UNIDAD 2

1. UNIDAD 2 CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA.

2. Conceptos y Fundamentos de Lógica Difusa. 2.1 Conceptos básicos de Lógica Difusa

3. 2.1.1 Introducción y dos ejemplos. • La técnica esencial de la lógica difusa se basa en cuatro conceptos fundamentales: • 1). conjuntos difusos.- son conjuntos con fronteras uniformes o suaves. • 2). variables lingüísticas.- Son variables cuyos valores son descritos cualitativamente y cuantitativamente por un conjunto difuso.

4. … • 3). Distribuciones de posibilidad.- restricciones impuestas en el valor de una variable lingüística al asignarle un conjunto difuso. • 4). Reglas difusas si-entonces.- un esquema de representación del conocimiento para describir una proyección funcional o una fórmula lógica que generaliza una implicación en la lógica de dos valores.

5. Nota: • Los tres primeros conceptos son fundamentales en todas las sub-áreas de la lógica difusa. • También, el cuarto concepto es importante debido a que es la base de la mayoría de las aplicaciones industriales de la lógica difusa desarrolladas hasta hoy, lo cual incluye muchos sistemas de control lógico difuso.

6. Problema A: Control simple de la mezcla de flujo de aire • Temperatura ambiente, No tiene señal de retroalimentación de la temperatura ambiente actual. • Tarea: controlar la cantidad de flujo de aire caliente y frío basado en una temperatura objetivo. El flujo es controlado al ajustar el voltaje a la bomba en la etapa de mezclado. Temperatura Objetivo (T) Controlador a lazo abierto Voltaje (V) Flujo de aire caliente Flujo de aire frío Flujo de aire Mezclado

7. Problema B: Control automático de una lavadora • La naturaleza de las decisiones que realizan los seres humanos en este problema es fácil de entender y modelar. • Tarea: Se desea automatizar la selección del ciclo y el tiempo de lavado basado en la cantidad de ropa y lo sucia que esta la ropa, lo cual es proporcionado por dos transductores. Selección Automática Cantidad de Ropa. Que tan sucia esta la ropa Ciclo de lavado. Tiempo de lavado.

8. 2.1.2 Conjuntos Difusos • Un conjunto difuso es un conjunto con fronteras suaves. Fronteras en conjuntos clásicos Fronteras en conjuntosdifusos

9. Por ejemplo: • Si se quisiera representar dentro de la teoría de conjuntos clásica, el conjunto de familias con ingresos anuales altos. • Se propone un umbral: ≥ $ 80,000.00, • Familias con un ingreso de $ 79,999.00; • Limitación de la teoría de conjuntos clásica. • Algunos conjuntos tienen fronteras bien definidas (el conjunto de personas casadas). • Muchos otros no tienen fronteras bien definidas (el conjunto de parejas casadas felices, el conjunto de escuelas con buenos alumnos egresados, etc.).

10. La teoría de conjuntos difusos al permitir que la membresía sea graduada en un conjunto da solución a las limitación que se presenta en la teoría de conjuntos clásica. • Un conjunto difuso se define como una función que proyecta objetos de un dominio de conceptos (denominado Universo de Discurso) a sus valores de membresía en el conjunto. • Dicha función se define como Función de Membresía y es denotada por el símbolo Griego µ.

11. Por ejemplo: • Representación de Familias de ingresos-altos. µ 1 Alto Ingresos al año 80 K 120 K El conjunto difuso es asociado a un término lingüístico

12. Términos lingüísticos: beneficios • Asociar un conjunto difuso a un término lingüístico ofrece dos beneficios importantes: • 1. La asociación hace más fácil que un operador experto exprese su conocimiento usando términos lingüísticos. • 2. El conocimiento expresado en términos lingüísticos es más fácil de comprender. • Estos beneficios resultan en un ahorro significante en el costo del diseño, la modificación, y el mantenimiento de un sistema lógico difuso.

