基于《数学课程标准（ 2011 年版）》的课堂教学改革

基于《数学课程标准（2011年版）》的课堂教学改革基于《数学课程标准（2011年版）》的课堂教学改革杨裕前（2011-04）

1、注重课程目标的整体实现 （1）从“双基”到“四基”。知识的获得和技能的形成，对人的发展具有基础性的作用；在学习掌握知识技能的过程中感悟的基本思想和基本活动经验，则能广泛地迁移到一切学习和工作中，使人终身受益并真正实现人的终身持续不断的发展。（2）课程目标的整体实现，是一个长期的过程，又必须落实到日常的课堂教学活动中。要结合教学内容精心设计教学方案，努力把“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”和“情感态度”四方面的目标有机的融合在一起，

案例1 “零指数幂”的教学方案设计 • 提出问题，让学生面对挑战； • 为了解决问题，提出猜想（“规定”）； • 通过各种途径说明“规定”的合理性，做出“规定”； • 验证这种“规定”与原有知识体系的和谐（这是又一种意义上的“合理”）。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于学生理性精神的发展。这样的过程又比较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学如何在自身的矛盾运动中，不断地得到发展。经历了这样的过程，学生就能借助学习“零指数”所获得的经验，自己尝试对负整指数幂的意义作出合理的“规定”。像这样，把学生在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度方面的发展作为课堂教学的“聚焦点”，就把握了数学教学的本质。

2、正确把握和实施课程内容 （1）课程内容的多与少课程内容的确定，取决于课程改革的理念与课程目标。单纯地讨论某一个知识是否必需，常常会争论不休难以取得共识。《标准》确定课程内容时，既注重“必需的” 基础知识和技能，又努力关注各个学段之间的联系和衔接。在教学活动中，重要的不是仅仅注重具体的知识，更应注重引导学生在获得知识的过程中，感悟基本的数学思想，积累数学活动经验。

（2）教学要求的高与低《标准》对某些课程内容的要求作了明确的限制，这主要是为了控制教学的要求和考试的难度。数学思想既以知识为载体，又是数学知识在更高层次上的抽象与概括，引导学生通过知识的学习感悟数学思想，并不依赖于“载体”本身的难度。教学要“深入浅出”，努力做到“降低难度，提高要求”。（2）教学要求的高与低《标准》对某些课程内容的要求作了明确的限制，这主要是为了控制教学的要求和考试的难度。数学思想既以知识为载体，又是数学知识在更高层次上的抽象与概括，引导学生通过知识的学习感悟数学思想，并不依赖于“载体”本身的难度。教学要“深入浅出”，努力做到“降低难度，提高要求”。

（3）关注《数学课程标准》提出的10个“核心概念 ”《数学课程标准（2011年版）》在“设计思路”的第（三）部分指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，以及应用意识、创新意识。这10个核心概念，揭示了课程具体内容与基本数学思想之间的联系。对此，广大教师在教学实践中应当加以充分的关注。

以发展学生的“推理能力”为例：首先，要把运用合情推理的方法探索图形的性质贯穿始终，以使学生的合情推理能力得到充分的发展。其次，要遵循小步子、多层次的原则，由易到难、由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能力：结合“线段中点”、“角平分线”等概念后，用“因为…所以…”的句式运用这些概念进行判断；在运用合情推理的方法探索发现“余角、补角、对顶角”的性质后，用“因为…，所以…”的表述方式进行简单的推理（此时只出因与果，不出由因得果的理由）；探索发现直线平行的条件、平行线的性质后，用“因为…，所以…，理由是…”的表述方式进行推理（此时出三段论证的三个要素，但没有形式化地表达推理过程）；进入“证明”阶段，应先引导学生感悟“证明”的必要性，然后以“三角形内角和定理” 为范例，正式给出形式化的论证，完整地呈现了命题证明的全过程。此时，应特别强调每个三段论证都应包括因、果、由因得果的理由三个部分，注重发展学生思维的条理性和逻辑性；在“三角形的全等”的教学中，较为系统地运用演绎推理的方法，证明有关命题，引导学生初步掌握演绎论证的方法、学会综合法的书写。

（4）《数学课程标准（2011年版）》修订的主要内容（4）《数学课程标准（2011年版）》修订的主要内容数与代数部分删去“能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断”，“了解有效数字的概念”，”能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题”；增加“知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）”，“最简二次根式和最简分式的概念”。“能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相”，“会利用待定系数法确定一次函数的解析表达式”， *能解简单的三元一次方程组； *了解一元二次方程的根与系数的关系； *知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

图形与几何部分删去“梯形、等腰梯形的相关要求”；“探索并了解圆与圆的位置关系”；“探索并了解圆与圆的位置关系”；“关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏”。增加“会比较线段的大小”；“理解线段的和、差，以及线段中点的意义”；“了解平行于同一条直线的两条直线平行”；“会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类”；“了解并证明圆周角定理及其推论（其中增加了“圆内接四边形的对角互补”）；“了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系”； “过一点作已知直线的垂线、已知一直角边和斜边作直角三角形、作三角形的外接圆、内切圆、作圆的内接正方形和正六边”。 * “了解平行线性质定理的证明”；* “了解相似三角形判定定理的证明”；* “探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧”；* “探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等”。统计与概率部分删去“会计算极差”；“会画频数折线图”。

