Ocjena u činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih mehanizama

1. Ocjena učinkovitosti postupaka za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih mehanizama Magistarski rad

2. Sadržaj • Uvod • Kinematika SPM • Matematička definicija problema • Postupci rješavanja unaprijedne kinematike • Prilagodbe postupaka rješavanja • Ocjena učinkovitosti • Zaključak

3. Uvod • Stewartovi paralelni mehanizmi (SPM) pripadaju porodici paralelnih manipulatora • paralelni manipulator: rad je ostvaren zajedničkim djelovanjem nekoliko paralelnih kinematskih lanaca • većina današnjih paralelnih manipulatora načinjena je po uzoru na Stewartov paralelni manipulator – Stewartova platforma ili heksapod • heksapod: šest paralelnih kinematskih lanaca – šest krakova koji povezuju nepomičnu (osnovnu) i pomičnu platformu • heksapodom se upravlja mijenjanjem duljina krakova

4. Uvod

5. Uvod Svojstva Stewartove platforme: • velika preciznost • dobra pokretljivost (dinamička svojstva) • čvršća mehanička struktura • mali radni prostor • složeno upravljanje

6. Kinematika SPM • upravljanje heksapodom: promjenom duljina krakova • orijentacija krakova u prostoru je nepoznata • konfiguracija heksapoda (stanje u kojemu se nalazi) određena je položajem i orijentacijom pomične platforme • zadanom položaju i orijentaciji odgovara jedinstveni skup duljina krakova • preslikavanje položaja i orijentacije pomične platforme u duljine krakova heksapoda naziva se inverzna kinematika heksapoda IK: (položaj, orijentacija)  (l1, l2, l3, l4, l5, l6) • računanje inverzne kinematike je jednostavno, jednoznačno i brzo • za zadano gibanje heksapoda računa se inverzna kinematika u dovoljno velikom broju točaka

7. Kinematika SPM • pronalaženje položaja i orijentacije pomične platforme na osnovi zadanih duljina krakova – unaprijedna kinematika heksapoda UK: (l1, l2, l3, l4, l5, l6)  (položaj, orijentacija) • problem unaprijedne kinematike: • nije jednoznačan (može postojati više rješenja) • rješenje se ne može opisati analitički

8. Kinematika SPM Zašto je potrebno rješenje unaprijedne kinematike? • povratna veza u sustavu za upravljanje manipulatorom (force-feedback control) • mapiranje nepoznatih površina (positon-orientation sensor) • osjetnik vanjske sile i momenta (force-torque sensor) Koja su svojstva prihvatljivog postupka rješavanja? • pouzdanost – pronalaženje rješenja bez obzira na početne uvjete • brzina – omogućuje rad u stvarnom vremenu • preciznost – ovisno o zahtjevima primjene

9. Matematička definicija problema • Definicija konstrukcije heksapoda: koordinate hvatišta krakova na osnovnoj i pomičnoj platformi • šest vektora za osnovnu ( ) i šest za pomičnu platformu ( ) • platforme su planarne – sva hvatišta u jednoj ravnini • vektori i spajaju središte platforme sa odgovarajućim zglobom • definirani su u lokalnim koordinatnim sustavima osnovne i pomične platforme (nepromjenjive veličine)

10. Matematička definicija problema • Rješenje unaprijedne kinematike: položaj i orijentacija pomične platforme u globalnom koordinatnom sustavu • globalni koordinatni sustav ekvivalentan je sustavu osnovne platforme • položaj pomične platforme opisan je vektorom koji spaja središta platformi

11. Matematička definicija problema • orijentacija pomične platforme: kutevi zakreta oko osi globalnog koordinatnog sustava • zakret za kut  oko osi x, potom  oko osi y, te  oko osi z • navedeni kutevi definiraju rotacijsku matricuR • rotacijska matrica • vektor u sustavu pomične platforme + vektor translacije pomične platforme = vektor u globalnom koordinatnom sustavu