13. Un concepto importante en la Lógica Difusa, que permite tener los dos beneficios descritos, es el de Variable lingüística. • Es importante subrayar que un conjunto difuso siempre se define a partir del contexto de que se trate, auque dicho contexto no este explicito en el modelado del sistema. También, el contexto de definición de un termino lingüístico generalmente es especificado implícitamente dentro de la aplicación en la cual es utilizado.

14. 2.1.2.1 Diseño de Funciones de Membresía • Se puede entender por conjunto clásico: una colección o clase de objetos bien definidos. • Objetos que pueden ser cualquier cosa, tales como: números, ciudades, colores, animales, temperatura, etc. Estos objetos se conocen como elementos o miembros del conjunto.

15. En la teoría de los conjuntos clásicos, se utiliza la notaciónde función característica, ( A ), para indicar cuando un elemento cualquiera pertenece o no a un conjunto. • El universo de discurso es el universo de toda la información disponible en un problema dado.

16. Un conjunto difuso es un conjunto que contiene elementos, los cuales varían su grado de pertenencia en el conjunto. • El concepto de función de membresía en la teoría de los conjuntos difusos es una medida de la pertenencia graduada de un elemento en un conjunto difuso.

17. Función de Membresía • Un elemento u de U. Puede no pertenecer a A: (A(u) = 0), Pertenecerun poco: (A(u) = con un valor cercano a0), Pertenecermoderadamente: (A(u) = con un valor no muy cercano a 0 pero tampoco a 1), Pertenecerdemasiado: (A(u) = con un valor muy cercano a 1), Pertenecer totalmente a: (A(u)=1).

18. Debido a que el cambio de la función de membresía de un conjunto a otro es gradual en los conjuntos difusos, dichos conjuntos son agrupamientos de elementos en clases, también llamados etiquetas difusas, las cuales a diferencia de los conjuntos clásicos, no poseen fronteras bien definidas.

19. ¿Cómo se determina la forma exacta de la función de membresía para un conjunto difuso?. • Una función de membresía se puede diseñar en tres formas distintas: • (1). Entrevistando a quienes están familiarizados con las conceptos importantes del sistema, y ajustándolos durante el proceso mediante una estrategia de sintonización (hasta los 80s). • (2). Construyéndola directamente a partir de los datos (2 y 3, después de los 80s). • (3). Mediante el aprendizaje basado en la retroalimentación de la ejecución del sistema.

20. Se han desarrollado muchas técnicas para definir la forma de las funciones de membresía (FM) utilizando técnicas estadísticas, redes neuronales artificiales y algoritmos genéticos. • Se debe de tener especial cuidado al diseñar las FMs. Aun que se puede definir una FM de forma arbitraria, se recomienda que se utilicen FM parametrizables que puedan ser definidas por un número pequeño de parámetros.

21. FMs más utilizadas: Simplicidad µ 1 µ 1 • Función de membresía triangular y sus parámetros. l l p r p r l p r • Función de membresía trapezoidal y sus parámetros. Estrategias especificas para seleccionar y ajustar las FMs se verán después.

22. Nota: • Las FMs que son diferenciables tienen ciertas ventajas en las aplicaciones de sistemas neuro-difusos (sistemas que aprenden funciones de membresía utilizando técnicas de aprendizaje de RNA). • Las funciones de membresía Gausianas han sido utilizadas para dichos sistemas.

23. Resumen: diseño de FM • Directrices: • 1. Siempre utilice FM parametrizables. No defina una función de membresía punto por punto. • 2. Utilice una FM triangular o trapezoidal, a menos que haya una buena razón para hacer lo contrario. • 3. Si desea que el sistema aprenda la función de membresía utilice técnicas de aprendizaje de RNA, escoja una función de membresía diferenciable, como la Gaussiana.

