第十四章 Fourier 级数

第十四章 Fourier级数

两类重要的函数项级数 幂级数三角级数收敛？表示的函数三角级数问题给定函数研究函数能否用三角级数表示满足什么条件，可以展开成三角级数若可以展开，展开式是什么形式？

§14.1 三角级数与Fourier级数 一、三角函数系的正交性 1、三角函数系：定理14.1 （正交系）三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，在区间上的积分为0，即：

上述定理的结论，称为三角函数系（1）的正交性上述定理的结论，称为三角函数系（1）的正交性定理中的积分区间可以改为长度为的区间回答问题（ii），利用正交性和一致收敛性，逐项积分可得:

设在绝对可积有界，则表示可积若在无界，则表示绝对可积若在定义14.1 为称的傅立叶级数。记为说明： 1）上式不能写成等号 2）常数项写成是为了与的表达式统一

例1 ，求其傅立叶级数。解：由于为奇函数知，看P118图

例2 ，求其傅立叶级数。解：看P118图由于 f (x)为奇函数知，

例3 ，求其傅立叶级数。解：看P118图

例4 ，求其傅立叶级数。解：看P119图由于 f (x) 为偶函数知，看P118图

§14.2 Fourier级数的收敛性 f (x)可展开成它的Fourier级数的条件：即上式划“等号”的条件方法：按函数项级数收敛的定义，考察 Fourier 级数的部分和：给出部分的一个表达式

设记把：代入上式，得: 称为Dirichlet积分

在上述积分中，令 t = u – x得 在（1）中取得: 是否逐点收敛？取先看，即

其中综上：Fourier级数在是否收敛,归结为：能否取到适当的S，使以下的极限式成立：当上式成立时，点收敛于S 的Fourier级数在将（*）分成两部分后一积分的处理用下面：

引理1 若在绝对可积，则推论：若以为周期。且在绝对可积，则的Fourier系数，当时趋向于0，即

定理14.2 绝对可积，则若以为周期，在的Fourier级数在点的收敛与发散，只与函数在附点的值有关证明：

不妨设 由Riemam引理知当时所以：的fourier级数在是收敛与发散收敛与发散当时的收敛的与发散在的性质

时，收敛与发散性与进一步可以证明：当积分的收敛情况相同：的事实现在给出fourier级数收敛性判别法：叙述

绝对可积， 设以为周期，在定理14.3 （Dini判别法）若能取到合适的S使函数满足：在某个绝对可积，即存在, 则的fourier级数在点收敛于S,即

下面讨论S的选取：有以下两种常见情况： 连续，取 S= （1）在则这时只要右边两项在绝对可积，就有的fourier级数收敛到 ,注意到: 由比较判别法，要在绝对可积，只需趋于0的速度足够快即可，这就是Th14.4.

（2） 在是第一类间断或可去间断，即存在，取类似（1）的讨论：只需的级数在点收敛到足够快便有

绝对可积，且 若以为周期，在的级数在点收敛到定理14.4 （Lipschitz 判别法） P127 满足阶的Lipschitz条件，即存在与常数 ,使得则

点可导，或 且在存在,则绝对可积，若以为周期，在在是第一类间断点或可去间断点的情形在 P128：逐段可微：推论1 点收敛到的级数在上面的讨论推广到 1.每个小开区间可导 2. 存在 3.广义左右微商存在，即逐段光华综合：得：

为的连续点为的不连续点。级数定理14.5 P128 若逐段可微，则的级数在点的收敛情况：在点：说一下：同理在点收敛到同一数。

例1 （P116 例2）：看P130图例2 （P115 例1）看P131图

例3 求其展开式。解： 1）.画图系数。为偶函数， 2）.求

3）. 4）. 由于函数处处连续，逐段可微，故得：在上式中取

例4.（P117 例4） 求其傅立叶级数. 解：由于函数处处连续，逐段可微，故

例5.(P134) 求其傅立叶级数。解：由于函数处处连续，逐段可微，故

定理14.6 P136（逐项积分）在除有限个可去间断点或第一类间断点外是连续的，且，则

§14.3 任意区间上的Fourier级数 设以为周期，在绝对可积。做变换，则是以为周期的函数，用前面的讨论得：其中：这就是周期为的函数的Fourier级数。

上面的方法： 的函数。以周期为以周期为的函数另外的方法：沿用研究周期为的函数的Fourier 展开的方法。易证：在（或任意长度为的区间）是正交的。

一般一个函数只给出了有限区间 上的定义不能说它是一个周期函数，那么能否考虑它的Fourier展开呢？可以,只要把函数按周期延拓到整个数轴即可，下面两个常用（有用）的延拓方法。

为的连续点 为的间断点例：不妨设定义。一．偶延拓：给出定义使为偶函数，再把按为周期沿拓到整个数轴，这时：

为的连续点 为的间断点二．奇延拓：给出为奇函数，再把定义使按为周期沿拓到整个数轴，这时：

例1. 将函数按余弦展开。解: 根据偶延拓计算傅立叶系数因此

例2. 按正弦展开。将函数解: 根据奇延拓计算傅立叶系数因此

内容小结 1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理其中

注意: 若为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数正弦级数 • 奇函数 • 偶函数余弦级数 3. 在 [ 0 ,  ] 上函数的傅里叶展开法 • 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 • 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数

习题 1.设f (x)是周期为 2 的周期函数 , 它在上的表达式为将 f (x)展成傅里叶级数. 解:先求傅里叶系数

2. 设f (x)是周期为 2 的周期函数 , 它在上的表达式为将 f (x)展成傅里叶级数. 解:

说明:当 时, 级数收敛于

3.将函数 展成傅里叶解:将 f (x)延拓成以则 2为周期的函数 F(x) ,

说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0时, f (0) = 0 , 得

是周期为2 的周期函数,它在 4.设将 f (x)展成傅里叶级数. 的表达式为 f (x)＝x , 解:若不计周期为 2 的奇函数, 因此

n＝1 n＝3 n＝2 n＝4 n＝5 根据收敛定理可得 f (x)的正弦级数: 级数的部分和逼近 f (x)的情况见右图.

5. 将周期函数 展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 . 解: 是周期为2 的

补充题 展成余弦级数 . 1.将函数解:先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x)作奇周期延拓,

第十四章 Fourier 级数