12. Matematička definicija problema • točno rješenje nije moguće analitički odrediti  iterativni postupci • potrebno je definirati funkciju greške proizvoljnoga – trenutnog rješenja u odnosu na stvarno rješenje • ocjena valjanosti rješenja – primjenom inverzne kinematike • računanje duljina krakova pomoću položaja i orijentacije • duljina kraka računa se kao euklidska udaljenost hvatišta na osnovnoj i pomičnoj platformi: • u radu je definirano pet funkcija koje ocjenjuju valjanost rješenja – pet funkcija cilja

13. Matematička definicija problema Funkcija F1 – položaj i orijentacija kao varijable • varijable su komponente vektora translacije i kutevi zakreta pomične platforme • ukupna pogreška izražena je kao suma kvadrata pogrešaka za svaki krak • varijable su grupirane u vektor čiji elementi predstavljaju rješenje unaprijedne kinematike

14. Matematička definicija problema Svojstva funkcije F1 • velik stupanj nelinearnosti – elementi rotacijske matrice su trigonometrijske funkcije kuteva • teško odrediti ukupan broj mogućih rješenja • derivabilna u svakoj točki • najčešće korišten oblik ocjene rješenja unaprijedne kinematike

15. Matematička definicija problema Funkcija F2 – kanonski oblik jednadžbi unaprijedne kinematike • ideja: uporaba elemenata rotacijske matrice kao varijabli, čime se izbjegavaju trigonometrijske ovisnosti • dobiva se veći broj varijabli • neke je moguće eliminirati – vrijedi npr.

16. Matematička definicija problema • ideja br. 2: promjena koordinatnih sustava osnovne i pomične platforme • odgovarajućim izborom koordinatnih sustava pojednostavljuje se oblik jednadžbi • u oblikovanju jednadžbi polazi se također od 6 osnovnih jednakosti za euklidsku udaljenost točaka

17. Matematička definicija problema Kanonski oblik jednadžbi (sustav 9x9):

18. Matematička definicija problema Konačni oblik funkcije greške i vektora rješenja:

19. Matematička definicija problema Svojstva funkcije F2 : • veći broj nepoznanica – ukupno 9 • polinomski oblik (4. stupnja) – nema transcendentalnih ovisnosti • derivabilna u svakoj točki • potrebno je naknadno izračunavanje kuteva zakreta iz elemenata rotacijske matrice

20. Matematička definicija problema Funkcije F3iF4 – reducirani kanonski oblik jednadžbi • kanonski oblik jednadžbi dopušta redukciju broja varijabli • od 9 jednadžbi kanonskog oblika 3 su linearne  3 varijable se mogu prikazati kao linearne kombinacije • eliminacija tx, ty i ny daje:

21. Matematička definicija problema Funkcija F3 (kao F2 bez posljednja tri pribrojnika): Svojstva funkcije F3 (u odnosu na F2): • manji broj nepoznanica (6) od kanonskog oblika • i dalje polinomski oblik, najviše 4. stupnja

22. Matematička definicija problema • moguće je i dalje smanjenje broja varijabli, ali uz povećanje složenosti jednadžbi • dobiva se sustav 4. stupnja od 3 jednadžbe sa tri nepoznanice • funkcija F4 ima sljedeći oblik:

23. Matematička definicija problema Funkcija F5 – prikaz orijentacije pomoću rotacijskog vektora • svaku rotaciju moguće je prikazati jednim zakretom oko odgovarajuće postavljene osi • orijentacija pomične platforme predstavlja se vektorom osi rotacije i kutom zakreta – potrebno 4 varijable • vektor osi rotacije je jedinične duljine – definira se umnožak kuta rotacije i vektora osi rotacije: • vektor rješenja i dalje ima 6 elemenata:

24. Matematička definicija problema • iz početne zadane orijentacije (kutevi ,  i  ) izračunava se vektor osi rotacije i kut rotacije  • tokom rješavanja računaju se elementi rotacijske matrice • na kraju postupka rješavanja orijentacija se ponovno prikazuje pomoću ,  i  • funkcija F5 računa se kao i F1 – euklidska udaljenost točaka Svojstva funkcije F5: • nelinearna – sadrži trigonometrijske funkcije • nije derivabilna u svakoj točki (nedefiniranost vektora osi rotacije za neke slučajeve)

