Автор : Елена Юрьевна Семёнова

1. Метод координат на плоскости Автор: Елена Юрьевна Семёнова МОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный

2. Лемма о коллинеарных векторах Лемма Если векторы а и bколлинеарны и а ≠ 0, то существует такое число k, что b = ka Доказательство: b Пусть k=. Т.к. k ≥ 0, то векторыka и b сонаправлены. Их длины равны: │ka│= │k│∙│a│= ∙│a│=│b│. Поэтому b = ka. • 1 случай:a↑↑b. a kа │b│ │a│ │b│ │a│

3. Лемма о коллинеарных векторах Доказательство: • 2 случай:a↑↓b. b Пусть k= – . Т.к. k < 0, то векторыka и b сонаправлены. Их длины равны: │ka│= │k│∙│a│= ∙│a│=│b│. Поэтому b = ka. Чтд. a kа │b│ │a│ │b│ │a│

4. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Пусть а и b– два данных вектора. Если вектор р представлен в виде р = ха + уb, где х и у – некоторые числа, то говорят, что вектор рразложен по векторам а и b. Числа х и у называют коэффициентами разложения.

5. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. b уb р Доказательство: a р = ха + уb ха

6. Координаты векторa y A(x; y) y р j i р = хi + уj р{х; у} 0 = 0i + 0j 0{0;0} 1 x O 1 x

7. Действия над векторами • Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. а {х1; у1} b{х2; у2} а + b{х1 + x2; у1 + y2 } а – b{х1 – x2; у1 – y2 } • Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

8. Действия над векторами • Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. а {х1; у1} kа{kх1;kу1}

10. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца y – В(x2; y2) АВ{х2 – x1; у2 – y1} OA{х1; у1} OВ{х2; у2} y2 АВ АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА y1 A(x1; y1) x2 x1 O x

11. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. АВ {–2 – 5; 4 – 3} АВ {–7; 1} MN{0 – (–3);– 6 – 8} MN{3; –14} Примеры А(5; 3), В(–2; 4) M(-3; 8), N(0; – 6)

12. Координаты середины отрезка С x = y В(x2; y2) y2 х1+ х2 y1+ y2 y = 2 2 М y1 A(x1; y1) x2 x1 x O

13. Длина вектора y A(x; y) y а а = √x2 + y2 x x O

14. Расстояние между двумя точками АВ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 y В(x2; y2) АВ{х2 – x1; у2 – y1} y2 │АВ│ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 y1 A(x1; y1) x2 x1 x O