A. Arcavi (1994). For the Learning of Mathematics 14(3) , 24-35

1. A. Arcavi (1994). For the Learning of Mathematics 14(3), 24-35 Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics

2. Il punto di partenza: la nozione di number sense È opinione condivisa che il focus dell’insegnamento dell’aritmetica non deve essere solo sulla corretta esecuzione delle operazioni: è importante anche lavorare sulla conoscenza di quandousare una certa operazione Number sense A “non-algorithmic” feel for numbers, a sound understanding of their nature and the nature of the operations, a need to examine reasonableness of results, a sense of the relative effects of operating with numbers, a feel for orders of magnitude, and the freedom to reinvent ways of operating with numbers differently form the mechanical repetition of what was taught and memorized

3. … Si puo’ fare lo stesso discorso in algebra? È analogamente riconosciuto che il focus dell’insegnamento dell’algebra non deve essere solo sulla manipolazione simbolica? Due fatti: • si stanno affermando software di manipolazione simbolica • molti studenti, pur essendo padroni delle tecniche di manipolazione, non vedono né usano l’algebra come uno strumento per comprendere, esprimere e comunicare le generalizzazioni, per scoprire e mostrare la struttura, per stabilire connessioni e costruire dimostrazioni Instruction does not always provide opportunities not only to memorize, but also to forget rules and details and to be able to see through them in order to think, abstract, generalize and plan solution strategies.

4. Idea: descrivere il symbol sense

5. Una prima descrizione del symbol sense (da Fey, 1990) Lista di obiettivi ragionevoli per l’insegnamento dell’algebra: • Essere in grado di prendere in considerazione un’espressione algebrica e stimare a grandi linee l’aspetto che può avere la sua rappresentazione numerica o algebrica • Essere in grado di confrontare gli ordini di grandezza di funzioni n, n2, n3, …. nk • Essere in grado di studiare una tabella di valori di una funzione od un grafico o interpretare delle condizioni espresse verbalmente, individuare l’espressione algebrica che esprime il pattern osservato • Essere in grado di osservare delle espressioni algebriche e predire la forma dei risultati o, come nelle stime aritmetiche, osservare il risultato ottenuto e valutarne l’attendibilità • Essere in grado di scegliere, tra diverse espressioni equivalenti, quella piu’ appropriata per risolvere un determinato problema

6. Il progetto di Arcavi: estendere la lista di Fey Lo scopo non è fornire una definizione di symbol sense, ma descrivere e discutere alcuni comportamenti che illustrano quelli che possono essere considerati esempi di symbol sense

7. Considerazione metodologica ‘Since we do not claim, either here or in the rest of the paper, to describe research on students’ cognition and ways of learning, we can afford to be indulgent with the interpretations of the anecdotal data we provide’ ‘We bring the examples as mere illustrations of instances of what, in our view, symbol sense is’

8. Scelta espositiva • Presentazione del problema • Dalla soluzione di alcuni studenti: comportamento che si può vedere come evidenza di un aspetto del symbol sense • Discussione del particolare aspetto del symbol sense in oggetto

9. Comportamento no 1 Il quadrato magico Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 9

10. Comportamento no 1 Il quadrato magico Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 6

11. Comportamento no 1 Osservazione Per costruire il secondo quadrato magico è necessario introdurre i numeri negativi

12. Comportamento no 1 Il quadrato magico Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 8

13. Comportamento no 1 La costruzione dell’ultimo quadrato magico è impossibile Domanda: perché gli altri quadrati magici erano possibili e questo no? Gli studenti iniziano a fare congetture sulle ragioni che rendono impossibile la costruzione del quadrato. Inizialmente, gli studenti individuano una causa dell’impossibilità nel fatto che la somma richiesta (8) è esattamente quel che si ottiene sommando i tre numeri dati. Si producono altre congetture, esempi e controesempi… Ad un certo punto, uno studente (o, in alcuni casi, il ricercatore) suggerisce di utilizzare l’algebra

14. Comportamento no 1 Gli studenti che sanno compiere manipolazioni algebriche, ma non vedono i simboli come un mezzo utile per studiare la struttura di un problema, non hanno sviluppato il symbol sense in modo completo. È evidenza di symbol sense il ricorso all’algebra in situazioni di risoluzione di problemi, l’avere a disposizione i simboli come sense-making tools.

