MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR

1. MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR Măsurarea mobilităţii mecanice

2. Zgomot şi vibraţie: cauză şi efect • Zgomotul şi vibraţia din mediul ambiant sau din zonele industriale sunt produse de procese particulare în care forţe dinamice excită structurile. Acestea crează oamenilor disconfort, stări de oboseală şi chiar îmbolnăviri. Asupra maşinilor, vehiculelor şi clădirilor efectul lor constă în uzură, scăderea performanţelor, funcţionare deficitară sau apariţia oricărui grad de defectare ireversibilă. • Multe dintre problemele de zgomot şi vibraţie sunt legate de fenomenul de rezonanţă. • Pentru orice situaţie exstă mereu trei factori: Sursa – unde este generată forţa dinamică, Calea – explică cum este transmisă energia, Receptorul – cât de mult zgomot sau vibraţie pot fi tolerate. Oricare dintre acestea poate fi de vină şi trebuiesc studiate pentru a găsi soluţiile optime corespunzătoare. • Să considerăm un autoturism al cărui nivel de zgomot este deosebit de mare. În această situaţie sursa vibraţiei este motorul şi cutia de viteze, calea de transmitere o constituie caroseria maşinii, iar receptorul e reprezentat de către urechile conducătorului auto.

3. Analiza semnalului şi a sistemului • Analiza semnalului este procesul prin care se determină răspunsul sistemului supus la acţiunea unor excitaţii necunoscute, cu caracter general, şi prezentarea lor într-o modalitate uşor de interpretat. • Analiza sistemului foloseşte tehnici pentru determinarea proprietăţilor inerente sistemului. Acest lucru se realizează prin excitarea sistemului cu forţe cunoscute şi studierea raportului răspuns/forţă (sensibilitate). Pentru sistemele liniare acest raport reprezintă o proprietate independentă, care rămâne neschimbată indiferent dacă sistemul este excitat sau în repaus. • Prin analiza sistemului, măsurând mobilitatea şi folosind metodele analizei modale, pot fi obţinute modele dinamice ale structurii, iar ulterior, pe baza acestora, poate fi prezisă comportarea structurii la factori excitatori care diferă de cei pentru care s-a făcut înregistrarea datelor şi chiar mai mult, poate fi prezis răspunsul structurii în urma efectuării unor modificări structurale.

4. Detectarea defecţiunilor Analiza semnalului • Pentru exemplul considerat mai sus, o componentă discretă din spectrul acceleraţiei va corespunde cu o turaţie a unui anumit arbore din sistemul de transmisie al maşinii. Dacă componenta din spectru are o amplitudine relativ mare, rezultă că mişcarea arborelui respectiv constituie o sursă de vibraţie şi zgomot. • Odată ce sursa a fost identificată apar întrebările: are ea un nivel ridicat din punct de vedere al energiei dinamice, forţând astfel structura să vibreze?; sau, este structura „slabă” din punct de vedere dinamic chiar în dreptul acestei frecvenţe discrete, răspunzând astfel excesiv chiar la forţe de excitaţie de valori relativ normale?

5. Detectarea defecţiunilor Analiza sistemului Dacă pentru exemplul considerat, în graficul răspunsului sistemului în funcţie de viteză apar vârfuri, se poate trage concluzia că frecvenţele corespunzătoare constituie rezonanţe în sistemul măsurat. Cu toate acestea, atâta timp cât forţa excitatoare este necunoscută, această concluzie nu este neapărat corectă, vârfurile putând fi prezente chiar în această forţă excitatoare.

6. Rezolvarea problemelor dinamice • Măsurarea formei deformate a structurii în timpul funcţionării acesteia presupune determinarea deformaţiilor dinamice forţate în domeniul frecvenţelor de funcţionare, sub acţiunea unor forţe necunoscute, dar reale. • În exemplul considerat forma deformată a cutiei de viteze şi a motorului are loc pe direcţie verticală. Ca urmare, rezolvarea problemei ar consta în realizarea unei constrângeri a sistemului pe această direcţie. Acest lucru ar putea fi realizat prin adăugarea unor rigidităţi suplimentare în punctele în care amplitudinea este mare sau mişcarea este în antifază. Mărirea rigidităţii va duce la creşterea frecvenţelor proprii şi ar fi de dorit ca ele să iasă din domeniul frecvenţelor de lucru.

