Kapittel 12: Finansiell risiko

1. Kapittel 12: Finansiell risiko • Hovedmomenter i kapitlet: • Introduksjon til finansiell risiko • Beregning av forventet avkastning og standardavvik for risikoutsatte investeringer • Diversifikasjon • Effisiente porteføljer • Investering i aksjemarkedet • Markedseffisiens • Value at Risk

2. Finansiell risiko • Finansiell risiko er knyttet til usikre bevegelser i rentenivå, valutakurser, råvarepriser og verdien på egenkapitalinstrumenter (aksjer) • Eksempel: Norsk Hydro:

3. Risiko og usikkerhet • Risiko er situasjoner hvor et utfall ikke er kjent med sikkerhet, men hvor vi kan angi sannsynligheter for hvert utfall • Usikkerheter situasjoner hvor et utfall ikke er kjent med sikkerhet, og hvor det heller ikke er mulig å angi sannsynligheter for hvert utfall • Siden sannsynlighetsfordelingen anses kjent, kan risikoen kvantifiseres

4. Forventet avkastning • Du eier to aksjer, aksje A og B, som er anskaffet for henholdsvis kr 200 og kr 150 • I neste periode kan kursene enten gå opp eller ned. Sannsynligheten for kursoppgang er 0,55, og sannsynligheten for kursfall er 1 – 0,55 = 0,45 • Aksje A: Kursen kan øke til 240 eller falle til 190 • Aksje B: Kursen kan øke til 195 eller falle til 135 • Forventet kurs aksje A: Kr 240 • 0,55 + kr 190 • 0,45 = kr 217,50 • Forventet kurs aksje B: Kr 195 • 0,55 + kr 135 • 0,45 = kr 168,00 • Forventet avkastning aksje A: 17,50/200 = 0,0875 eller 8,75 %. • Forventet avkastning aksje B: 18,00/150 = 0,0120 eller 12,00 %

5. Forventet avkastning • For aksje A, er følgende avkastningsutfall mulige: • Kurs øker til 240: 40/200 = 20 % • Kurs faller til 190: -10/200 = - 5 % • For aksje B, er følgende avkastningsutfall mulige • Kurs øker til 190: 45/150 = 30 % • Kurs faller til 135: - 15/150 = - 10 % • Forventet avkastning:

6. Varians og standardavvik • Risikoen til en plassering kan beskrives med avkastningens varians eller standardavvik:

7. Aksje A og B – oppsummert

8. Norsk Hydro – aksjekurs mars 2010

9. Hvordan måle avkastning? • Avkastning må alltid uttrykkes relativt (%) • Oftest brukes aritmetisk avkastning, men det blir mer vanlig å bruke logaritmisk avkastning (logavkastning) • Kursen på Norsk Hydro aksjen økte fra kr 40,60 (Pt = 40,60) til 41,36 den 2. mars 2010 (Pt+1 = 41,36) • Aritmetisk avkastning:

10. Hvordan måle avkastning? • Anta at du kjøper en aksje for kr 100, og de påfølgende dager endres kursen til 110 og tilbake til 100 • Avkastning første dag: 10/100 = 10 % • Avkastning andre dag: - 10/110 = - 9,09 % • Avkastningene summerer seg ikke til 0, selv om avkastningen åpenbart er 0 • Et alternativ er å beregne logavkastning, som er definert som:

11. Logavkastning • Viktige egenskaper ved logavkastningen • Logavkastningen er additiv, det vil si at vi kan addere for eksempel daglig avkastning for å finne total avkastning • Logavkastning er noe lavere enn aritmetisk avkastning, fordi det er forutsatt kontinuerlig forrentning

12. Norsk Hydro, forts. • Aksjekurs 1. mars 40.60, 41.36 den 2. mars og 31. mars var 45.30 • Aritmetisk avkastning: • 2. mars: 41.36/40.60 – 1 = 0,0187 eller ca. 1,87 % • Hele mars: 45.40/40.60 – 1 = 0,1158 eller ca. 11,58 % • Logaritmisk avkastning: • 2 mars: ln(41.36/40.60) = 0,0185 eller ca. 1,85 % • Hele mars: ln(45.40/40.60) = 0,1095 eller ca. 10,95 % • Sammenhenger:

