第五节高斯变换阵与矩阵的三角分解一、 Gauss 变换阵

数值分析 第五节高斯变换阵与矩阵的三角分解一、Gauss变换阵定义Gauss变换阵为数值分析

数值分析 数值分析

数值分析 Gauss变换阵的性质：数值分析

数值分析 Gauss变换阵的作用：数值分析

数值分析 二、矩阵的三角分解1. 顺序高斯消元与LU分解的等价性顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分消为零，即数值分析

数值分析 进行到第k步消元时数值分析

数值分析 其中数值分析

数值分析 消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的元素实际上是一个新的矩阵，记为数值分析

数值分析 LU分解的MATLAB程序 function A=lud(A) %功能：对方阵A作三角分解A=LU,其中， % L为单位下三角阵，U为上三角阵， %输入：方阵A。 %输出：紧凑存储A=[L\U]. %注意：当A的主元=0时退出Matlab. [n,n]=size(A); % 确定A的维数 for k=1:n-1 for i=k+1:n if A(k,k) ==0 quit; end A(i,k) =A(i,k)/ A(k,k); A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)- A(i,k) *A(k,k+1:n); end end 数值分析

数值分析 2. 矩阵三角分解的基本定理数值分析

数值分析 主要结论数值分析

数值分析 3. Cholesky分解(平方根分解) （用直接三角分解法） (1) 数值分析

数值分析 (k) 若已求出了L的前k-1列元素，则为求第k列元素，先用L的第k行乘 LT的第k列数值分析

数值分析 再用L的第k行乘 LT的第j列( j=k+1 ,k+2,……,n )有数值分析

数值分析 Cholesky分解公式数值分析

数值分析 4. 列主元LU分解数值分析

数值分析 MATLAB实现 [l,u,p]=lu(A) 数值分析

数值分析 Lupd.m %功能：对方阵A作列主元三角分解PA=LU,其中， % L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P % 用向量p表示。 %输入：方阵A。 %输出：紧凑存储LU=[L\U]，以及p。 %注意：当A奇异时退出Matlab. function [LU,p]=lupd(A) %初始化 n=length(A); p=1:n; LU=A; %分解过程 for k=1:n %搜索列主元ik [s,i]=max(abs(LU(k:n,k))); ik=i+k-1; 数值分析

数值分析 %判断矩阵的奇异性 if s==0 quit; end %行交换 if ik~=k m=p(k); p(k)=p(ik); p(ik)=m; lk=LU(k,:); LU(k,:)=LU(ik,:); LU(ik,:)=lk; end %用消元法计算LU=[L\U] if k==n break; end LU(k+1:n,k)=LU(k+1:n,k)/LU(k,k); LU(k+1:n,k+1:n)=LU(k+1:n,k+1:n)-LU(k+1:n,k)*… LU(k,k+1:n); end 数值分析

数值分析 5. 全主元LU分解数值分析

数值分析 Lupqd.m %功能：对方阵A作全主元三角分解PAQT=LU,其中， % L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P % 和Q分别用向量p,q表示。 %输入：方阵A。 %输出：紧凑存储LU=[L\U]，以及p和q。 %注意：当A奇异时退出Matlab. function [LU,p,q]=lupqd(A) %初始化 n=length(A); p=1:n; q=p; LU=A; 数值分析

第五节高斯变换阵与矩阵的三角分解一、 Gauss 变换阵