25. Postupci rješavanja unaprijedne kinematike Potrebe za rješenjem unaprijedne kinematike: • u postupku analize • tražimo sva rješenja • vrijeme rješavanja nije kritično  složeniji postupci, posebno definirani za određenu vrstu manipulatora (numerički) • u stvarnom vremenu • tražimo samo jedno rješenje (po mogućnosti pravo) • vrijeme je ograničeno • poznata je početna konfiguracija heksapoda  iterativni (konvergencijski) postupci Na matematički definiran problem primjenjuje se neki od algoritama optimiranja

26. Postupci rješavanja unaprijedne kinematike Primijenjeni algoritmi optimiranja: • Hooke-Jeeves postupak • Powellov postupak • Metoda najbržeg spusta • Newton-Raphsonov postupak • Newton-Raphsonov postupak s konstantnim Jacobijanom • Postupak po Fletcheru i Powellu Cilj rada: pronaći odgovarajuću kombinaciju matematičke definicije problema (funkcije F1-F5) i algoritma optimiranja koja omogućuje rješavanje u stvarnom vremenu

27. Prilagodbe postupaka rješavanja • algoritme optimiranja je ponekad moguće prilagoditi koknretnom problemu • smanjuje se općenitost, ali je moguće povećanje brzine ili stupnja konvergencije (postotka pronalaženja rješenja) Učinkovito pronalaženje minimuma na pravcu • neki algoritmi optimiranja koriste pronalaženje minimuma na pravcu u svakom koraku – vremenski zahtjevno • traženje minimuma na pravcu  traženje minimuma po jednoj varijabli koja množi proizvoljni vektor smjera:

28. Prilagodbe postupaka rješavanja • funkcije F2 i F3 su polinomi 4. stupnja • parcijalna derivacija po  daje polinom 3. stupnja • traženi minimum je jedna od nul-točaka polinoma • pronalaženje nul-točaka u okolini =0 puno je brže od traženja minimuma na pravcu uzastopnim izračunavanjem funkcije • svi algoritmi koji koriste pretraživanje na pravcu ubrzani su za funkcije F2 i F3

29. Prilagodbe postupaka rješavanja • parcijalnom derivacijom funkcija F1 i F5 po tx, ty i tz također se dobiva polinom 3. stupnja moguće je traženje minimuma po koordinatnim osima tx, ty i tz • ideja: načiniti 2-3 iteracije traženja po tim koordinatnim osima prije početka postupka optimiranja Početno pretraživanje: nekoliko koraka traženja po koordinatnim osima (u cilju pronalaženja boljeg početnog rješenja)

30. Prilagodbe postupaka rješavanja Generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli • reducirani kanonski oblik jednadžbi ima samo 3 varijable –nedovoljno za jednoznačan opis konfiguracije heksapoda • sa tri varijable je predstavljen cijeli skup kofiguracija heksapoda sa bilo kojim vrijednostima ostalih (eliminiranih) varijabli • u postupku preslikavanja rješenja u standardni oblik položaja i orijentacije (6 varijabli) ostale vrijednosti se izračunavaju pomoću konstanti • ako su predstavljene varijable jednake stvarnom rješenju, ostale će varijable automatski poprimiti točne vrijednosti

31. Prilagodbe postupaka rješavanja Primjer: reducirani kanonski oblik sa varijablama nx, ox i oy • ne sadrži informaciju o položaju pomične platforme • položaj središta platforme (tx, tyitz) dobiva se preslikavanjem u nereducirani oblik • ako varijable nx, ox i oyodgovaraju stvarnom rješenju, automatski se dobivaju točne vrijednosti za ostale varijable • inače: dobivene vrijednosti tx, tyitz koriste se kao početno rješenje postupka optimiranja! (orijentacija se ne mijenja) • postupak generiranja početnog rješenja: pretvorba u reducirani kanonski oblik, potom ponovno u nereducirani oblik

