij=Ti /Tj 0 0.5 1.0 1.5

26. dove Se(Tj) è l’ordinata spettrale corrispondente al periodo Tj Mj* è detta massa partecipante Contributo dei singoli modi Il taglio alla base corrispondente al modo j-esimo è Considerando tutti i modi, la massa partecipante totale coincide con l’intera massa presente nella struttura

27. Massa partecipanteContributo dei singoli modi • Il primo modo è nettamente predominante per entità di massa partecipante. Le forze sono tutte dello stesso verso • Gli altri modi hanno masse partecipanti via via minori. Essi danno luogo a forze discordi, che producono un effetto minore rispetto alla base

28. Massa partecipanteEsempio Massa partecipante molto elevata Massa partecipante meno elevata in virtù della rotazione accoppiata alla traslazione edificio con n.6 piani Nota ! La somma delle masse partecipanti nelle direzioni x e y, considerate singolarmente, deve essere unitaria 0.97 0.98

29. Considerazioni Negli schemi spaziali è più difficile valutare l’importanza dei modi. Tuttavia: • se il comportamento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei modi che danno spostamento nella direzione di azione del sisma • in caso contrario tutti i modi possono dare contributo • se l’impalcato non è indeformabile nel proprio piano il numero di modi cresce enormemente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura

30. Contributo dei singoli modi Negli schemi spaziali è più probabile avere modi con periodi molto vicini tra loro: • in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica completa (CQC) Una buona impostazione progettuale deve mirare ad avere una struttura con impalcato rigido e con comportamento disaccoppiato (cioè minime rotazioni planimetriche)

31. Analisi statica Consiste nel considerare un unico insieme di forze, che rappresentano (in modo semplificato) l’effetto del primo modo Il periodo proprio può essere valutato con formule semplificate

32. Confronto analisi statica – modaleEdificio con travi emergenti Zona 3ag = 0.15 g Suolo B Classe di duttilità B

33. Modo 1 Modo 2 Modo 3 T 1.183 s 0.461 s 0.259 s Se 0.0484 g 0.1145 g 0.1145 g M*/M 70.1 % 13.7 % 5.1 % Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti

34. Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi emergenti

35. Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi emergenti

36. Confronto analisi statica - modaleEdificio con travi a spessore

37. Modo 1 Modo 2 Modo 3 T 1.738 s 0. 604 s 0. 328 s Se 0. 0329 g 0. 0947 g 0. 1145 g M*/M 70.9 % 11.8 % 5.4 % Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti

38. Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi a spessore

39. Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi a spessore

40. Analisi statica Analisi modale Analisi statica o analisi modale? L’analisi statica fornisce risultati attendibili purché: - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) Per edifici con forti rotazioni, non va bene modo 1 modo 2 inviluppo

41. Analisi statica o analisi modale? L’analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) - la struttura abbia periodo non eccessivamente alto

42. Analisi statica o analisi modale? L’analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche) - la struttura abbia periodo non eccessivamente alto - la stima del periodo proprio sia affidabile L’uso del coefficiente riduttivo  rende i risultati dell’analisi statica non particolarmente gravosi rispetto a quelli dell’analisi modale

43. Analisi statica o analisi modale? Oggi l’analisi modale è sicuramente il metodo principale di riferimento per l’analisi strutturale, perché è affidabile e ormai alla portata di tutti (grazie ai programmi per computer) L’analisi statica è però uno strumento fondamentale per capire il comportamento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dell’analisi modale)

44. FINE