Il corpo rigido

1. Il corpo rigido continuo discreto n numero di punti Infiniti punti • È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo • un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate. Il corpo rigida conserva la sua forma. • I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. • Il corpo rigido è un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi • Ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello di un corpo rigido. • Un corpo rigido non può avere moti caratterizzati da una variazione delle dimensioni del corpo stesso (vibrazioni, maree, etc.)

2. Le equazioni a disposizione • Corpo rigido = sistema di punti materiali: • I e II legge della dinamica dei sistemi. • Due equazioni vettoriali • Equivalenti a sei equazioni scalari • Poiché le distanze tra due punti qualsiasi di un corpo rigido si mantengono costanti • Il lavoro delle forze interne è nullo. • Il teorema delle forze vive diventa:

3. La terna solidale y’ Terna solidale L’asse z’ è perpendicolare alla figura uscente dal foglio. P corpo rigido O’ x’ • E’ una terna con origine in un particolare punto del corpo rigido e assi che passano per punti fissi del corpo rigido • Ogni punto del corpo rigido, proprio per la definizione del corpo rigido, occupa una posizione fissa in questa terna. • Descrizione del moto di un CR: • trovo la posizione di tutti i punti del CR all’istante di tempo iniziale to rispetto alla terna solidale (questa posizione è costante modulo direzione e verso) • trovo la posizione della terna solidale in un istante successivo t. • Utilizzando la posizione di ciascun punto del CR rispetto alla terna solidale determinata all’istante iniziale, posso determinare la posizione di ciascun punto all’istante t.

4. I moti del corpo rigido: la traslazione y’ P CM O’ x’ • Traslazione • Le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) • Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo • Spostamento che è lo stesso di quello subito dal centro di massa • Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa • È sufficiente determinare il moto del centro di massa, utilizzando la I equazione cardinale della dinamica dei sistemi. • La II equazione richiede che il momento risultante valutato rispetto al centro di massa sia nullo.

5. I moti del corpo rigido: la rotazione y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ P P P P P P P P P P O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ • Rotazione • Le orientazioni degli assi della terna solidale non rimangono costanti • Esiste un insieme di punti, allineati su una retta, che rimangono fermi • Asse di rotazione (asse fisso) • L’asse z’ nel caso dell’animazione • Tutti i punti si muovono su traiettorie circolari attorno all’asse di rotazione • Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione • Il centro della traiettoria circolare è il punto comune dell’asse di rotazione e del piano della traiettoria • Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento angolare nello stesso intervallo di tempo • Tutti i punti si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare rispetto all’asse di rotazione Dq

6. I moti del corpo rigido: la rotazione y’ y’ P P v Dq O’ O’ x’ x’ • Rotazione • La velocità di ciascun punto è tangente alla traiettoria circolare • Il modulo della velocità è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse di rotazione • Anche l’accelerazione tangenziale è proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione • Così come lo è l’accelerazione centripeta

7. Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s? Applicazione

8. Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s? Applicazione

9. I moti del corpo rigido: la rotatraslazione y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ y’ P P P P P P P P O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ x’ • Rototraslazione • In generale il moto di un corpo rigido sarà la composizione di un moto di traslazione • più un moto di rotazione • Attenzione: non è detto che l’asse di rotazione si mantenga fisso • Esso può cambiare sia in posizione che in orientazione • Un moto comunque complesso può sempre essere immaginato come la sovrapposizione del moto del CM (I equazione cardinale) • Più un moto di rotazione attorno al centro di massa (II equazione cardinale) • Noi non affronteremo il caso generale • Ci occuperemo del moto di rotazione attorno ad un asse fisso • Moto di puro rotolamento (il moto delle ruote)