15. Comportamento no 1 La risoluzione per via algebrica Somma= S S-b-c S-a-b b+c-a b+a-c Alcuni studenti scelgono di esprimere il contenuto della cella con una nuova variabile, d. L’espressione della somma per la riga centrale è 3b, quindi non contiene S. Gli studenti hanno difficoltà a realizzare che la condizione 3b=S esprime la condizione richiesta (e dunque che scegliendo S=8 il quadrato è impossibile)

16. Comportamento no 1 Sono evidenze di symbol sense il ricorso ai simboli nei casi appropriati ed anche il riconoscimento del significato di una soluzione simbolica. Inoltre, fa parte del symbol sense il fatto di apprezzare il potere dei simboli.

17. Comportamento no 1 L’area del rettangolo Si consideri un rettangolo qualunque. Cosa succede alla sua area, se una delle sue dimensioni è diminuita del 10% e l’altra è aumentata del 10%?

18. Comportamento no 1 Alcuni studenti rispondono subito che non c’è variazione dell’area, forse per un ragionamento basato sull’idea di “compensazione” tra aumento e diminuzione. Altri studenti rispondono che la variazione dipende da quale delle due dimensioni è aumentata e quale è diminuita. Una serie di prove numeriche fa intuire che l’area diminuisce, ma solo il ricorso ai simboli fa davvero comprendere le ragioni per cui l’area diminuisce: chiamando a e b sono le dimensioni iniziali, la nuova area sarà 1.1a X 0.9 b oppure 0.9a X1.1b, quindi 0.99 ab Mediante l’uso dei simboli, si vede che l’area diminuisce sempre e che il risultato non dipende da quale delle due dimensioni è aumentata e quale è diminuita.

19. Comportamento no 1 Gli esperti a cui è mostrata questa soluzione osservano che 0.99ab rappresenta non solo la soluzione, ma anche la spiegazione del perché la proprietà vale. Fa parte del symbol sense il fatto di apprezzare l’eleganza, concisione, comunicabilità e potere dei simboli, che permettono di mostrare e provare delle relazioni in modi che l’aritmetica non ha disposizione.

20. Comportamento no 1 Nuovo esercizio proposto (tratto dal corso di Schoenfeld sul Problem Solving) Per quali valori di a la coppia di equazioni x2-y2=0 (x-a)2+y2=1 ha 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 soluzioni?

21. Comportamento no 1 La forma algebrica dell’enunciato invita ad utilizzare l’algebra per risolvere il problema. Molti studenti si buttano sulla manipolazione simbolica (symbol pushing) senza riflettere preventivamente sul fatto che la manipolazione può essere laboriosa e può indurre in errore. Occorre un controllo che porti ad evitare la cieca manipolazione in favore di altri approcci. Oltre al controllo, altri fattori (estetici) possono portare a rifiutare la manipolazione cieca: senso dell’eleganza ed efficienza della soluzione. Può intervenire anche il belief che l’attività matematica è più che la cieca e pesante realizzazione di manipolazioni (“così è troppo complicato, ci deve essere un altro metodo!”).

22. Comportamento no 1 Il problema proposto può essere risolto considerando la rappresentazione analitica: x2-y2=0 le bisettrici del I e III e del II e IV quadrante (x-a)2+y2=1 fascio di cerchi di raggio 1 e centro sull’asse delle ascisse

23. Comportamento no 1 Nuovo problema proposto: disequazione |x-2|>|x-6| La risoluzione della disequazione per via algebrica è altamente tecnica ed è molto probabile commettere errori. Anziché eseguire cieche manipolazioni, è meglio ricondursi al significato: |x-2| è la distanza di un generico numero da 2, quindi il problema chiede di trovare quei numeri la cui distanza da 2 è maggiore della distanza da 6. Il problema si può dunque risolvere ragionando sulla retta dei numeri, oppure verbalmente. Un altro approccio è utilizzare i grafici cartesiani.

24. Comportamento no 1 È parte del symbol sense non solo ricorrere ai simboli nei casi opportuni, ma anche abbandonare la via algebrica quando si rischia di “affogare” nelle manipolazioni.

25. Comportamento no 1 Gli ultimi due esempi (equazioni e disequazione) suggeriscono che il symbol sense comprende anche l’intuire che la manipolazione simbolica comporta un lavoro eccessivo e la tendenza a rappresentarsi in altri modi il problema.