7. Rezolvarea problemelor dinamice • Majoritatea problemelor întâlnite în practică au ca punct de plecare excitarea, prin fenomenul de rezonanţă, a unuia sau a mai multor moduri proprii de vibraţie de către forţele apărute în regimul de funcţionare. Modurile proprii a căror frecvenţă se găseşte în domeniul frecvenţelor de lucru vor reprezenta mereu un potenţial pericol. • O proprietate, deosebit de importantă, a modurilor de vibraţie este aceea că orice răspuns dinamic al unei structuri, la vibraţii libere sau forţate, poate fi descompus într-o sumă discretă de moduri proprii de vibraţie corespunzătoare acelei structuri. • Parametri modali sunt: Frecvenţa modală, Amortizarea modală,Forma modului. • Parametri modali, corespunzători tuturor modurilor proprii de vibraţie existente în plaja frecvenţelor de interes, constituie o descriere completă a dinamicii structurii. • De aici şi necesitatea studierii modurilor proprii de vibraţie a structurii în regim liber, moduri care reprezintă proprietăţi inerente ale acesteia. • Analiza modală este metoda prin care sunt determinaţi toţi parametri modali şi care sunt suficienţi pentru formularea unui model matematic, care poate apoi să descrie dinamica structurii. Analiza modală poate fi abordată prin metode analitice sau experimentale.

8. Modele matematice Necesitatea folosirii modelelor matematice rezultă din următoarele aspecte: • Înţelegerea comportării structurilor sub acţiunea forţelor dinamice; • Simularea sau predicţia răspunsului structurii supusă la acţiunea forţelor exterioare; • Simularea schimbării caracteristicilor dinamice ca urmare a modificărilor fizice.

9. Modele matematice • Modelul matematic analitic se bazează pe calculul distribuţiei de mase şi rigidităţi în funcţie de condiţii la limită impuse. Aceste calcule se fac deobicei cu ajutorul metodei elementelor finite (MEF), care presupune rezolvarea unui număr foarte mare de ecuaţii diferenţiale cuplate şi deci necesită utilizarea calculatorului. • Modelul matematic experimental se construieşte folosind date modale măsurate experimental, date care reprezintă sistemul în condiţiile în care s-au făcut măsurările. Modelul obţinut este compus dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale decuplate, câte una pentru fiecare mod propriu de vibraţie, de aceea se mai numeşte şi model modal.

10. Folosirea datelor modale • În urma efectuării măsurărilor experimentale, datele modale pot fi determinate sub diferite forme: • Curba de răspuns în frecvenţă, care furnizează valorile exacte ale frecvenţelor modale; acestea, asociate cu forma modurilor de vibraţie, dau informaţii complete asupra modurilor; • Date privind forma modurilor de vibraţie (eventual animţia lor), care ajută la crearea unui model matematic modal. • Datele modale obţinute experimental au un domeniu mare de aplicare, printre care: • Verificarea frecvenţelor modale; • Descrierea calitativă a formei modurilor, ajutând astfel la înţelegerea comportării dinamice a structurii în vederea detectării defecţiunilor; • Verificarea şi îmbunătăţirea modelelor analitice; • Permit efectuarea de simulări pe calculator (bazate pe modelul modal) necesare îmbunătăţirii prototipurilor sau detectării defecţiunilor.

11. Verificarea unui model matematic analitic

12. Funcţia de răspuns în frecvenţă

13. Funcţia de răspuns în frecvenţă

14. Măsurarea mobilităţii

15. Estimarea FRF • S-ar putea considera suma a n răspunsuri (corespunzătoare a n frecvenţe luate din spectru) împărţite la n forţe (corespunzătoare aceloraşi n frecvenţe)? Evident că nu, pentru că spectrul are valori complexe, iar suma va converge către zero din moment ce faza dintre valorile spectrale este aleatoare. • S-ar putea lua suma a n rapoarte dintre răspuns şi forţă şi apoi această sumă să fie împărţită la n? Nici această mediere nu este bună, deoarece forţa având un caracter aleator ea poate fi şi zero la anumite frecvenţe dintr-un spectru. Ca urmare, liniile din spectrul FRF, corespunzătoare acelor frecvenţe, vor fi nedefinite. • Efectuând practic măsurări şi apoi o analiză a acestora vom fi conduşi către modul în care trebuie să facem estimarea.