32. Ocjena učinkovitosti • naći odgovarajuću kombinaciju funckije cilja, postupka optimiranja i prilagodbe Kriteriji učinkovitosti: • sposobnost konvergencije ka najbližem rješenju • brzina konvergencije uz zadanu preciznost • najveća moguća preciznost Ispitivanje učinkovitosti: • statičko ispitivanje • simulacija dinamičkog rada

33. Ocjena učinkovitosti Ispitne konfiguracije (statičko ispitivanje):

34. Ocjena učinkovitosti Statičko ispitivanje • 5 funkcija cilja, 6 algoritama optimiranja, 2 prilagodbe postupka • za svaku funkciju i algoritam – 4 inačice i odgovarajuća oznaka: • 'A' – nepromijenjeni algoritam • 'B' – generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli • 'C' – početno pretraživanje po x,y,z koordinatama • 'D' – generiranje poč. rješenja i početno pretraživanje • rezultati: vrijeme (ms) potrebno postupku da pronađe zadano rješenje • ako je postupak konvergirao na neko drugo rješenje (također minimum!), polje u tablici je zatamnjeno • ako postupak nije konvergirao (lokalni minimum, predugo vrijeme, divergencija) u polju je '–'

35. Ocjena učinkovitosti Rezultati optimiranja funkcije F1

36. Ocjena učinkovitosti Rezultati optimiranja funkcije F2

37. Ocjena učinkovitosti Rezultati optimiranja funkcije F3

38. Ocjena učinkovitosti Rezultati optimiranja funkcije F5

39. Ocjena učinkovitosti Simulacija dinamičkog rada • definirane su putanje pomične platforme • početni položaj je poznat • kretanje je podijeljeno na jednake vremenske razmake – intervale • unutar svakoga intervala traži se novi položaj pomične platforme i računa pogreška između stvarne i dobivene vrijednosti • ispitni postupci u dinamičkom ispitivanju uključuju generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli (stupac 'B')

40. Ocjena učinkovitosti Prvi pomak: • relativno jednostavan (mijenjaju se samo x, y i kut ) • simulacija za t od 0 do 5 sekundi

41. Drugi pomak: Treći pomak: Ocjena učinkovitosti

42. Ocjena učinkovitosti Neke ovisnosti varijabli u trećem pomaku:

43. Ocjena učinkovitosti • rezultati simulacije: apsolutna pogreška stvarnih i izračunatih vrijednosti položaja i orijentacije pomične platforme u svakom intervalu • interval T izražen je u ms • zbog raznolikosti i velikog broja intervala uzima se najveća pogreška u posljednjih 100 ms • prikaz je u logaritamskom mjerilu • odvojeno su prikazane pogreške u kutovima i pogreške u koordinatama: x (crveno, puna crta) y(plavo, isprekidana crta)  z (crno, isprekidana crta)

44. Ocjena učinkovitosti Funkcija F1, prvi pomak, Hooke-Jeeves postupak, T = 10 ms

45. Ocjena učinkovitosti Funkcija F3, prvi pomak, Fletcher-Powell postupak, T = 2 ms

46. Ocjena učinkovitosti Funkcija F3, prvi pomak, Newton-Raphsonov postupak, T = 2 ms

47. Ocjena učinkovitosti Funkcija F3, drugi pomak, Newton-Raphsonov postupak, T = 2 ms

48. Ocjena učinkovitosti Funkcija F3, treći pomak, N-R postupak, T = 2 ms

49. Ocjena učinkovitosti Funkcija F3, treći pomak, N-R postupak, T = 2 ms, razilaženje

50. Ocjena učinkovitosti • postoje dvije putanje (ili više njih) sa jednakim duljinama krakova u svakom trenutku – ekvivalentna gibanja • pojava je posljedica postojanja više rješenja unaprijedne kinematike • funkcija cilja je u oba slučaja minimalna (oko 10-30 do 10-20) – algoritam u oba slučaja pronalazi rješenje, no samo je jedno pravo • bez dodatnih podataka (osim duljina krakova) nije moguće odrediti koje od rješenja predstavlja stvarnu konfiguraciju heksapoda