26. Riassumendo… primo comportamento che illustra il symbol sense: Fare amicizia coi simboli Feeling intuitivo di quando usare i simboli nella risoluzione di un problema, ma anche di quando abbandonare la via algebrica e rivolgersi a metodi più efficaci

27. Comportamento no 2 Si può osservare uno dei punti di forza dei simboli è che consentono di procedere “dimenticando” il referente. By the aid of symbolism, we can make transitions in reasoning almost mechanically by the eye, wich otherwise would call into paly the other faculties of the brain. It is a profound trusim, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinling about them. Operations of thought are like cavalry charges n a battle - they are strictly limited in number, they require fresh horses, and must only be made at decisive moments. Whitehead, 1911

28. Comportamento no 2 D’altra parte, procedere in modo automatico comporta dei rischi di perdita del significato: I have observed, not only with other people but also with myself … that sources of insight can be clogged by automatism. One finally masters an activity so perfectly that the question of how and why is not asked any more, cannot be asked any more,and is not even understood any more as a meaningful and relevant question. Freudenthal, 1983 Interrompere un’esecuzione meccanica per riflettere sul significato sottostante può“sbloccare”.

29. Comportamento no 2 Esempio Nel risolvere un’equazione, uno studente arriva alla forma: 3x+5=4x Anziché procedere in modo meccanico, lo studente osserva che per ottenere 4x da 3x, occorre aggiungere x, quindi l’addendo di 3x, 5, deve essere il valore di x. Dal punto di vista matematico il suo approccio non differisce da quello standard, ma dal punto di vista psicologico c’è una differenza importante.

30. Comportamento no 2 È indice disymbol senseil fatto di interrompere una routine automatica per leggere e mettere in evidenza una relazione tra i simboli. Leggere invece di manipolare

31. Comportamento no 2 Esempio (2x+3)/(4x+6)=2 Di fronte all’equazione (2x+3)/(4x+6)=2, è quasi “istintivo” pensare di risolverla in modo meccanico. Solo quando si ha una certa maturità ci si ferma a “leggere” e si nota che il numeratore è sempre metà del denominatore, per cui l’equazione non può avere soluzioni. Uno studente, dopo aver osservato che non esistono soluzioni, si chiede: “OK, ma se io la risolvessi lo stesso?”. Questo studente sente il bisogno di vedere in che modo l’algebra esprime l’assenza di soluzioni. Mediante manipolazione, lo studente trova x=-3/2. Inizialmente, lo studente è perplesso di fronte all’apparente contraddizione tra i due metodi. Solo dopo una lunga riflessione, lo studente sostituisce x=-3/2 nell’equazione e realizza che il valore non è ammesso come soluzione perché annulla il denominatore.

32. Comportamento no 2 Lo studente ha imparato qualcosa sul linguaggio dei simboli e su quanto può essere pericoloso procedere in modo automatico (symbol pushing) senza ragionare. Leggere e manipolare

33. Comportamento no 2 Ci sono situazioni in cui leggere i simboli (leggere attraverso i simboli) è essenziale. Si consideri ad esempio il seguente problema: Che cosa si può dire della differenza tra il cubo di un numero intero ed il numero stesso?

34. Comportamento no 2 Un’esplorazione numerica fa congetturare che la differenza è sempre divisibile per 6. Per provare la congettura occorre utilizzare i simboli. La manipolazione algebrica porta ad una forma del tipo: n3-n= n(n-1)(n+1) La manipolazione da sola non basta, occorre leggere il significato dei simboli e realizzare che n(n-1)(n+1) rappresenta il prodotto di tre numeri consecutivi, quindi che almeno di tali fattori è pari ed uno è multiplo di 3.

35. Comportamento no 2 Fa parte del symbol sense il fatto di cercare il significato dei simboli. Lettura dei simboli come goal della manipolazione Problema del cubo Al-Kwarizmi

36. costruire gli oggetti matematici soluzione di x2+10x=39 in Al Khwarizmi uso di fonti originali

37. soluzione di x2+10x=39 in Al Khwarizmi lato del quadrato verde x lati dei rettangoli rossixe10/4 area della croce verde erossax2+4(10/4)x=39 lato del quadrato grande x+2(10/4) area del quadrato grande (x+2(10/4))2=39+4(10/4)2 x=come la nostra soluzione (ma solo soluzione positiva) algebra del “cut and paste” procedimento dinamico

38. Un’esperienza in classe studenti di 14 anni liceo scientifico lavorano in gruppi di 3 usano la calcolatrice simbolica abituati alla discussione in classe • Problema: • Prendiamo un cubo costituito a sua volta da cubetti più piccoli e tutti uguali tra loro. Se dal cubo togliamo una colonna di cubetti, il numero dei cubetti rimanenti è divisibile per 6. Sai dire il perché?