16. Estimarea FRF • Zgomot: • motoare; • paşi; • vânt; • zgomot în ambient; • etc. Zgomot în semnalul de ieşire Folosind principiul celor mai mici pătrate pentru minimizarea efectului zgomotului din semnalul de ieşire, rezultă că cea mai bună relaţie pentru estimarea FRF este următoarea: în care F*(ω) este valoarea complex conjugată a lui F(ω). Această estimare se notează cu H1 şi ea este egală, după cum se va vedea, cu aşa numita funcţie Cross Spectru, dintre răspuns şi forţă, împărţită la funcţia Autospectru a forţei:

17. Estimarea FRF Zgomotînsemnalul de ieşire Funcţia Cross Spectru • Un aspect important al funcţiei H1 este acela că zgomotul aleator al semnalului de ieşiree este liminat în timpul procesului de mediere a funcţiei Cross Spectru. Atunci cînd numărul medierilor creşte H1 converge către H.

18. Estimarea FRF Zgomotînsemnalul de intrare • Poate să apară zgomot în semnalul de intrare atunci când este folosit pentru excitarea structurii un vibrator electromagnetic sau cu mase excentrice. În zona de rezonanţă a structurii, atunci când amplitudinea vibraţiei este mare, excitatorul va folosi întreaga energie la accelerarea componentelor sale, ceea ce duce la scăderea forţei care acţionează asupra structurii. Această scădere se face până în zona nivelului zgomotului electric din aparatură, fiind în contrast cu nivelul maxim al răspunsului care, la rezonanţă, nu mai are zgomot. • Funcţia care minimizează efectul zgomotului în semnalul de intrare este: • Prin utilizarea funcţiei H2 zgomotul la intrare este eliminat de către funcţia Cross Spectru, în timpul procesului de mediere. Odată cu creşterea numărului de medieri H2 converge către H.

19. Funcţia de Coerenţă • Funcţia de Coerenţă constituie un mijloc pentru evaluarea gradului de liniaritate între semnalele de intrare şi ieşire. Inegalitatea funcţiei Cross Spectru: • stabileşte că dacă unul sau ambele Autospectre conţin semnale ne-coerente (zgomote) atunci amplitudinea funcţiei Cross Spectru la pătrat este mai mică decât produsul amplitudinilor celor două Autospectre. Acest lucru are loc deoarece contribuţia zgomotului din semnalul electric este mediat în afara funcţiei Cross Spectru. Relaţia care rezultă de aici defineşte de fapt Funcţia de Coerenţă: • în care • Dacă Funcţia de coerenţă are valoarea unu, rezultă că nu există zgomot în mărimile măsurate, dar dacă valorile scad către zero atunci zgomotul devine din ce în ce mai mare. Interpretarea dată graficului Funcţiei de Coerenţă este aceea că la orice frecvenţă ω se obţin informaţii privind gradul de corectitudine al măsurării celor două semnale, de intrare şi ieşire

20. Funcţia de Coerenţă

21. Alegerea unei funcţii optime pentru estimarea FRF • În urma efectuării de măsurări, s-a observat că la anumite frecvenţe există zgomot în semnalul de intrare, la alte frecvenţe în semnalul de ieşire, dar există şi zone în domeniul de frecvenţă în care în ambele semnale apare zgomot. • În cazul sistemelor cu un nivel mare al amplitudinii în dreptul rezonanţelor şi mic în dreptul antirezonanţelor, indiferent de funcţia de estimare aleasă, vor apare erori cauzate de zgomot în semnale. • Funcţia H2, anulând zgomotul la intrare, este bine de folosit în cazul excitaţiilor aleatoare şi al rezonanţelor. • Dacă există zgomot în semnalul de ieşire, cazul antirezonanţelor, se recomandă folosirea funcţiei H1. • În cazul excitaţiei de tip impact sau pseudo-aleator, H1 şi H2 se pot utiliza în egală măsură, dar este de preferat H1 atunci când antirezonanţele sunt puternice. • Dacă există zgomot aleator atât în semnalul de intrare cât şi în cel de ieşire, valoarea reală a funcţiei de transfer H va fi mărginită de cele două funcţii astfel:

22. Excitarea structurii • În vederea măsurării mobilităţii unei structuri, aceasta trebuie excitată cu o forţă dinamică cunoscută, măsurabilă, nefiind restricţii, din punct de vedere teoretic, în ceea ce priveşte forma de undă. • În alegerea forţei de excitaţie trebuie să se ţină cont de câţiva parametri: - Structura care va fi excitată; - Controlul spectrului forţei excitatoare; - Factorul de amplitudine; - Tipul structurii – liniare sau neliniare; - Durata efectuării testului; • Echipamentul disponibil. • Forţa de excitaţie trebuie aleasă astfel încât să fie relativ constantă pe întreg domeniul de interes, spectrul răspuns va avea acelaşi domeniu de frecvenţe ca şi forţa.