10. I gradi di libertà del corpo rigido y’ P2 CM O’ x’ P1 • Le equazioni a disposizione sono sufficienti a risolvere il moto del corpo rigido? • Quante coordinate ci servono per individuare la posizione del corpo rigido nello spazio? • Abbiamo detto che la posizione nello spazio di un CR è determinata se conosciamo la posizione nello spazio della terna solidale! • Osserviamo che per conoscere la posizione della terna basta fornire le posizioni dell’origine O’ del punto P1 sull’asse x’ e del punto P2 sull’asse y’. • Con questi tre punti si determinerà la posizione dell’origine e i due assi x’, y’. • L’asse z’ sarà automaticamente determinato dovendo passare per l’origine ed essere perpendicolare agli altri due. • Occorrono dunque nove coordinate (tre per ciascun punto) • Ma i tre punti non sono liberi di assumere delle posizioni arbitrarie • Facendo parte del CR le loro mutue distanze devono restare costanti!

11. I gradi di libertà del corpo rigido y’ P2 CM O’ x’ P1 • Esistono quindi tre relazioni tra le nove coordinate dei punti O’, P1 e P2. • Quindi solo sei di esse possono essere scelte in maniera indipendente. • Una volta scelte le prime sei le ultime tre vengono determinate dalle relazioni tra le coordinate. • I gradi di libertà di un corpo rigido, ossia le coordinate indipendenti sono solo sei (nove complessive meno tre relazioni) • D’altro lato abbiamo a disposizione 6 equazioni • La prima e la seconda equazione cardinale • Sei equazioni e sei coordinate da determinare • Dovrebbero essere sufficienti per descrivere il moto di un corpo rigido.

12. Moto di rotazione attorno ad un asse fisso: determinazione dell’energia cinetica • Consideriamo un corpo rigido discreto (fatto da n punti materiali) in rotazione attorno ad un asse fisso. • Tutti i punti si muovono attorno all’asse con la stessa velocità angolare. • Consideriamo l’i-esimo punto materiale. • Il mdulo della sua velocità: • La sua energia cinetica: • L’energia cinetica di tutto il sistema: Momento di inerzia

13. Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto all’asse di rotazione mi = massa della i-esima particella Ri = distanza dell’i-esima particella dall’asse di rotazione • Il momento di inerzia dipende dalle masse dei punti che costituiscono il corpo rigido • Ma soprattutto dalla distribuzione della massa attorno all’asse di rotazione • Per i corpi continui: dm= massa contenuta nell’elemento infinitesimo dV dm=rdV R= distanza dell’elemento dV dall’asse di rotazione Per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, l’energia cinetica è data da:

14. Momento di inerzia di un punto materiale di massa M • Consideriamo la situazione in figura: • Applichiamo la definizione:

15. Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che l’anello ruoti attorno un asse, perpendicolare all’anello passante per il suo centro (asse dell’anello). • Indichiamo con l la densità lineare dell’anello: • Consideriamo un elemento dell’anello: • a cui corrisponde la massa: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: • I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.

16. Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione di figura: • Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). • Indichiamo con s la densità superficiale del disco: • Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: • a cui corrisponde un momento di inerzia: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

17. Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al proprio asse • Consideriamo la situazione di figura: • Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse. • Indichiamo con r la densità del cilindro: • Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesimi infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa: • a cui corrisponde un momento di inerzia: • Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: • Come il disco

18. Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. • Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. • Introduciamo un sistema di riferimento come in figura • Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, • indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo • La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

19. Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro • Consideriamo la situazione della figura: • Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro. • Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. • Introduciamo un sistema di riferimento come in figura • Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, • indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo • La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

20. Tabella riassuntiva

21. Il teorema di Steiner y’ y • il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma • del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa • e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi: mi yi y’i R’i Ri CM x’ x’i h b a xi P x

22. Il teorema di Steiner y’ y • Dimostriamo per un CR discreto: mi yi y’i Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il CM R’i Distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione passante per il punto P Ri CM x’ x’i h b a xi P x

23. Verifica del teorema di Steiner • Momento di inerzia di una sbarra rispetto all’asse della sbarra • Momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un estremo • Verifica del teorema di Steiner

24. Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min? Applicazione

25. L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per l’estremo superiore della sbarretta. Applicazione y x Asse di rotazione