Empirické ov ěření Black-Scholesova modelu oceňování opcí na akcie General E l ectric a IBM

1. Empirické ověření Black-Scholesova modelu oceňování opcí na akcie General Electric a IBM Prezentace k obhajobě disertace Doktorand: Ing. Petr Soukal Školitel: Doc.Ing. Jiří Trešl, CSc.

2. Obsah prezentace: 1) Cíl práce 2) Stav problematiky v ČR 3) Empirické studie (jádro práce) 3.1) Popis empirické studie 3.2) Metody odhadu rozptylu resp. volatility 3.3) Typy modelů 3.4) Srovnání modelů 4) Závěr k empirické studii

3. Cíl práce: • 1) Představit opční obchody, fungování hlavních opčních burz • kapitola 2, 3 v disertační práci • 2) Seznámit s principem funkčnosti a interpretací tzv. Black-Scholesova (B-S) modelu a jeho možné varianty • kapitola 4, 5, 6 v disertační práci • 3) Empirické ověření oceňování kupních a prodejních opčních kontraktů evropského typu na reálných datech společností General Electric a IBM • kapitola 7, 8 v disertační práci

4. Stav problematiky v ČR: • Problematika oceňování opcí a srovnávání jednotlivých metod odhadů ceny opce není v ČR široce rozšířena. • Neexistence opční burzy v ČR. • Obecnou problematikou opcí se zabývají např. Jílek [31], Kohout [32], Málek [38] a Slačálek [43] • kapitola 9 v disertační práci • 4) Ve světě je oblast popsána o poznání více, je vidět užší spojení mezi teorií a praxí. • 5) Ucelená metodika srovnávání odhadnutých a tržních cen není k dispozici.

5. Popis empirické studie: • Srovnání empirické (tržní) a teoretické (BS) ceny evropské opce • Cena kupní (C) a prodejní (P) opce • Podkladová akcie GE a IBM – výnosy splňují podmínky normality • Zdroj dat Chicago Board Options Exchange • Všechny analýzy jsou počítány k datu 18.2.2003 K výpočtu teoretické B-S ceny opce je třeba zajistit pětproměnných: (1) současnou cenu podkladového aktiva S, (2) uplatňovací cenu B, (3) dobu do vypršení t, t = n/360 (4) bezrizikovou úrokovou sazbu r- 4, 13, 26, 52 týdenní Treasury Bills (5) volatilitu výnosu podkladového aktiva s.

6. Metody odhadu rozptylu resp. volatility: detail kapitola 7.2. (1)metoda denních minim a maxim (2)metoda vycházející ze 100 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 18.2.2003 (3)metoda vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 25.9.2002 – 4.12.2002 tj. 1.polovina souboru (4)metoda vycházející z 50 pozorování cen podkladových aktiv za období 5.12.2002 – 18.2.2003 tj. 2.polovina souboru (5)metoda implikované volatility – průměr implikovaných odhadů (6)extrapolace pomocí GARCH(1,1)

7. Black-Scholesův vzorec: Evropská kupní opce • Jediné řešení BS rovnice • Cena za evropskou opci je spravedlivá, definována na základě spekulace o duplikaci vloženého počátečního kapitálu • Publikováno 1973 – F. Black, M. Scholes, R. Merton • Nobelova cena 1997

8. Typy modelů: • detail kapitola 7.3. • k výpočtu ceny evropské opce použito celkem 12 typů modelů, liší se • metodou odhadu volatility – metoda 1, 2, 3, 4, 5, 6 – viz str.6 • zahrnutím/nezahrnutím dividenty Model Rozptyl Dividenda Jádro BS 1 Metoda (1) Není zahrnuta Black-Scholes BS 2 Metoda (2) Není zahrnuta Black-Scholes BS 3 Metoda (3) Není zahrnuta Black-Scholes BS 4 Metoda (4) Není zahrnuta Black-Scholes BS 5 Metoda (5) Není zahrnuta Black-Scholes BS 6 Metoda (1) Je zahrnuta Black-Scholes BS 7 Metoda (2) Je zahrnuta Black-Scholes BS 8 Metoda (3) Je zahrnuta Black-Scholes BS 9 Metoda (4) Je zahrnuta Black-Scholes BS 10 Metoda (5) Je zahrnuta Black-Scholes MC 11 Metoda (5) Není zahrnuta Monte Carlo simulace BS 12 Metoda (6) Není zahrnuta Black-Scholes Pozn.: Simulace MC je založena na odhadu parametrů rozdělení výnosové míry akcie, 100000 nagenerování výnosové míry akcie a vypočítání evropské ceny opce podle C(S, B) = Max[0, S*exp(rvt) – B]* exp(-rvt)resp.P(S, B) = Max[0, B – S*exp(rvt)]* exp(-rvt), zprůměrování 100000 cen je odhad ceny evropské opce

