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Constraint Networks 2.2~2.3

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Constraint Networks 2.2~2.3

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  1. Constraint Networks 2.2~2.3 5月7日 上田研究室 M2 西村 光弘

  2. 2.2 Numeric and Boolean Constraints 2.1.2(P27)で取り扱った関係の記述を、より簡潔 で扱いやすいように記述する ↓  算術制約やブーリアン制約を用いる 算術制約:より簡潔な表現 ブーリアン制約:禁止されるタプルを表現

  3. 2.2.1 Numeric Constraint • 算術式で制約を簡潔に表現する 例:4-queens problem 全ての2つの変数xiとxj(図の縦列) ∀i,jに対し、 横列が同じでない → xi≠xj 斜めの場所にない → lxi – xjl≠li - jl Rij = {(xi, xj) l xi ∈ Di, xj ∈ Dj, xi≠xj and lxi – xjl≠li - jl}

  4. Numeric Constraint もう一つの例 + α • 変数領域を整数の有限部分集合にする • 2つの変数の間の2項制約を線形不等式の結合で表す   (3xi + 2xj < 3 )∧(-4xi + 5xj < 1) Crypto-arithmetic Puzzles 上記の線形制約を用いて 簡単に定式化できる “integer liner program” 同じ文字は同じ数字が 隠されている 数字は0~9 SEND +MORE MONEY

  5. 2.2.2 Boolean Constraints • 制約問題の変数が2値である場合、関係を記述するのによくBoolean制約を使う 例:Alex, Bill, Chrisをpartyに招待する場合 A=命題“Alexはpartyに来る”(B,Cも同様)とする わかっていること ・Alexが来るならBillも来る ・Chrisが来るならAlexも来る → (A → B) ∧ (C → A) ↓同じ意味 (¬A∨B) ∧ (¬C∨A)

  6. 例:Alex, Bill, Chrisをpartyに招待するChrisが来るとしたらBillは来る? • 命題論理 命題理論φ = C ∧ (A→B) ∧ (C→A) • Chrisが来るとしたら、Billが来るかどうか →Billが来ないと仮定して矛盾が生じるかどうかを見る つまり、φ∧¬Bを解いて満たされるかをチェック             ↓ この場合は矛盾が示されるので、“Billは来る”

  7. CNF (conjunction normal form) • CNF=論理積標準形 • 命題変数・・・P,Q,Rで表す。 取りうる値は{true, false}or{1, 0} • Clause(節)・・・命題変数と選言記号(disjunction)を用いてα、βなどで表す α=(P∨Q∨R)  (P∨Q∨R∨T)→(α∨T)と略記 (α∨Q)∨(β∨¬Q)→(α∨β) • CNF・・・clauseの集合をφで表す φ={α1,・・・,αt }

  8. CNFとSAT(propositional satisfiability problem) • CNFは、変数が命題(true or false)であるような制約ネットワークでよく見られる 補足説明 CNF theory φ=(A∨B)∧(C∨¬B)→変数3つ、制約(clause)2つ 制約A∨Bは関係RAB=[(1,0),(0,1),(1,1)]を表す • SATは命題充足可能性問題 • CNF理論がmodelを持つかどうかを決定すること model=どのclauseの規則も破らないように、変数に真値を割り当てたもの • 関連する制約問題で矛盾しないかどうかを決定すること

  9. Primal constraint graph • 命題理論φの構造をinteraction graphで描画・・・G(φ) • 無向グラフ • ノードは各命題変数 • エッジは同clauseにある変数の各ペア B C A D Figure2.8 E G(φ)={(¬C),(A∨B∨C),(¬A∨B∨E),(¬B∨C∨D)}

  10. 2.2.3 Combinatorial Circuits Diagnosis • Boolean命題言語は回路を表すのによく使われる • 回路の診断作業は制約充足問題として定式化されうる • 定式化の方法 • 変数と各ゲート(AND、OR、XOR)を関連づける • Boolean制約によって、各ゲートのinputとoutputの関係を記述する • 観測されるoutputから、回路の振る舞いが適切か間違いかを確認する