23. Excitarea structurii • Factorul de amplitudine este definit ca raport între valoarea vârfului amplitudinii maxime a semnalului şi deviaţia standard, adică valoarea RMS a aceluiaşi semnal. Un factor de amplitudine mare al semnalului excitator sub fomă de undă prezintă două dezavantaje: • raportul semnal-zgomot este mic, unele semnal fiind pierdute în zgomotul de fond; • vârfurile de amplitudine înaltă ale forţei conduc la o interpretare neliniară a structurii. • Analiza modală acceptă o abordare liniară a sistemelor şi foloseşte modele liniare. Ca urmare, dacă întâlnim o structură care prezintă unele neliniarităţi, vom căuta să facem o cât mai bună aproximare liniară. Folosind o formă de undă aleatoare care excită structura cu o mare varietate a nivelelor amplitudinii, prin medierile efectuate ulterior în semnalele intrare-ieşire, comportarea neliniară poate fi eliminată. În general, în studiul neliniarităţilor se foloseşte excitaţia cu o forţă sinusoidală de amplitudine maximă.

24. Aplicarea excitaţiei • Forţele excitatoare pot fi generate prin diferite mijloace, existând numeroase tipuri de aparte proiectate special în acest scop. Ţinând cont de caracteristica de bandă a forţei excitatoare se pot considera două clase: excitatoare care se ataşează (se prind) sau care nu se ataşează de structura de studiu. • Câteva exemple pentru excitatoarele care se prind de structură sunt: vibratorul electromagnetic; vibratorul electrohidraulic; vibratorul cu mase excentrice aflate în mişcare de rotaţie; vibratoare speciale. • Excitatoare care nu se prind de structură: ciocane; pendule de impact; cabluri suspendate.

25. Măsurarea forţei • Forţa aplicată este în general măsurată cu ajutorul traductorului piezoelectric de forţă, acesta prezentând următoarele avantaje: • dimensiune şi masă mică (nu modifică proprietăţile mecanice ale structurii); • liniaritate foarte bună; • domeniul dinamic larg (120 dB); • domeniu larg de frecvenţe. • Vibratorul trebuie prins de structură în punctul şi pe direcţia pe care se doreşte să se facă excitarea acesteia. Structura, în punctul de excitare, trebuie să fie liberă pentru celelalte cinci grade de libertate, fără rotiri sau constrângeri laterale. • O metodă bună de prindere a vibratorului de structură este folosirea unei tije din oţel, aceasta având o rigiditate mare pe direcţie axială, dar mică pe direcţie transversală şi la rotaţie, oferind un control bun al direcţiei forţei de excitaţie şi, în plus, protejează traductorul de forţă la suprasarcini distructive.

26. Măsurarea răspunsului • Măsurarea răspunsului presupune măsurarea oricăruia dintre următorii parametri: deplasare, viteză sau acceleraţie. Cea mai bună alegere a traductorului de vibraţie o constituie accelerometrul piezoelectric, deoarece: • liniaritate bună; • greutate redusă (pot fi şi sub 1 g); • domeniu dinamic mare (160 dB); • domeniu larg de frecvenţe (0,2 Hz – 10 kHz pentru liniarităţi mai bune de 5%); • proiectare simplă şi construcţie robustă (unele tipuri rezistă la şocuri foarte mari de pâna la aproximativ 20.000 g); • rezistenţă mare la diverşi factori de mediu; • sensibilitate mică pe direcţie transversală; • montaj simplu.

27. Montarea accelerometrelor

28. Termenul „aleator” se referă la amplitudinea forţei perturbatoare care respectă probabilitatea de distribuţie de tip Gauss. Pentru o astfel de excitaţie, semnalele înregistrate la un moment dat conţin amplitudini şi faze aleatoare pentru fiecare frecvenţă. Prin mediere, spectrul are un aspect constant şi continuu, conţinând aproximativ acelaşi nivel al energiei la toate frecvenţele. Caracteristica aleatoare a semnalului determină excitarea structurii într-un domeniu larg al forţei pentru fiecare frecvenţă. Totodată, forţa excitatoare aleatoare aplicată sistemelor neliniare duce, prin mediere, la o aproximare liniară bună.

