Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal

1. Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal João Paulo Silva do Monte Lima (jpsml@cin.ufpe.br)  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

2. Roteiro • Método dos Palitinhos • Prova de Identidades Combinatórias • Artifícios Matemáticos Úteis

3. + + n palitinhos k – 1 sinais de soma Permutação com Repetição: (n + k – 1)! n! (k – 1)! Método dos Palitinhos Quando se quer saber as maneiras de dividir n objetos entre k pessoas.  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

4. n – km palitinhos + + k – 1 sinais de soma Permutação com Repetição: (n – km + k – 1)! (n – km)! (k – 1)! Método dos Palitinhos Quando as pessoas tem que receber no mínimo m objetos, retiram-se os palitinhos correspondentes e permutam-se os demais.  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

5. Resolução: n – 5k palitinhos k – 1 sinais de soma + + (n – 5k + k – 1)! (n – 5k)! (k – 1)! Método dos Palitinhos Problema 3.30) De quantas maneiras você pode distribuir n moedinhas a k crianças, se cada criança deve receber pelo menos 5?  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

6. Identidades Combinatórias Quando tenta se provar por indução uma fórmula que envolve coeficientes binominais, muitas vezes é interessante lançar mão da seguinte identidade combinatória para que se possa utilizar a hipótese indutiva na demonstração da tese:  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

7. Identidades Combinatórias Muitas identidades podem ser provadas através de argumento combinatório, tais como: • Maneiras de contar os subconjuntos de um conjunto • Maneiras de escolher elementos de um conjunto • Maneiras de formar palavras de tamanho n (com n letras) utilizando k letras distintas  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

8. Quando temos uma função do segundo grau do tipo: f(x) = ax² + bx + c > 0, a > 0 f(x)  = b² - 4ac < 0   f(x)>0, x  R x Artifícios Matemáticos Úteis Se o  da igualdade correspondente for menor que 0, a desigualdade é válida para qualquer valor de x, ou seja, a função é positiva para qualquer valor de x  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

9. f(x)  = b² - 4ac < 0   f(x)<0, x  R x Artifícios Matemáticos Úteis Da mesma maneira, quando temos: f(x) = ax² + bx + c < 0, a < 0 Se o  da igualdade correspondente for menor que 0, a desigualdade é válida para qualquer valor de x, ou seja, a função é negativa para qualquer valor de x  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

10. Resolução: Desenvolvendo a desigualdade ao lado, chegamos a:    = (2 – k)² – 4(k² + 1) < 0 Artifícios Matemáticos Úteis Problema 3.31) Prove que se movermos de cima para baixo no Triângulo de Pascal (visitando uma linha sim outra não), então vemos que os números estão aumentando. n² + (2 – k)n + k² + 1 > 0  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

11. -3k² – 4k < 0 K(-3k – 4) < 0 Zeros da função: -4/3 0 K = 0 - - K = -4/3 K < -4/3 ou k > 0 + Artifícios Matemáticos Úteis (continuação) Desenvolvendo a desigualdade anterior, chegamos a: Como k não pode tomar valores negativos e k > 0, a propriedade está provada.  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

12. Ex.) n!  nn n fatores n fatores Artifícios Matemáticos Úteis Quando se quer provar uma desigualdade do tipo... a  b  c  x  y  z, com todos os fatores > 0 ... basta provar que a  x, b  y e c  z n  (n – 1)  ...  1  n  n ...  n n  n , (n – 1)  n, ... , 1  n Logo a desigualdade é verdadeira  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

13. Referências * Todas as questões contidas neste material foram retiradas do livro: “Discrete Mathematics: Elementary and Beyond”, L. Lovász, J. Pelikán & K. Vesztergombi. Springer, January 2003, ISBN 0387955852. Tradução parcial datada de 20/09/2003 por Ruy J. Guerra B. de Queiroz disponível em: http://www.cin.ufpe.br/~if670  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.

14. Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal João Paulo Silva do Monte Lima (jpsml@cin.ufpe.br)  2004, João Paulo Silva do Monte Lima.