13. Empirisk varians og standardavvik • For å illustrere risiko ved investering i aksjemarkedet, beregner vi empirisk varians og standardavvik

14. Empirisk varians og standardavvik • Standardavvik rapporteres ofte for en periode på ett år, men beregnes ofte over en kortere tidsperiode • For å komme fra standardavvik fra en kortere periode til årlig standardavvik, bruker vi kvadratrotsloven som sier at standardavviket øker med kvadratroten av tiden:

15. Aksjekurs NHY mars 2010 Gjennomsnittlig daglig log-avkastning ca. 0,5 % og total logavkastning 10,95 % Daglig standardavvik 0,0157 eller ca. 1,57 %. Årlig standardavvik 0,0157 ● 2520.5 = 0,2497 eller ca. 25 %.

16. Norsk Hydro 5 år mars 2006 - 2010 • Gjennomsnittlig årlig logavkastning (daglige kurser) for Norsk Hydro aksjen i 5-årsperioden 2006 – 2010 er 2,83 % og standardavvik 52,05%

17. Norsk Hydro: Daglig avkastning 2006 - 2010

18. Viktige egenskaper ved normalfordelingen • Det kan vises at dersom en stokastisk variabel er normalfordelt, vil 68,26 % av utfallene ligge innenfor ± 1 standardavvik fra forventningen, 95,44 % skal ligge innenfor ± 2 standardavvik fra forventningen, og 99,74 % skal ligge innenfor ± 3 standardavvik fra forventningen

19. Andre selskaper 2006 - 2010

20. Aksjekurser og sannsynlighetsfordelinger • Vanlig oppfatning er at aksjekurser endres tilfeldig fra dag til dag – de følger en såkalt ”random walk” eller ”white noice” prosess • Hvilken sannsynlighetsfordeling kan illustrere kursutviklingen? • Normalfordelingen ikke velegnet siden den ikke er begrenset nedad til 0, og aksjekurser kan selvsagt ikke bli negative • Lognormalfordelingen er begrenset nedad til 0 og brukes ofte for å illustrere aksjekurser • Hvis aksjekursen X er lognormalfordelt, er avkastningen Y = ln(X) normalfordelt • ΔP/P = Φ • Avkastningen følger en Brownsk bevegelse

21. Lognormalfordelingen

22. Daglige aksjekurser Norsk Hydro 2006 - 2010

23. Sammenheng mellom enkeltaksjer • Risikoen ved aksjeinvesteringer kan betegnes som usystematisk risiko (bedriftsrisiko) og systematisk risiko (markedsrisiko) • Usystematisk risiko gjelder den enkelte bedrift, mens den systematiske risikoen påvirker alle bedriftene eller aksjemarkedet generelt • Den usystematiske risikoen kan elimineres eller sterkt reduseres ved å sette sammen flere enkeltaksjer til en portefølje - diversifikasjon • Markedsrisiko kan ikke elimineres ved diversifikasjon

24. Avkastning aksje X og Y enkeltvis

25. Avkastning aksje X og aksje Y sammen

26. Sammenheng mellom enkeltaksjer • Sammenhengen mellom avkastningen til enkeltaksjer kan beskrives ved hjelp av de statistiske målene kovarians og korrelasjonskoeffisient • Korrelasjonskoeffisienten er normalisert og kan anta verdier mellom – 1 og + 1 • – 1 er perfekt negativ lineær korrelasjon • 0 angir at det ikke er samvariasjon eller korrelasjon mellom to størrelser • + 1 er perfekt positiv lineær korrelasjon • Korrelasjonskoeffisienten mellom aksjekurser er ofte rundt 0,5 – 0,7

27. Korrelasjonskoeffisient 2006 - 2010

28. Aksje A og B – nok en gang

29. Kovarians og korrelasjonskoeffisient • Følgende sammenhenger gjelder:

30. Kovarians og korrelasjonskoeffisient

31. Forventet avkastning for en portefølje av aksje A og B • Porteføljeavkastning kan enkelt finnes som det veide gjennomsnittet av enkeltaksjenes avkastning:

32. Standardavvik for en portefølje av aksje A og B • Hvordan kan man finne standardavviket til avkastningen for en portefølje? • Kan man bare veie sammen enkeltaksjenes standardavvik? • Dette vil bare unntaksvis være riktig fordi det ikke fanger opp diversifikasjonseffekten • Varians og standardavvik til avkastningen til en portefølje beregnes slik:

33. Standardavvik for en portefølje av aksje A og B • Gitt for eksempel en andel i A og B på 50 % hver, gir dette: • Det kan generelt vises at variansen til en portefølje med m enkeltaksjer er:

34. Porteføljevarians – forenklet beregning • Vi kan også beregne porteføljevariansen og standardavviket uten å gå veien om kovarians og korrelasjonskoeffisient:

35. Porteføljevarians ved ulike andeler • Vi kan også beregne porteføljevarians og standardavvik for ulike andeler av A og B: • Porteføljen som minimerer standardavviket (minimum varians porteføljen) er gitt ved at optimal andel for aksje A er:

36. Effisiente porteføljer

37. Korrelasjonskoeffisienten bestemmer graden av risikoreduksjon • Vi kan se hvordan standardavviket til porteføljen påvirkes av ulike anslag på korrelasjonskoeffisienten mellom aksjekursene:

38. Korrelasjon og diversifikasjon

39. Norsk Hydro og Orkla

40. Norsk Hydro og Orkla - korrelasjon

41. Norsk Hydro og Orkla – avkastning og risiko (50 % andel i hver aksje)

42. Value at Risk (VaR) • En investor vil være utsatt for en rekke risikokilder og det er ikke enkelt å få oversikt over den totale risikoen man har utsatt seg for • VaR er et mye brukt mål for å oppsummere samlet eksponering

43. Value at Risk (VaR) • Ved VaR beregning stiller vi oss spørsmålet • Hva er det meste vi kan tape, med 95 % eller 99 % konfidensnivå, i løpet av den kommende uke, måned eller år? • Vi beregner VaR slik: • Hvor høyt er beløpet som er eksponert? • Hva er volatiliteten eller det årlige standardavviket σ for den aktuelle eiendelen? • Hvilket konfidensintervall α skal vi bruke? • Hvor lang er tidsperioden hvor vi er eksponert?

44. Value at Risk og konfidensnivå • Hvilket konfidensnivå skal vi legge til grunn? • I praksis er det vanlig med 1 %, slik at tap overstiger beregnet VaR i 1 av 100 dager

45. Normalfordelingen (standardisert)

46. Eksempel – Value at Risk • Vi legger til grunn et daglig standardavvik for Norsk Hydro aksjen på 3,11 %. Anta at du har plassert kr 1 000 000 i aksjen. Daglig standardavvik er dermed 31 100 • Det er 99 % sannsynlighet for at verdifall ikke overstiger 2,33 standardavvik • 1-dags VaR er dermed • N-dag VaR er 1 dags VaR ● • 10-dag Var er dermed

47. 1 dag VaR for Norsk Hydro

48. Value at Risk – Stress test

49. Value at Risk for en portefølje • Anta at Hydro aksjen kombineres med Orkla i en portefølje. Daglig standardavvik for Orkla er 2.47 %, og ved en plassering på 1 million kr 24 700.1-dag Var er 24 700 ● 2,33 = 57 551 • Korrelasjon mellom Hydro og Orkla er 0,62, og standardavviket for porteføljen blir • 1-dag VaR 2,33 ●50 297 = 117 192. Dette er lavere enn summen av enkeltaksjene (72 463 + 57 551) = 130 014) pga. diversifikasjonseffekten

50. Aksjer på Oslo Børs • For å belyse utviklingen i gjennomsnittlig verdi på børsen, brukes såkalte aksjeindekser • Tre brede indekser er mest relevante når det gjelder utviklingen på børsen samlet: • Hovedindeksen (OSEBX - Oslo Børs Benchmark Index) ca 60 av de mest omsatte aksjene på børsen. Kapitalveiet, det vil si at store selskaper teller mest, og hovedindeksen er totalavkastningsindeks (både kurs og utbytte er med) • Aksjeindeksen (OSEAX - Oslo Børs All Share Index) inneholder alle noterte aksjer på Oslo Børs og er også en totalavkastningsindeks • Fondsindeksen (OSEFX - Oslo Børs Mutual Fund Index), spesielt tilpasset aksjefondene