24. 2.1.2.2 Operaciones básicas en conjuntos difusos • Para conjuntos clásicos se pueden realizar las siguientes definiciones: • para los conjuntos A y B en X, también se tiene:

25. Algunas definiciones para conjuntos • Contenimiento: ( ) Un conjunto puede contener a otro conjunto. Al conjunto más pequeño se le llama Subconjunto. ( Subconjunto propio). • En un universo comprendido por tres elementos X = {a, b, c}, el número cardinal es nx = 3. Y suconjunto potencial es:

26. Conjunto Difuso • Si se considera el siguiente conjunto difuso finito: A = 0.2/u1, 0/ u2, 0.3/u3, 1/ u4, 0.8/u5.uU. • Entonces un conjunto difuso A de U será un conjunto de parejas: A = {u, A(u)},

27. Considerando que xi es un elemento del soporte del conjunto difuso A y que i es su grado de membresía en A. A = 1 / x1 + 2 / x2 +....+ n / xn. Donde. • El símbolo /Se emplea para unir los elementos del soporte con sus grados de membresía en A, y. • El símbolo + Indica que los pares de elementos y grados de membresía listados forman colectivamente la definición del conjunto A, en vez de cualquier tipo de suma algebraica.

28. Conjunto difuso: universo de discurso finito y no-finito La integral y la sumatoria indican la unión de elementos dentro de un conjunto difuso A.

29. Conjunto difuso • Se entenderá que un conjunto difuso es finito siempre que al poder enumerar a sus elementos representativos este proceso termine, independientemente del valor de sus funciones de membresía.

30. Operaciones Básicas De Los Conjuntos Clásicos • Las tres operaciones básicas en conjuntos clásicos son: unión, intersección, y complemento. • El complemento de un conjunto se puede denotar por: AC , ¬A, .

31. Por ejemplo: • Si A y B son dos conjuntos de “percepciones anuales por persona” definidos por: • Donde U es el universo de discurso [0,1000K]. Se tiene que:

32. Operaciones Básicas De Los Conjuntos Difusos • Debido a que la membresía en un conjunto difuso se mide en grados, las operaciones de conjuntos deberían generalizarse a los conjuntos difusos de forma acuerda (ilustrar). • La operación de intersección difusa es matemáticamente equivalente a la operación de conjunción difusa (AND), debido a que tienen propiedades idénticas.

33. De operaciones de conjuntos a operaciones lógicas • Para explicar la relación entre operaciones de conjuntos y operaciones lógicas, primero se hará un repaso de operaciones básicas en la lógica clásica: • Una declaración en lógica clásica solo tiene dos posibles valores: Falso o Verdadero. • Dichas declaraciones lógicas pueden ser combinadas al utilizar conectivas lógicas tales como: AND (conjunción, denotada por л), OR (disyunción, denotada por v), NOT (negación, denotada por ¬), y IMPLY (implicación, denotada por → ).

34. Tabla de valores de verdad: Conectivas Lógicas Clásicas • p y q son dos declaraciones lógicas (o proposiciones)

35. Conectivas Lógicas Clásicas • Una declaración conjuntiva compuesta pлq será verdadera si y solo si ambas p y q son verdaderas. • Una declaración disyuntiva compuesta p v q será verdadera si y solo si cualquiera de las declaraciones es verdadera. • La negación de una declaración es verdadera si y solo si la declaración original es falsa.

36. Para lógica clásica: • Si la proposición p representa la sentencia “x está en el conjunto A”: p es verdadera iff xεA • Y si la proposición q representa la sentencia “x está en el conjunto B”: q es verdadera iff xεB • Entonces, p y q son verdaderas cuando x está en la descripción de A y B: (pлq) es verdadera iff xεAB • Y que p ó q es verdadera cuando x está en la unión de A y B: (p v q) es verdadera iff xεAB • Finalmente, p es falsa cuando x está en el complemento de A: p es verdadera iff xεAc.

37. Conclusión • Por lo tanto, los operadores de intersección unión y complemento en la teoría de conjuntos son similares a la conjunción, disyunción y negación en lógica.