3、注重基础知识的教学和基本技能的训练 （1）知识的教学要注重知识的“生长点”和“延伸点”；要引导学生在理解的基础上掌握数学知识，并在知识的应用中不断巩固和深化；要把个别的、局部的知识置于整体知识的体系中，处理好个别的、局部的知识与整体知识的关系（延伸、发展、完善、深化；单个与知识链；知识之间内在的联系）。

（2）技能的训练技能的形成需要一定量的训练，否则难以达到熟练；但是，基本技能的训练又不能简单地依赖“熟能生巧”。技能的形成和熟练，具有阶段性特征。不恰当的训练，会削弱一部分同学对基础知识的理解，是得不偿失的。要注重通过技能训练加深学生对相应知识的理解。技能训练要与发展学生的情感态度相结合（2）技能的训练技能的形成需要一定量的训练，否则难以达到熟练；但是，基本技能的训练又不能简单地依赖“熟能生巧”。技能的形成和熟练，具有阶段性特征。不恰当的训练，会削弱一部分同学对基础知识的理解，是得不偿失的。要注重通过技能训练加深学生对相应知识的理解。技能训练要与发展学生的情感态度相结合

4、合理创设情境，引导学生探索，恰当展开过程4、合理创设情境，引导学生探索，恰当展开过程（1）合理创设情境一个好的“情境”，往往能激发学生的学习积极性，有助于学生借助已有知识和经验学习新知识、感受学科知识的价值。情境，作为新知识的“生长点”，应当有助于引导学生开展有效的学习活动，走向学科的本质。情境有不同的类型，除“现实情境”外，还有“活动情境”、“问题情境”等。 “现实情境”应当具有如下的一些特征：学生熟悉的、简明的，必然引向学科本质的，真实或合理的。

案例2“有理数减法”的情境设置 教学“有理数减法法则”可采用如下现实情境：某地某天的最高气温为＋5度，最低气温为－3度，那么该地这一天的温差是多少？这个情境不仅简明；而且学生借助生活经验不难说出该地这一天的温差是8（5+3）度；这实际上就引向了数学的本质—— 5-（-3）=5+3。有助于学生学习“有理数减法法则”。

（2）引导学生探索学生通过自主探索活动，不仅主动获取知识，而且能感悟基本思想、积累活动经验。引导学生进行有效的自主探索活动，是实现课程总目标（特别是过程性目标）的有效途径。任何事物的发展都必须注重研究和完善过程，没有好的过程通常就没有好的结果。教育的本质是使学生得到发展，教育教学无疑更加要注重研究和完善过程。不是所有知识都需要由学生自己去探索，只有那些蕴涵了丰富思想的知识，才需要展开过程并组织学生探索；组织学生开展探索活动，教师应当努力做到：设计教学方案时，考虑课程总目标的整体实现；根据具体教学内容，确定教学过程是否需要适度展开并组织学生自主探索；在教学实践中，不断提高组织学生开展自主探索活动的能力，处理好学生独立思考与合作交流、学生“探索”与教师适时“示范”的关系，提供学生自主探索足够的时间和空间，关注进行“自主探索”活动有显著困难的学生等。（2）引导学生探索学生通过自主探索活动，不仅主动获取知识，而且能感悟基本思想、积累活动经验。引导学生进行有效的自主探索活动，是实现课程总目标（特别是过程性目标）的有效途径。任何事物的发展都必须注重研究和完善过程，没有好的过程通常就没有好的结果。教育的本质是使学生得到发展，教育教学无疑更加要注重研究和完善过程。不是所有知识都需要由学生自己去探索，只有那些蕴涵了丰富思想的知识，才需要展开过程并组织学生探索；组织学生开展探索活动，教师应当努力做到：设计教学方案时，考虑课程总目标的整体实现；根据具体教学内容，确定教学过程是否需要适度展开并组织学生自主探索；在教学实践中，不断提高组织学生开展自主探索活动的能力，处理好学生独立思考与合作交流、学生“探索”与教师适时“示范”的关系，提供学生自主探索足够的时间和空间，关注进行“自主探索”活动有显著困难的学生等。

案例3 “二次函数的图像” 问题：试根据二次函数y=1/X的表达式，说出它的图像可能具有的特征？

（3）恰当展开过程任何事物的发展总有其“过程”，“结论”是过程的产物。“结论”无疑是重要的，“过程”也是重要的，有时甚至是更为重要的。影响事物发展的诸多因素，似可分为有形与无形两种“无形” 的因素往往是事物发展的强大动力，而这些因素只有经历过程才能得到发展。一切事物发展的原动力在于“过程”之中。教育本质是使人得到发展，就更要重视“过程”！有丰富多彩过程的教学，教师的教注重过程，富有有启发性；学生的学积极参与过程、主动获取、学有意义。这样的教学具有以下主要特征：提供尽可能的丰富的背景（知识产生的本源重视学生认知的冲突；适当再现知识产生和发展的过程，组织好学生的探索活动，使之有序、有效；“推迟判断”——通常一堂课的重要结论不宜过早的呈现。