40. Abduzione (Peirce, 1960; Magnani, 1997): si tratta di un tipo di ragionamento nel quale, osservando un certo fatto x, si procede a una scelta fra le conoscenze possedute per ottenere da una di esse, diciamo a, e dal fatto x una conclusione c. L’esempio presentato in Peirce (1960) è illuminante per capire che cosa è un’abduzione e in che cosa si distingue sia dalla deduzione che dall’induzione. Supponiamo che osservando dei fagioli si veda che sono bianchi (x) e che si sappia che i fagioli di un certo sacco sono bianchi (a). Un’abduzione, basata sulle informazioni a e x, porta ad affermare che i fagioli osservati provengono da quel sacco (c). Un’induzione sarebbe del tipo da x e c ottengo a; una deduzione sarebbe invece del tipo a e c quindi x. In altri termini, in un’abduzione, il risolutore Œvede di quale regola questo è il caso. • Peirce, C. S.: 1903, ‘Abduction and induction’ (from the lectures on Pragmatism, a Harvard, 1903). In J. Buchler (1955), Philosophical writings of Peirce, pp.150-156, Dover, New York.

41. Un gruppo di studenti trova la formula per risolvere x·(x-1)·(x+1) ma uno studente scrive «avrei voluto trovare una dimostrazione solo con i numeri» che cosa è garante per gli studenti? comunicazione tra insegnanti e studenti

42. Il trasformational reasoning viene presentato e analizzato in profondità in un articolo di Simon (Simon, 1996) nel quale si afferma che la caratterizzazione dell’esplorazione matematica mediante ragionamento induttivo e deduttivo sia incompleta. La conoscenza è spesso il risultato di osservazioni mentre l’oggetto di conoscenza sta funzionando e il chiedersi in che modo funziona tale oggetto porta all’attivazione di un terzo tipo di ragionamento che Simon chiama trasformazionale che non è una raccolta di osservazioni, piuttosto è lo sviluppo di un feeling per il sistema che si sta studiando. Transformational reasoningè l’aver luogo fisico o mentale di un’operazione o di un insieme di operazioni su un oggetto che porta a rivedere le trasformazioni cui tali oggetti sono soggetti e l’insieme dei risultati di tali operazioni. Centrale per il transformational reasoning è l’abilità a considerare non uno modo statico, ma un processo dinamico dal quale un nuovo stato o una continuità di stati viene generato. Il trasformational reasoningè ragionamento per analogia, ragionamento anticipatorio. Può non solo produrre un differente modo di pensare agli oggetti matematici, ma può anche portare a un diverso insieme di domande e di problemi (Simon, 1996).

43. Andrea, però, non è soddisfatto della risoluzione e cerca una dimostrazione di “tipo geometrico”. Dopo averla trovata, in seguito alla richiesta da parte dell’insegnante di mettere per scritto che cosa e perché lo ha spinto a cercare un’altra giustificazione, scrive: • È anche probabile che ciò sia dovuto al fatto che tale soluzione è stata in qualche modo indotta dallintervento dellinsegnante e non sia quindi sentita da Andrea come strettamente personale. In altri termini, Andrea sente il bisogno di appropriarsi profondamente della soluzione. • “Non ero affatto soddisfatto della fattorizzazione della calcolatrice (mi stavo chiedendo: Perché non ho subito pensato alla fattorizzazione?) e stavo “guardando” la figura, un po’ per vedere quel “mostro” e un po’ perché volevo vedere se c’era anche una dimostrazione geometrica. Senza neanche accorgermene ho iniziato a cancellare la colonna in questione, forse per sfogo. Quando ho visto la colonna cancellata mi sono accorto che le due colonne rimanenti avrebbero potuto essere spostate in modo da formare un rettangolo alto meno una colonna (x– 1) , profondo uguale e largo una colonna in più (x + 1). Poiché la formula per trovare il volume di un rettangolo èb.h.p, ho fatto (x– 1) x (x + 1) che era uguale alla fattorizzazione della calcolatrice. Per capire meglio la mia idea, vedere il foglio con disegnati i passaggi dell’operazione”

