Crystallization Dynamics

1. Crystallization Dynamics Elisabeth Glantschnig, Martina Hauer, Reingard Auer, Sandra Burda

2. Kristallographie • Kristalle sind Festkörper mit dreidimensional-periodischer Anordnung von Elementarbausteinen (Atome, Ionen, Moleküle) in Raumgittern • Das Kristallgitter des Idealkristalls ist vollkommen regelmäßig aus Elementarzellen aufgebaut • Man unterscheidet sieben verschiedene Kristallsysteme

3. Kristallographie Nukleation: die Kristallisation eines amorphen Körpers beginnt nicht überall gleichmäßig Voraussetzung: System besteht aus einer Phase, obwohl eine andere Phase thermodynamisch stabiler ist

4. Kristallographie • Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov-Gleichung beschreibt zahlreiche Prozesse in den Materialwissenschaften • Kristallisation in einem amorphen Festkörper • Phasenumwandlungen mit der Temperatur

5. Kristallographie • In vielen Fällen beschreibt die JMAK-Gleichung vor allem den Anfang der Umwandlung gut, während gegen Ende der Umwandlung Abweichungen vom JMAK-Verhalten auftreten können

6. Text „Crystallization Dynamics“ Chapter 1 aus „Mathematica Modelling“ von Reinhard Illner et al

7. Voronoi Diagramm Animation mit Geogebra

9. Einleitung • unbekannten zweiphasigen C02C2H2-Kristallisation • metastabil • Kristallisationsprozess dauert circa 5 Stunden • Modelle, die diesen Prozess beschreiben können

10. Kolmogorov-Avrami-Modell • Kurz: K-A-Modell • Klassisches Werkzeug zur Vorhersage von Wachstumskurven

11. Herleitung • großes (makroskopisches) Volumen V • N unabhängige Fremdstoffe gleichverteilt • Q ...spezieller KristallisationskernP...fester, aber beliebiger Punkt in V • Für a>0 erhalten wir:.

12. Daraus folgt: • Unter der Annahme, dass die Kristallisationskerne gleichverteilt sind.

13. Verteilungsfunktion von X • N=λV • N∞, λ fest

14. Radius des Kristalls vergrößert sich mit Geschwindigkeit v • Allgemein:

15. Herleitung der Poissonverteilung • N Kerne gleich verteilt und unabhängig von einander im Volumen V • Ω ist Teilmenge von V • p Wahrscheinlichkeit das beliebiger Kern in Ω liegt • Wahrscheinlichkeit, dass k Kerne in Ω enthalten sind • nicht geeignet für große N

16. Intensität • Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Poissonverteilung

17. Test des K-A Modells • K-A Modell für CO2 * C2H2 anwendbar? • Vergleich von empirischen Daten und theoretischen Vorhersagen vom K-A Modell • Umformen und Logarithmusfunktion anwenden

18. Datenpunkte verlaufen nicht linear, daher ist K-A Model nicht anwendbar • Wir brauchen ein Neues Model

19. Neues Modell • Berücksichtigung des nicht kristallinen Abfalls C2H2

20. Wachstumskurve eines individuellen Kügelchens • Wachstum solange kubisch, bis die Voronoi Zelle voll ist • s sei die Hälfte des Volumens der Voronoi Zelle • Damit das Wachstum von g(t) bei s aufhört gilt:

21. ideale Wachstumskurve ist kubisch und danach konstant • In der Realität wird Wachstum langsamer wenn Grenzen von Zelle erreicht werden

22. Berechnung des zu erwarteten kristallisierten Anteils gesucht: passende Dichtefunktion f(s)

23. Die Bestimmung der Dichtefuntkion • tatsächliche Verteilung von f(s) ist unbekannt • betrachten zwei verschiedene Varianten: • Empirische Bestimmung • Systematische Herleitung

24. 1) Empirische Bestimmung v. f(s) Vernünftiger Vorschlag: Als Hilfe dient uns: Erhalten die Bedingungen:

26. 2) Systematische Herleitung v. f(s) • N Keime seien Poisson-verteilt • wähle einen willkürlich, aber fix • X...Distanz zw. diesem Keim und seinem nähersten Nachbarn • Verteilungsfunktion für den Radius:

27. Für , und erhalten wir: • S...Volumen der größten Sphäre • ... Radius dieser Sphäre

28. Dichtefunktion... f(s) = F ‘ (s) • durch Einsetzen in und anschließendem Integrieren, erhalten wir:

29. Danke für eure Aufmerksamkeit!