案例4 “有理数加法”的教学设计 • 问题1 足球比赛中赢球和输球是相反意义的量，可以规定赢球为“正”，输球为“负”。某足球队进行主场和客场两场比赛，可能有怎样的不同情形？例如，主场比赛赢了3球，客场比赛输了2球，两场合计赢了1球。这个过程和结果可以表示为（+3）+（+2）= + 5 ① 又如，主场比赛输了2球，客场比赛输了1球，两场合计输了3球。这个过程和结果可以表示为（-2）+（-1）= - 3 ② 现在，请同学们说出其他可能的情形，并写出相应的算式。例如，（+3）+（-2）=+1；③ （-3）+（+2）= -1；④ （+3）+ 0 = +3；⑤ （-2）+ 0 = -2；⑥ 0 + 0 = 0 。⑦

问题2 仔细观察并分析、比较上面列出的7个算式，你能找到两个有理数相加的方法吗？[引导学生通过观察、分析、比较，尝试归纳有理数加法的法则。例如，学生可能说“从①②两个算式可以看出，赢了又赢，赢得更多，输了又输，书得更多，从而得出同号两数相加的法则；从③④两个算式可以看出，有赢有输，要看赢得多还是输得多，从而得出“异号两数相加的法则……] 在学生充分讨论的基础上，师生共同揭示“有理数加法法则”。问题3 为什么有理数加法法则中，要特别指出“两个相反数相加的和为零”？问题4 有理数加法与小学里学习的加法有什么异同？

（4）注重发展学生的创新意识和创新能力《标准》在“总目标”中提出：通过义务教育阶段的数学学习，增强学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。这与 “分析问题和解决问题的能力”相比较，显然把能力“前移”了。 “发现问题——提出问题——分析问题——解决问题”是事物发展的全过程。发现和提出问题是“创造”的前提，分析和解决问题则是“制造”，前者比后者更加重要。《标准》把这种能力的“前移”，充分体现了课程改革的理念，对于培养创新型人才有着重要的意义。在教学实践中，如何把这种理念转化为教学行为，《标准》对广大教师提出的新课题，值得在实践中积极探索。

5、关注“情感与态度”目标 教学在人与人之间进行的活动，其过程必然伴随着情感交流。 “情感态度”目标是课程总目标的有机组成部分。学生在学习活动中的差异，不仅源于智力、而且更与行为习惯、态度和人格有关。要努力把“情感态度”目标有机地融合在数学课堂教学活动中。设计教学方案、进行课堂教学活动时应当考虑：如何激发学生的求知欲和好奇心，引导学生积极参与教学过程？如何给学生以成功的体验，不断增强他们的自信心？如何引导学生感受数学的价值，鼓励学生创造？如何鼓励学生尊重他人、善于与同伴合作交流，既独立思考敢于发表自己的意见，又能大胆质疑？如何让学生做自己能做的事，严谨求实，有责任心？……

在课堂教学师生交往的过程中，常常也会“生成”一些可以引导学生形成积极的情感态度的教育资源，教师应适时地加以利用。教学活动中，教师要以自己健全的人格感染和影响学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教养价值；要在教学实践中善于用《标准》的理念分析各种教学现象，恰当地对学生进行养成教育，从而使“情感与态度”的课程目标在数学教学活动中真正得以落实。

6、处理好课堂教学中的几个关系 （1）“主导”与“主体”的关系。课堂教学活动是师生互动的过程，教师应当成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的全面发展提供良好的环境和条件。教师的“组织”作用主要体现在设计一个好的教学方案；选择适当的教学方法实施教学方案，形成学生有效的学习活动。教师的“引导”作用主要体现在通过恰当的问题或者富有启发性的讲授，引导学生积极思考；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、感悟思想、积累经验；关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动。教师与学生的“合作”主要体现在教师以平等的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索；与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。好的教学活动应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一：有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展；学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥。

（2）“预设”与“生成”的关系。能否根据课堂教学的实际情况，适时地调整自己的“预设”，给学生以恰当的引导，是教师的教学机智和教学水平的重要标志。（3）教学目标的整体实现与关注学生个体差异的关系学生的个体差异主要表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教学中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。（4）使用现代信息技术与提高教学效果的关系教学手段与教学效率有着密切的联系。合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的有机结合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。现代教学手段的作用不是“替代”原有的教学手段，而是实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。（2）“预设”与“生成”的关系。能否根据课堂教学的实际情况，适时地调整自己的“预设”，给学生以恰当的引导，是教师的教学机智和教学水平的重要标志。（3）教学目标的整体实现与关注学生个体差异的关系学生的个体差异主要表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教学中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。（4）使用现代信息技术与提高教学效果的关系教学手段与教学效率有着密切的联系。合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的有机结合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。现代教学手段的作用不是“替代”原有的教学手段，而是实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。

基于《数学课程标准（ 2011 年版）》的课堂教学改革