29. Excitaţia de tip impact • Testarea cu ajutorul ciocanelor de impact are numeroae avantaje: • viteză ridicată de efectuare a testului – sunt necesare puţine medieri; • nu sunt necesare dispozitive speciale de fixare; • nu există o masă suplimentară, variabilă, care să încarce structura – avantaj pentru structurile uşoare; • portabile, se pretează bine măsurărilor din afara laboratorului; • realizarea lor nu este scumpă. • Există totuşi şi unele dezavantaje: • factorul de amplitudine, având o valoare relativ ridicată, face ca această metodă să nu fie propice sistemelor neliniare, din moment ce apare posibilitatea excitării comportării neliniare a cestora; • în cazul excitării structurilor mari, în timpul impactului, trebuie aplicată o energie suficient de mare care însă duce la deteriorări locale ale structurii; • semnalul are un caracter puternic determinist, nepermiţând aproximări liniare pentru sistemele neliniare chiar dacă se foloseşte Funcţia de Coerenţă; • spectrul poate fi controlat numai la limita superioară a frecvenţelor, nepermiţând analize de tip zoom.

30. Excitaţia de tip impact

31. Testarea prin impact şi Funcţia de coerenţă • Caracterul determinist al testării prin impact limitează utilizarea Funcţiei de coerenţă.Funcţia de coerenţă va arăta valoarea „perfectă” 1 numai dacă nu: • există o antirezonanţă, zonă în care raportul semnal-zgomot este mic; • punctul de impact corespunde sau este foarte aproape de un nod al formei modului de vibraţie, situaţie în care coerenţa este foarte scăzută (≈0,1). Totuşi, acest lucru este acceptabil din moment ce rezistenţa modală din acest punct este slabă şi neimportantă pentru analiză.

32. Relaţii importante folosite în analiza spectrală • Relaţia timp-frecvenţă. În mod normal, datele pot fi reprezentate în două domenii diferite: timp sau frecvenţă. Deşi reprezentarea diferă, informaţia este aceeaşi. Trebuie reţinut faptul că dacă un eveniment apare pe un domeniu larg într-o reprezentare, atunci în cealaltă reprezentare el va apare într-un domeniu îngust; şi invers: • un semnal cu o durată mică în timp, de tip puls, va avea un spectru larg (de la 0 Hz până la frecvenţe foarte înalte) în domeniul frecvenţă; • un semnal sinusoidal, cu o durată mare în timp, are un spectru format numai dintr-o linie spectrală.

33. Relaţii importante folosite în analiza spectrală • Relaţia trunchiere-pierderi de date. Când observaţia este limitată într-un anumit domeniu, înregistrarea este trunchiată, iar în celălalt domeniu apar pierderi de date, scurgeri de informaţie: • dacă încercăm să măsurăm un semnal de tip puls, folosind instrumente care nu au suficientă lăţime de bandă, atunci semnalul puls va apare mai lat decât este în realitate; • dacă în dreptul unei rezonanţe, timpul necesar înregistrării este mai mic decât cel normal, atunci, în spectrul amplitudine-frecvenţă, amplitudinea din dreptul rezonanţei va fi trunchiată.

34. Metodele ferestrei în testarea prin impact Fereastra tranzitorie. Fereastra tranzitorie este fereastra folosită în prelucrarea semnalului de intrare, de tip impact. În general, durata impactului este mult mai mică în comparaţie cu durata de înregistrare a datelor. • De aceea, trebuie făcute anumite observaţii în ceea ce priveşte aplicarea ferestrelor. Înteresează în primul rând semnalul forţei din timpul perioadei de impact. Din nefericire, în semnal apar şi zgomote cauzate de circuitele electrice, sau chiar de vibraţia ciocanului după impact.Fereastra care trebuie folosită este de tip tranzitoriu. • Dacă se priveşte variaţia în timp a forţei de impact pot fi observate şi semnale negative, care, din punct de vedere fizic, nu au ce să caute în acest spectru. Apariţia lor este cauzată de trunchierile din domeniul frecvenţă. Lungimea ferestrei pentru semnalul forţă trebuie astfel aleasă încât să includă în ea semnalul întreg.