  11. 2.3 Properties of Binary Constraint Networks • 今まで出てきた制約を処理する概念はBinary Networkのために紹介された Binary Networkは役に立つ         ↓なぜかというと・・・ 後の章にでてくる制約の一般的理論を理解するの に役に立つから • この2.3節ではbinary constraint networkの特徴について書いてある

  12. 2.3.1 Equivalence and Deduction with Constraints • 制約を計算する主な概念はconstraint deduction ↓ 初期の制約集合から、新しい制約集合を 推論すること 例:幾何制約x>yとy>zからx>zを推論する 推論された新しい制約を加えた集合は、初期の 集合と同等のconstraint networkを生み出す

  13. 例:graph-coloring problem 図の説明 • 各ノードは変数x1、x2、x3 • それぞれ同じdomain{red, blue} • Not-equal制約 • R21=R32={(blue, red),(red, blue)} • エッジのないx1とx3の関係はuniversal relation • R13={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)} • 制約からの解は2つでρ123={(red, blue, red)(blue, red, blue)} • そこから推論されるx1とx3の関係は、新しい制約R’13={(red, red)(blue, blue)}を作る(deduction) • 元の制約集合をR、R’13を加えた制約集合をR’とすると、このRとR’は同値であると言える(equivalence) redundant

  14. 図:graph-coloring x2 x2 red blue red blue R’= R= ≠ ≠ ≠ ≠ red blue red blue red blue red blue x1 x3 x1 x3 = (b) (a) Figure2.10

  15. RedundancyとEquivalenceを一般的に言うと • Redundancy • 制約ネットワークからある制約を取り除いても解の全ての集合が変わらない時の、そのある制約のこと • Equivalence • 2つの制約ネットワークにおいて • 同じ変数の集合の上で制約ネットワークが定義されている • 同じ解の集合を表現できる

  16. 定義2.2 Composition • 制約推論はCompositionを通して達成される • Rxy,Ryz(binary or unary constraint)があるとして、composition Rxy・Ryzから2項関係Rxzを作る Rxz={(a,b)la∈Dx, b∈Dz ∃c∈Dy such that (a,c)∈Rxy and (c,b)∈Ryz} • compositionの計算の定義をjoinとprojectionを使って定式化 Rxz = Rxy・Ryz = π{x,z}(RxyRyz) 例:R’ = π{x1,x3}(R12R23) = {(red,red),(blue,blue)} projection join

  17. 図:join and projection R12 R23 x1 x2 x2 x3 blue red blue red red blue red blue R13 = π{x1,x3}(R12R23) ↓join R12R23 x1 x3   → projection x1 x2 x3 blue blue red red blue red blue red blue red

  18. 例2.2 composition 0-1matrix • 2項関係を0-1matrixで表現すると、compositionはBoolean matrixの掛け算になる red blue red blue R23 = R12 = red blue red blue 0 1 0 1 1 0 1 0 red blue 0 1 0 1 1 0 = R12・R23 = R13 = red blue × 1 0 = 1 0 1 0 0 1 0 1

  19. 2.3.2 The Minimal and the Projection Networks 問題提起 どんな関係もbinary constraint networkとして 表現されるか? ↓答え 多くの場合は表現できない(特別なケースだけ表現できる)                 ↓なぜなら 異なる関係の数 > 異なるbinary constraint networkの数                 ↓どうするか Binary projection networkによって関係を近似する

  20. 定義 2.3 projection network 初期の関係 ρ ↓変数の各ペアーでρをprojectionする Projection networkの関係 P(ρ) P(ρ)はnetwork P = (X, D, P)で定義される D={Di}, Di=πi(ρ), P={Pij},Pij=πxi,xj(ρ)

