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Movimento Elíptico

Movimento Elíptico. R. Boczko IAG-USP. 02 07 06. Órbitas não circulares. Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.). As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares. Movimento Kepleriano. Elipse. Kepler Alemão 1571 - 1630. Estudo da elipse.

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Movimento Elíptico

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Presentation Transcript

  1. Movimento Elíptico R. Boczko IAG-USP 02 07 06

  2. Órbitas não circulares Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.) As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares

  3. Movimento Kepleriano Elipse Kepler Alemão 1571 - 1630

  4. Estudo da elipse

  5. Definição de elipse e de seus elementos principais

  6. Traçar uma circunferência Comprimento do barbante = a Chão R=a

  7. Traçar uma elipse Comprimento do barbante = 2.a Chão

  8. Definição de uma elipse Q r’ r F’ F Elipse 2a r + r’  2a

  9. Elementos de uma elipse B O A a f P F e  f/a b f  ae B’ a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = distância focal e = excentricidade

  10. f  ae Semi-eixo menor b Q = B b r r’ r + r’  2a r = r’ r = a O f f F’ F No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

  11. y b Equação da circunferência e da elipse y Q Y x a x O Circunferência x2 + Y2 = a2 Elipse x2 / a2 + y2 / b2 = 1

  12. Equação da reta tangente à elipse num ponto M Elipse x2 / a2 + y2 / b2 = 1 y Reta tangente x.xM/ a2 + y.yM/ b2 = 1 M yM x a xM O b

  13. Perímetro aproximado de uma elipse O a b P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b}

  14. d a b = a {1- e2} b = 1 {1- 0,016732} b = 0,999.860.043.8 P  3 p( 1+ 0,999.860.043.8 ) / 2 - {1x 0,999.860.043.8} P  8,424.188.413.1 UA  1.263.628.261,962 km v = 1.263.628.261,962 km / 365,25 d v  3.459.625 km/dia  40 km/s Velocidade média de translação da Terra v = P / T P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b} T  365,25 dias O a a = 1 UA  150.000.000 km e = 0,01673 b

  15. rmédio = ? Quanto vale o raio orbital médio ao longo de um ciclo? r3 r2 r1 Elipse

  16. Q'1 Q1 r' r' r r Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior O A P F' Para todos os pares de pontos simétricos F Para um par de pontos simétricos Q1 e Q'1 r1 = a Q1 r + r' = 2a Q2 e Q'2 r2 = a Q'1 r' + r = 2a ... r + r' + r' + r = 2a + 2a QN e Q'N rN = a r + r' + r' + r = 4a r1 + r2 + ... + rN = N.a (r + r' + r' + r) / 4 = a (r1 + r2 + ... + rN ) / N = a r1 = a r = a

  17. Circunferência achatada = Elipse =

  18. f  ae C {1- e2} b = aC Fator de contração (C) Q = B b r r’ O f f F’ F r + r’  2a r = r’ r = a No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

  19. Convenção de representação

  20. Y B P O X Quadrante elíptico Y B P X O

  21. = Elipse considerada como uma circunferência contraída

  22. b = aC y = Y (aC/ a) y = YC Elipse = Circunferência contraída y Para a circunferência: X2 + Y2 = a2 Como x = X, então: x2 + Y2 = a2 x2 = a2 - Y2 Circunferência Q’ Y Elipse a Q b y Para a elipse: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 1 1 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1 y2 / b2 = Y2 / a2 y2 = Y2 (b2/ a2) y = Y (b/ a) x o Q” x = X

  23. Áreas envolvidas com a elipse

  24. Y B a y dA dy A = 4  dA u = 0  /2 u P A = 4  a.b. cos2 u . du u = 0  /2 x O cos u = {(1+cos 2u)/2} C {1- e2} cos2 u = (1+cos 2u)/2 y = (a.sen u) C A = 4.a.b  [(1+cos 2u)/2] . du b = a.C y = b.sen u A = 4.a.b {  (1/2) du +  (cos 2u)/2) du} dy = b.d{sen u} A = 4.a.b { [u/2] + [(sen 2u)/4)]} dy = b.cos u . du dA = x . dy A = 4.a.b {(/2-0)/2 + [(sen )/4 - 0]} dA = (a.cos u) . (b.cos u . du) A = .a.b dA = a.b.cos2 u . du Área da elipse x = a.cos u

  25. Área de um setor circular Medida em radianos Medida em graus c A 3600 r2   A 2  r2   A  O r A =  r2. 0 / 3600 A = r2.  / 2

  26. Setor elíptico c A  a x O b A = ( a.b / 2 ) . [ arccos ( x / a ) ] rad

  27. Setor ' kepleriano' c A O  a F b

  28. Q' Q' Q Y Y Yi y ASE  O P x Q" Q" x x Q' A2 =  yi. x A1 = x y /2 A1 = x (Y.C) /2 A2 =  Yi.C. x Q A1 = C (x Y / 2) Y A2 = AS . C A1 = AT .C AT yi AS y A1 A2 x Q" Q" x ASE = A1 + A2 ASE = AT .C + AS . C ASE = (AT + AS ) C AS =  Yi. x ASE = ASC . C Área de um setor de elipse r ASC  O P y = Y.C ASC = AT + AS AT = x Y / 2

  29. Kepler e os movimentos elípticos

  30. Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) Semi eixo menor Semi-eixo maior Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

  31. Afélioe Periélio O a f A P Foco b q’ q Afélio: q’ = a + f q’ = a +ae q’ = a ( 1+e ) Periélio: q = a - f q = a - ae q = a ( 1- e )