44. Andrea si riferisce al fatto che, prima di pensare a scomporre in fattori lespressione n3 n, ha lavorato per diverso tempo sulla figura. • Si noti luso delle virgolette che suggerisce un guardare guidato da processi di pensiero volti alla determinazione di una dimostrazione. • Si veda figura, rispettivamente una delle pagine di lavoro di Andrea e la figura che ha Simone, in seguito alla richiesta di Andrea, ha riprodotto per spiegare il ragionamento che ha fatto Andrea. • Questa ricerca è sintomo di un bisogno intellettuale di capire, di dare significato a ciò che sta facendo: la dimostrazione raggiunta con la scomposizione in fattori non lo soddisfa, anche perché, forse, ottenuta in un campo (quello geometrico) che allo studente potrebbe non sembrare il più appropriato al problema posto. • Si veda la colonna del cubo cancellata nel disegno di figura 1. • Lo studente usa qui e in seguito rettangolo per indicare parallelepipedo • Si riferisce alla figura. • Si tratta, a nostro avviso, di un tipico caso di transformational reasoning indotto da una formula. È proprio la formula che guida, forse anche inconsapevolmente, il ragionamento di Andrea.

45. Andrea ha messo in atto una sorta di forma di ragionamento “cinestetico” e ha risolto brillantemente il problema. Luca ha lavorato sul piano formale, ma ha messo in relazione la formula con l’immagine della struttura della retta numerica; anche Simone ha ragionato in questa maniera, ma ha chiesto insistentemente all’insegnante se non c’è un modo di evitare il riferimento a come è costituita la successione dei numeri, in modo da ridurre tutto al piano formale. Ciò pone problemi intriganti sul piano didattico: se l’insegnante si rivolge agli studenti della classe con uno stesso linguaggio, quanto sarà il livello di comprensione di studenti che, invece, sono naturalmente (o per esperienze vissute) inclini a comunicare con registri diversi (per esempio Andrea quanto potrà apprendere da una comunicazione esclusivamente formale?). Ciò suggerisce anche il ruolo fondamentale svolto dall’interazione sociale in classe, dal lavoro in piccoli gruppi, che consente agli studenti di comunicare con diversi registri e all’insegnante di potersi rivolgere ai diversi studenti utilizzando il registro più appropriato o utilizzando, gradualmente, elementi di un altro registro per rendere più efficace e flessibile la comunicazione degli studenti. • Si noti che qui si sta parlando di studenti di elevato livello; il problema non è un graduale approccio al formale, ma lesigenze di diversi stili di comunicazione e di apprendimento che, inevitabilmente, possono incidere sul piano motivazionale affettivo e, di conseguenza, su quello cognitivo.

46. Comportamento no 2 Problema: studenti e professori Scrivi un’equazione, usando le variabili S e P (S per indicare il numero degli studenti e P per indicare quello dei professori), per rappresentare la seguente frase: “In questa scuola c’è un professore ogni sei studenti”.

47. Comportamento no 2 Il 30% degli studenti universitari a cui è proposto il problema fornisce una soluzione errata: 6S=P L’errore può essere dovuto non ad una mancata comprensione della nozione di variabile, ma ad una “traduzione parola per parola” del testo. Questo non ha ovviamente a che fare col symbol sense: avere symbol sense non mette al riparo da errori di questo tipo. Tuttavia, fa parte del symbol sense rileggere e controllare (per esempio, sostituendo nel testo) la ragionevolezza dell’espressione simbolica costruita. Leggere per la ragionevolezza

48. Comportamento no 2 Riassumendo… secondo comportamento che illustra il symbol sense: Manipolare ed oltre: leggere attraverso i simboli Lettura al posto della manipolazione Lettura e manipolazione Manipolazione per consentire la lettura Lettura per la ragionevolezza

49. Comportamento no 3 Esempio Gioco: dato un piano cartesiano su cui sono rappresentati alcuni punti colorati, fornire l’espressione analitica di una funzione che tocchi il maggior numero possibile di punti colorati. Uno studente inizialmente scrive l’equazione di una parabola: y= 0.13 (x+2)2-7 Dopo aver visto la parabola sul grafico cartesiano (al computer), lo studente decide di modificare la funzione: y= 0.13 (x+2)2-7+1/(x-3.5) Lo studente è in grado di modificare l’equazione in modo da ottenere un grafico che tocchi un numero maggiore di punti.

50. Comportamento no 3 • Fa parte del symbol sense: • rendersi conto del fatto che si può creare un’espressione ad hoc per soddisfare determinate richieste ed essere in grado di costruirla • realizzare che un’espressione con certe caratteristiche (ad esempio, il termine fratto dell’esercizio precedente) è quella cercata ed essere in grado di costruirla • Terzo comportamento che illustra il symbol sense: Costruire espressioni simboliche