Rozměrová analýza

1. Rozměrová analýza Semestrální práce z předmětu KMA/MM Richard Jílek

2. Rozměrová analýza Hlavní funkce rozměrové analýzy jsou: • určení počtu a tvaru bezrozměrových kritérií podobnosti • snížení počtu nezávisle proměnných při experimentu, zjednodušení řešení a zobecnění jeho výsledků • převod základní soustavy jednotek měření • převedenífyzikálních veličin do jiné základní soustavy jednotek měření • získání funkčních závislostízejména v těch případech, kdy nejsou řešiteli známy bližší informace o fyzikální podstatě zkoumaného jevu a není znám úplný matematický popis jevu.

3. Rozměrová analýza Veličiny a jednotky: • Základní a doplňkové veličiny a jednotky v soustavě SI

4. Rozměrová analýza Rozměrová matice: • Základním kamenem v rozměrové analýze

5. Rozměrová analýza • Rozměrové maticeA: • Například: • a21 značí exponent u základního rozměrového symbolu Y2proměnné x1. • Některé z exponentů aijmohou být nulové.

6. Rozměrová analýza Kritéria podobnosti: • Výsledkem rozměrové analýzy jsou definice bezrozměrných veličin tj. kritérií podobnosti. • Jednoduchá a složená kritéria podobnosti se souhrnně označují jako Π.

7. Rozměrová analýza • Po dosazení předchozích výrazů do výrazu pro libovolnou proměnnou • Splněno pouze tehdy když

8. Rozměrová analýza Pí teorém: • Počet bezrozměrových proměnných vystupujících ve zkoumaném fyzikálním procesu se určuje podle Pí teorému • Pí teorém představuje základní teorém podobnosti a modelování, vyjadřující v podstatě proces zhušťování a zobecňování modelové informace.

9. Rozměrová analýza • Počet bezrozměrových složených kritérií (kk) je roven rozdílu všech rozměrově rozdílných veličin (n) působících v procesu a počtu základních a doplňkových rozměrů (r). • Jsou-li v souboru působících veličin veličiny rozměrově stejné, pak počet (ks) jednoduchých kritérií se rovná rozdílu celkového počtu (N) působících veličin a počtu (n) veličin s rozdílnými rozměry.

10. Rozměrová analýza • Popis zkoumaného procesu lze tudíž provést místo N proměnnými rozměrovými veličinami n–r bezrozměrovými složenými kritérii π a N–n jednoduchými kritérii P ve tvaru rovnice • Pomocí Pí teorému lze určit počet jednoduchých a složených kritérií podobnosti. Tvar kritérií podobnosti se pak získá některou ze tří metod zobecněných proměnných – rozměrovou analýzou, analýzou fyzikálního modelu a analýzou matematického modelu.

11. Rozměrová analýza Určení tvaru bezrozměrových kriterií: • Cílem je převést určitým způsobem původní rozměrovou matici A na matici řešení B, z níž se přímo určí jednotlivá kritéria podobnosti. • 1. Sestaví se rozměrová matice A • ASje submatice směrodatných veličin, AZ je zbytková submatice

12. Rozměrová analýza • 2. Veličiny v rozměrové matici by měly být uspořádány podle určitých pravidel • 3. Ověří se regulárnost zbytkové submatice • 4. Vytvoří se matice transponované(AS )T a (AZ )T, vypočítá se inverzní matice s vytvoří se matice B1

13. Rozměrová analýza • 5. Vytvoří se matice řešení B 6. Z matice řešení B se určí přímo jednotlivá kritéria podobnosti Πi

14. Rozměrová analýza • Příklad - Kmitání nosníku v proudícím vzduchu

15. Rozměrová analýza • Sestaví se rozměrová A matice a zjistí se regulárnost této matice a sestaví se matice B1

16. Rozměrová analýza • Sestaví se matice řešení B

17. Rozměrová analýza • Bezrozměrová kritérii a podobnosti lze určit přímo z matice řešení • Aeroelastický proces kmitání nosníku vlivem proudění vzduchu je popsán v bezrozměrovém tvaru rovnicí s pěti kritérii podobnosti

18. Rozměrová analýza • Určení funkčních závislostí: • Další z hlavních použití rozměrové analýzy v experimentální technice je při určování funkčních závislostí mezi rozměrovými veličinami • Zkoumaný fyzikální proces je obecně vyjádřen rozměrovými fyzikálními veličinami ve tvaru funkční závislosti rozměrových veličin • Po získání kritérií podobnosti lze tuto rovnici nahradit ekvivalentním vztahem, tzv. funkční závislostí kritérií podobnosti neboli kriteriální rovnicí

19. Při určování funkčních závislostí běžným postupem se používá Rayleighovy algebraické metody rozměrového vyjádření veličin. • Princip metody spočívá v sestavení funkční závislosti v klasickém součinovém tvaru, kde mocniny rozměrových veličin jsou neznámé hledané parametry.

20. Rozměrová analýza Příklad - Šíření tlakové vlny (G. I. Taylor, 1947) • Při jaderném výbuchu se uvolní velké množství energie ve velmi malém prostoru a velmi malém čase. Následkem toho je kulová rázová tlaková vlna. • Úkolem je určit funkční závislost poloměru této rázové vlny na čase od uvolnění energie. Po využití experimentálních dat je možné též určit energii jaderného výbuchu. • Působícími veličinami jsou: • E(J = m2.kg.s-2) – uvolněná energie • r(m) – poloměr rázové vlny • t(s) – čas • ρo(kg.m-3) – počáteční hustota vzduchu

21. Rozměrová analýza • Funkční závislost bude ve tvaru , kde k  je konstanta, a, b, c jsou hledané parametry funkčního vztahu. Po dosazení rozměrových symbolů za rozměry všech rozměrových veličin se dostává rovnice Důsledkem principu rozměrové homogennosti rovnic se dostává soustava rovnic

22. Rozměrová analýza • Řešením soustavy rovnic , kde se konstanta k určuje experimentálně. Podle dostupných experimentálních dat vychází pro vzduch hodnota řádově kolem jedné (G. I. Taylor). Zlogaritmováním předešlé rovnice se dostává

23. Rozměrová analýza • Nyní je na řadě zpracování experimentálních dat – kulová rázová vlna při výbuchu jaderné bomby. Na čtyřech obrázcích jsou zobrazeny velikost rázové vlny pro časy 0,006 s; 0,016 s; 0,053 s; 0,100 s.

24. Rozměrová analýza • Analýzou experimentálních dat lze sestrojit závislost logaritmu poloměru kulové plochy na logaritmu času od výbuchu.

25. Rozměrová analýza • Srovnáním zlogaritmované rovnice a nalezené rovnice přímky lze přibližně napsat • Stačí dosadit správnou hodnotu hustoty vzduchu (nadmořská výška, vlhkost vzduchu) a je možné spočítat uvolněnou energii při výbuchu, která souhlasí s oficiálně uváděnou hodnotou.

26. Rozměrová analýza Závěr • Představení rozměrové analýzy • Použití rozměrové analýzy • Dobrý nástroj na tvorbu funkčních závislostí určitých fyzikálních problémů, který je velmi často využíván při počítačovém modelování

27. Rozměrová analýza Děkuji za Vaši pozornost