  21. 例2.3 projection network • ρ123={(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)} Projection network P(ρ) P12={(1,1),(1,2)}, P13={(1,2),(1,1)} P23={(1,2),(2,2),(2,1)} P(ρ)からの全ての解はsol(P(ρ)) sol (P(ρ))={(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)} 一般的には このように うまく戻らない 例2.4へ

  22. 例2.4 定理2.1ρ⊆sol(P(ρ)) Projection network P(ρ) P12={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} P23={(1,2),(2,2),(1,3)} P13={(1,2),(2,3),(2,2)} 初期の関係ρ x1 x2 x3 1 1 2 1 2 2 sol(P(ρ)) 2 1 3 x1 x2 x3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 余分な解が増えた 2 2 2

  23. 定理2.2 ¬∃R’, ρ⊆sol(R’)⊂sol(P(ρ)) • Projection network P(ρ)はρを表現するのに、最も厳しい上限のbinary networkである • 説明は前頁(P21)の図を参照 問題提起 P(ρ)はsol(ρ)を表現するのに最も厳しい 関係記述かどうか?

  24. 定義2.4 “tighter than” network relationship 同じ変数の集合を持つ、2つのbinary network をRとR’として、 R’がRと比べ少なくても同じtightさである ⇔全てのi,jに対し、R’ij⊆Rij 例:資料P14のgraph-coloring図2.10の(a)と(b)が上のRとR’に相当する 説明:意味論的に同等で同じ解が得られるのに、 RよりR’   のほうが条件が厳しい

  25. 定義2.5 intersection on networks • 2つのnetwork RとR’のintersection(R∩R’)はbinary networkである。(明らか) 命題2.1 • 2つの同等なnetwork RとR’があるなら、 • R∩R’はそれらと同等なnetworkである • R∩R’は両方より少なくともtightである

  26. 例2.5  命題2.1の例題説明 • 資料P14のgraph-coloring図の関係で、(b)のR23の≠制約を取り除いたRとR’のintersectionを考える • R : • R12=R23={(blue, red),(red, blue)} • R13={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)} • R’ : • R12={(blue, red),(red, blue)} • R13={(blue, blue),(red, red)} • R23={(red, blue),(blue, red),(red, red),(blue, blue)} • R∩R’ (minimal network) • R12= R23= {(blue, red),(red, blue)} • R13={(blue, blue),(red, red)}

  27. 定義2.6 minimal network • R 0と同等の全てのnetworkの集合を{R 1,…, Rl } • ρ=sol(R 0) • R 0のminimal networkは M(R 0)=M(ρ)=∩R iと定義される • 定理2.3 全てのbinary network R に対し、 ρ= sol(R), M(ρ) = P(ρ)が成り立つ 命題2.2 If (a,b)∈Mij then ∃t∈sol(M) such that t[i]=a, t[j]=b l i=1

  28. 2.3.3 Binary-Decomposable Network x y z t x y z • 例2.6 • ρはbinary constraint networkで表現可能 • projectedな関係であるπxyzρはbinary networkで表現不可能 • なぜならπxyzρ⊂sol(P(πxyzρ)) • 定義2.7 関係がbinary-decomposableであるとは、その関係が binary constraintsで表現可能であるということ a a a a a a a ρ = πxyzρ= a b b b a b b b b a c b b a

  29. 図2.11 M13={(2,1),(3,4)} R12={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)} R13={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3)} R14={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)} R23={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)} x1 x2 x3 x4 R34={(1,3),(1,4),(2,4),(3,1),(4,1),(4,2)} ↓ 1 R13={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3)} 2 R13’={(1,2),(2,1),(3,4),(4,2),(4,3)} 3 R13’’={(1,4),(2,3),(2,1),(3,4),(4,1)} 4 R13’’’={(1,4),(2,1),(3,4),(4,3)} R13’’’’={(2,1),(4,1),(3,2),(2,3),(3,4),(1,4)} ↓ M13= R13∩R13’∩R13’’∩R13’’’∩R13’’’’ = {(2,1),(3,4)}