9. Srovnání modelů: [1] Kolmogorov-Smirnovův test H0: F(teoretická cena) = F(empirická cena) H1: F(teoretická cena) ≠ F(empirická cena) [2] (a) střední chyba odhadu (MB); (b) střední čtvercová chyba odhadu (MSE); (c) střední absolutní chyba odhadu (MAE) [3] Cteor = b0 + b1Cempir + ePteor = b0 + b1Pempir + e.   t-test, zda se koeficient b1 statisticky významně neliší od 1. [4] korelační koeficient mezi empirickou cenou a teoretickou cenou modelu

10. Závěr-výsledky srovnání: [1] Kolmogorov-Smirnovův test Výsledky tab.7.11. • U kupní i prodejní opce na akcie GE test zamítal na 5% hladině významnosti nulovou hypotézu pouze u modelu MC 11. • U kupní opce na akcie IBM byly na 5% hladině významnosti nevhodné modely BS 3, BS 8 a BS 12 (modely s relativně vysokým odhadem rozptylu). • U prodejní opce na akcie IBM byly na 5% hladině významnosti nevhodné modely BS 1, BS 6 a MC 11. • Z pohledu K-S testu byly pro obě podkladové akcie a oba typyopcí vyhovující modely BS 2, BS 4, BS 5, BS 7, BS 9 a BS 10 (tj. modely kde do B-S vzorce byly dosazeny středně vysoké a nízké hodnoty odhadu rozptylu).

11. Závěr-výsledky srovnání: [2] MB, MSE, MAE Výsledky tab.7.12. • U opce na akcie GE, stejně tak i opce na akcie IBM, MB signalizovala systematické podhodnocování umodelů s nižší dosazenou hodnotou odhadu rozptylu do B-Svzorce, tj. BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 a MC 11. • Největší MB, MSE a MAE odhadu ceny opce, pro obě podkladové akcie byla u modelů BS 3, BS 8, BS 12. • Tento výsledek byl v souladu se závěry K-S testu, u všech tří modelů odhadu ceny opce se zamítala nulová hypotéza alespoň u jedné podkladové akcie. • Nejmenší MB, MSE a MAE odhadu ceny opce byly u modelů BS 10 a BS 5, což opět korespondovalo se závěry K-S testu.

12. Výsledky okomentovány v autoreferátu a v textu disertace v kapitole 7.4. strana 70-79 Závěr-výsledky srovnání: [2] MB, MSE, MAE • Detailní analýza udělána dále podle: • typu opce (call X put) výsledky tab.7.13. • doby do splatnosti t výsledky tab.7.14. • vztahu současné ceny akcie S a uplatňovací ceny Bvýsledky tab.7.15. • kombinace typ opce a vztahu ceny akcie S a uplatňovací ceny výsledky tab.7.16. pro GE, výsledky tab.7.17. pro IBM • kombinace typ opce a doba do splatnosti výsledky tab.7.18. pro GE, výsledky tab.7.19. pro IBM

13. Závěr-výsledky srovnání: [3] t-test Výsledky kapitola 7, strana 80, tab.7.22. • Otestování hypotézyb0 = 0 a b1 = 1 • z regrese Cteor = b0 + b1Cempir + eresp. Pteor = b0 + b1Pempir + e • Tento test použil Slačálek[43] • k tomuto testu mám několik připomínek • a) vhodnější by bylo použít regresy bez b0 , • b) autor se vůbec nezabýval tím, zdali rezidua splňují podmínkybílého šumu, protože podle tohoto výzkumu podmínky nesplňují. • Podmínky t-testu byly splněny pouze u odhadu ceny kupní opce na akcie GE modelem BS 1. • Žádný další model nesplnil podmínky t-testu u odhadu ceny prodejní opce na akcie GE a kupní a prodejní opce na akcie IBM.

14. Závěr-výsledky srovnání: [4] korelační koeficient Výsledky kapitola 7, strana 80, tab.7.22. • k tomuto testu mám připomínku, že data nepocházejí z dvojrozměrného normálního rozdělení, což je nutný předpoklad použití korelačního koeficientu. • Nejtěsnější vztah pro kupní a prodejní opci na akcie GE byl u modelů BS 1, BS 5, BS 6, BS 10 (což jsou modely s nižší hodnotou odhadu volatility). • Obdobně tomu bylo pro kupní a prodejní opci na akcie IBM. • Závěry jsou totožné jako u analýzy dle kritérií MB, MSE, MAE a K-S testu.

15. Závěr k empirické studii: • používat modely BS 5 nebo BS 10 založené na implikované volatilitě • Black-Scholesův model není samozřejmě úplně bezchybný. • Chybyv odhadech jsou způsobeny hlavně těmito důvody: • a) neuvažování transakčních nákladů, • b) ignorováním výplaty dividend v některých modelech • c) rozdílem mezi ask a bid cenou opce a • d) nepřesností v odhadu volatility ceny podkladového aktiva. • Black-Scholesův vzorec nicméně představuje jednu z nejznámějších aplikací stochastického počtu v teorii financí. • Tato práce se snažila nastínit základní principy tohotomatematického nástroje a citlivost na vstupní parametry modelu.

16. Děkuji za pozornost