38. Operaciones Lógicas Difusas • Un operador común de conjunción (AND) difusa es el operador mínimo. Con frecuencia la intersección difusa se define como: AB (x)= min{A(x), B(x)} • Intersección: En conjuntos difusos es el grado de membresía que dos conjuntos comparten. Una intersección difusa es el menor de la membresía de cada elemento en ambos conjuntos.

39. Por ejemplo: • Se puede definir un conjunto difuso A de los números reales muy cercanos a 8 y B como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 15. Entonces, A  B se definiría como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 8 “y” a 15.Tomando en cuenta la ecuación: y A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7) se tiene que: AB(x) = (0.9 0.4 0.0 0.5).

40. BajaMedia  1 A B Temperatura Representación de la Intersección de difusa ó conjunción difusa.

41. Operaciones Lógicas Difusas • Un operador común de disyunción difusa es el operador máximo. Por lo tanto, con frecuencia la unión difusa se define como: AB (x)= max{A(x), B(x)} • La unión (o disyunción) difusa, se lee “o” difusa, y representa al conjunto difuso más pequeño que contiene a A y que contiene a B. El operador max (), toma como valor verdadero el valor máximo de la función de membresía del elemento x en A y B.

42. Ejemplo: • Se puede definir al conjunto difuso A de los números reales muy cercanos a 8 y B como el conjunto difuso de los números reales muy cercanos a 15. • Tomando en cuenta la ecuación. y que A = (1 0.8 0.4 0.5) y B = (0.9 0.4 0.0 0.7) se tiene que: AB(x) = (1 0.8 0.4 0.7).

43. BajaMedia  1 A B Temperatura Representación de la Unión difusa ó disyunción difusa.

44. Operaciones Lógicas Difusas • El complemento de un conjunto difuso A se define por la diferencia entre uno y el grado de membresía en A: Ac (x)= 1- A (x) • Complemento (negación difusa): El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita para alcanzar 1. Sea U un conjunto cualquiera y M = [0,1], su conjunto asociado de membresía. Si se considera a un conjunto difuso AU, entonces el complemento de A será: • evidentemente, se cumple que: ¬ (¬A) = A

45. Representación del complemento de un conjunto difuso ó negación difusa  1 ¬Medio Medio Temperatura

46. 2.1.3 Variable Lingüística • Como un conjunto convencional, un conjunto difuso se puede utilizar para describir el valor de una variable. Por ejemplo, la oración “El porcentaje de humedad es Bajo” utiliza el conjunto difuso “Bajo” para describir la cantidad de humedad en un día. Más formalmente, se expresa como: • Humedad es Bajo • La variable humedad en este ejemplo demuestra un concepto importante en la lógica difusa: La variable lingüística.

47. … • Una variable lingüística se puede interpretar tanto cualitativamente mediante un termino lingüístico (etiqueta: nombre del conjunto difuso), como cuantitativamente mediante su correspondiente función de membresía (la cual expresa el significado del conjunto difuso). • El termino lingüístico es utilizado para expresar conceptos y conocimiento, mientras la función de membresía se utiliza para procesar el dato numérico de entrada.

48. … • Una variable lingüística es como una composición de una variable simbólica (una variable cuyo valor es un número). Un ejemplo de una variable simbólica es: • Forma = Cilíndrica • Donde Forma es una variable que indica la forma de un objeto. Un ejemplo de variable numérica es: • Altura = 4’

49. … • Con frecuencia, las variables numéricas son utilizadas en ingeniería, ciencias, matemáticas, medicina, y en muchas otras disciplinas. • Por otro lado, las variables simbólicas juegan un papel importante en la inteligencia artificial y las ciencias que tienen que ver con toma de decisiones.

50. … • Utilizando la notación de la variable lingüística se pueden combinar estos dos tipos de variables dentro de una red uniforme, lo cual es de hecho una de las razones principales de que la lógica difusa haya tenido éxito en ofrecer una aproximación inteligente en la ingeniería y muchas otras áreas que tienen que ver con problemas que manejan un dominio continua.