35. Metodele ferestrei în testarea prin impact Fereastra pentru semnalul răspuns. Fereastra răspuns este cea care se foloseşte în prelucrarea semnalului de ieşire. Răspunsul structurii la o excitaţie de tip impact corespunde mişcării libere descrescătoare a structurii, mişcare rezultată din compunerea tuturor modurilor proprii de vibraţie amortizată ale acesteia. Vor fi considerate două situaţii des întâlnite: • o structură slab amortizată va avea rezonanţe „ascuţite” (amplitudini relativ mari la rezonanţă, cu pante mari de creştere şi descreştere), structura oscilând mult până când amplitudinea mişcării va fi nulă. Dacă durata timpului de înregistrare este mai mică decât timpul de descreştere al semnalului, vor rezulta pierderi de informaţie în domeniul frecvenţă; • în cazul unei structuri puternic amortizate mişcarea de oscilaţie se va atenua într-un timp relativ scurt. Dacă durata timpului de înregistrare este mult mai mare decât timpul de descreştere al semnalului răspuns va rezulta un raport mic semnal-zgomot, iar măsurările vor fi contaminate cu zgomot.

36. Un exemplu real: vibraţii la un pod rulant • La un moment dat, în timpul funcţionării unui pod rulant de mari dimensiuni din dana unui port, în structura sa, au apărut vibraţii puternice. Oprirea utilajului pentru investigaţii presupune pierderi importante, dar şi defectarea sa ar însemna costuri şi mai mari. • Primul pas făcut a fost: identificarea sursei de vibraţii. Vibraţiile apăreau atunci când una dintre macarale efectua operaţia de ridicare. Prin câteva măsurări ale vibraţiei, sursa a fost identificată – reductorul acelei macarale. O analiză a spectrului, obţinut în urma efectuării măsurărilor de vibraţie pe cutia reductorului, a arătat componenta de 11 Hz ca fiind predominantă. Cunoscând lanţul cinamatic al reductorului, precum şi turaţia motorului de acţionare, s-a observat că frecvenţa de 11 Hz corespunde turaţiei unui arbore intermediar din cutia de viteze a reductorului. • În acest moment au apărut întrebările: este într-adevăr nivelul forţei generată în reductor atât de mare? Sau forţa se înscrie în limite normale, dar fenomenul de rezonanţă apărut în structură este de vină? Pentru a cunoaşte răspunsul, s-a măsurat mobilitatea la nivelul cutiei lagărului corespunzător arborelui intermediar a cărui frecvenţă de regim a fost detectată ca predominantă în spectrul de răspuns (11 Hz).

37. Un exemplu real: vibraţii la un pod rulant • Măsurarea mobilităţii, în diverse puncte, s-a realizat relativ uşor şi rapid folosind pentru excitaţia structurii un ciocan de impact. Funcţia de răspuns în frecvenţă, rezultată în urma măsurării mobilităţii, nu indică existenţa unei rezonanţe în dreptul frecvenţei de 11 Hz şi, ca urmare, cauza vibraţiei a fost diagnosticată ca fiind vibraţiile forţate apărute în urma unui dezechilibru masic. • În această etapă s-a dorit determinarea forţei de dezechilibru masic. Considerând lagărul arborelui ca fiind un sistem simplu intrare-ieşire, pentru modelul liniar corespunzător se poate scrie: • Ecuaţia de mai jos a fost rezolvată ţinând cont de valorile amplitudinilor, din dreptul frecvenţei de 11 Hz, luate din spectrul curbei de răspuns în frecvenţă şi respectiv spectrul mobilităţii. S-a găsit astfel valoarea de 8,29 kN pentru amplitudinea forţei de inerţie cauzată de dezechilibrul masic. În continuare, s-a putut calcula valoarea momentului masic:

38. Un exemplu real: vibraţii la un pod rulant • În urma efectuării măsurării vibraţiilor şi a calculelor prezentate mai sus, s-a luat decizia ca utilajul să fie oprit şi s-a trecut la inspecţia reductorului. Interesant este, că deşi sistemul a fost aproximat cu unul simplu de tip intrare-ieşire, calculele făcute au corespuns realităţii: la spiţa uneia dintre roţile existente pe arborele în cauză îi lipsea, ca urmare a ruperii şi desprinderii, o bucată de material de 3,3 kg, la o distanţă de 0,53 m faţă de axul roţii. Toată intervenţia a durat 8 ore.