  32. Anomalias M u v

  33. Movimento Médio T = Período orbital do astro: tempo para dar uma volta completa em torno do Sol n = Movimento médio: velocidade angular do astro n  3600 / T 0/dia r2 n r1 Elipse n  2p / T rad/dia

  34. Anomalia Média M tP Elipse tp = instante da passagem periélica t = instante no qual se deseja a posição do astro M = Anomalia Média: ângulo que seria percorrido pelo astro, no intervalo de tempo (t - tp), se ele tivesse movimento circular uniforme M  n (t - tp) n  3600 / T

  35. Q’ Y a r y v u Q” Anomalias verdadeira e excêntrica y Circunferência Q = Astro F = Sol r = raio vetor do astro v = anomalia verdadeira u = anomalia excêntrica Elipse Q x O P F

  36. Q1 r' r Raio orbital r em função da anomalia verdadeira v r + r' = 2a r' = 2a - r v 180-V O f f A P F' f = ae f = ae F r'2 = r2 + (2f)2 - 2. r.(2f).cos(180-V) (2a - r )2 = r2 + 4f2+ 4. r.f.cos V 4a2 - 4ar + r2 = r2 + 4(ae)2 + 4. r.(ae).cos V 4a2 - 4ar + # = # + 4a2.e2 + 4. r.a.e.cos V 4a2 - 4a2.e2 = 4ar + 4. r.a.e.cos V 4a2 (1-e2) = 4ar ( 1 + e.cos V) C {1-e2} r = a (1-e2) / ( 1 + e.cos V) r = a C2 / ( 1 + e.cos V)

  37. Obtenção daEquação de Kepler

  38. Passo intermediário: v = g { u } Conseguimos: u = h { t } Objetivo de trabalho y Circunferência Desejamos: v = f { t } Q’ Elipse t a r u v P x o tP F Q”

  39. b = aC y = b . senu Relacionar u e v y Circunferência No DOQ’Q”: x = a . cos u Y = a . sen u y = Y . C y = (a . sen u) C Q’ Elipse a Y a Q b r y u v P NoDOQQ”: x = a . cos u y = b . senu x o F Q” f x’ x No DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v x’ = x - f

  40. f ae x’ = x - f b = aC sen v = aC . senu / r C {1- e2} sen v = a {1- e2} . senu / r NoDOQQ”: x = a . cos u y = b . senu No DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v Raio vetor (r) r . sen v = b . senu sen v = b . senu / r r . cos v = a . cos u - ae cos v = a ( cos u - e) / r sen2v + cos2 v = 1 a2(1- e2) . sen2u / r2 + a2 ( cos u - e)2 / r2 = 1 a2[ sen2u - e2. sen2u + (cos2 u - 2 e cos u + e2) ] = r2 a2[ sen2u + cos2 u + e2 - e2. sen2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2 (1 - sen2u) - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2cos2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 - ecosu ]2 = r2 r = a ( 1 - ecosu )

  41. C {1- e2} sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Relacionar u e v sen v = aC . senu / r cos v = a ( cos u - e) / r r = a ( 1 - ecosu ) sen v = aC . senu / [a ( 1 - ecosu )] cos v = a ( cos u - e) / [a ( 1 - ecosu )] cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] 0 v 1800 Se sen v  0 então v = v Se sen v < 0 então v = 360 - v

  42. Usando: cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] tan (v/2) = { (1+e) / (1-e) } .tan (u/2) q tan (v/2) v = 2 arctan (q) -900v +900 Outro jeito de relacionar u e v Fórmula da tangente do arco metade: tan (v/2) = { (1-cos v) / (1+cos v) } sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Se v  0 Se senv  0  v = v Se senv < 0  v = v + 1800 Se v < 0 Se senv  0  v = v + 1800 Se senv < 0  v = v + 3600

  43. Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) A A Dt Dt Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele, com seu raio vetor varrendo áreas iguais em tempos iguais.

  44. A Aelipse = pab T = Período orbital (VA) = pab / T Velocidade areolar (VA) b A Dt Dt Foco (VA) = DA / Dt

  45. M r (r/ r’ )3 = (T/ T’ )2 m T r’ r3 = k T2 m’ T’ Expressão correta: r 3 = [G/(4p2)] ( M + m ) T 2 (r / r’ )3 = { (M + m) / (M + m’) }x (T/ T’ )2 Terceira Lei de Kepler

  46. Relacionar u e t

  47. f  ae AFOQ = (ae).(b . senu)/2 y = b . senu Equação de Kepler (APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria Kepler: pab  T APFQ  (t-tP) Geometria: APFQ = APOQ - AFOQ APFQ = (pab/T) (t-tP) AFOQ = f.y/2 y Circunferência AFOQ = (a.b.e senu) / 2 Q’ APOQ = APOQ’ . C APOQ = [(u.a) . a /2] . C APOQ = [u.a. b /2] Elipse a Y a Q b APFQ = [u.a. b /2] - (a.b.e senu) / 2 r y u v P f x APFQ = (ab/2)[u - e senu] o F Q”

  48. Equação de Kepler (APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria APFQ = (pab/T) (t-tP) APFQ = (ab/2)[u - e senu] (pab/T) (t-tP) = (ab/2)[u - e senu] (2p / T) (t-tP) = [u - e senu] n 2p / T (n) (t-tP) = [u - e senu] M  n (t - tp) M = u - e senu (em radianos) M = u - (1800 / p ) e . senu (em graus) u = M + (1800 / p ) e . senu (em graus)

  49. Soluções aproximadas da Equação de Kepler

  50. e sen u 45o u M e sen u u u = M + e.senu Solução gráfica da equação de Kepler y = e sen u +e M  n (t - tp) urad e sen u M -e

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