Probabilidades

1. Probabilidades 9º Ano Probabilidades

2. Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão: “ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”. Como dividir as 60 pistolas?

3. Probabilidades 9º Ano Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades. Blaise Pascal Vídeo: É uma banda desenhada canadiana, com legendas em português, e que de uma forma muito interessante explica a área de estudo das Probabilidades. http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI Fermat

4. Probabilidades 9º Ano Importância do estudo da Teoria das Probabilidades METEREOLOGIA É pouco provável que chova durante esta semana. SEGUROS Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro? JOGOS Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

5. Todos os dias somos confrontados com situações, que nos conduzem a utilizar, intuitivamente, a noção de probabilidade: • Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar o totoloto; • O político deseja saber qual a sua probabilidade de ganhar as eleições; • Dizemos que existe uma grande probabilidade de não chover num dia de verão; • O médico interroga-se sobre qual a probabilidade de um doente, tratado com um novo medicamento sobreviver.

6. Atividade 1: A Matemática e os jogos de azar • Considera as seguintes situações: • O boletim do totoloto que o Vítor preencheu está representado na figura seguinte. Em qual das apostas terá maior probabilidade de ganhar? • Um árbitro de futebol atirou uma moeda ao ar seis semanas seguidas e obteve sempre face. • Vai atirá-la uma sétima vez. É mais provável sair face comum ou face nacional?

7. Atividade2: Tipos de experiênciasConsidera as seguintes experiências: Situação 1: Situação 2: Lançar uma moeda e verificar se sai cara Abrir a mão e largar a moeda Faz uma pequena reflexão sobre o que poderá acontecer em cada uma das situações. • Na primeira experiência já sabemos o que acontece mesmo antes de a realizar – a moeda cai ao chão (trata-se de uma experiência determinista). • Na segunda experiência só é possível conhecer o resultado depois de a realizarmos (trata-se de uma experiência aleatória).

8. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos Experiências Aleatórias Deterministas • Furar um balão cheio • Deixar cair um prego num copo de água • Calcular a área de quadrado de lado 9 cm • Lançamento de uma moeda • Lançamento de um dado • Totoloto • Estado do tempo para a semana • Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar À partida já conhecemos o resultado À partida não sabemos o resultado

9. Probabilidades 9º Ano Importância do estudo da Teoria das Probabilidades A Teoria da Probabilidade prende-se com o estudo de modelos matemáticos especiais, a que chamamos modelos probabilísticos, para descrever fenómenos aleatórios.

10. Atividade 3: Para cada uma das situações seguintes indica o cartão que associavas à frase: A próxima semana tem oito dias O António estudou a matéria e vai tirar Muito Bom no teste. O Pedro jogou na lotaria e vai ganhar um prémio. Este ano tem 52 semanas. Ao domingo há jogos de futebol.

11. Atividade 4: Jogo do dado Considera a experiência que consiste em lançar o dado uma vez e anotar o número de pontos da face voltada para cima. Quantos são os casos possíveis? Escreve todos os casos possíveis. Quantos são os casos favoráveis ao acontecimento: A: Sair número par B: Sair um quadrado perfeito III. Define e classifica os seguintes acontecimentos: A: Sair divisor de 10 B: Sair um número par e primo C: Sair o número 7 D: Sair um número menor do que 7.

12. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos Espaço de Resultados Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol Espaço de resultados = E = {Vitória, Empate, Derrota } EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

13. Probabilidades 9º Ano Termos e conceitos EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa Espaço de resultados = E = { R, T, D, P } Acontecimento IMPOSSÍVEL PROVÁVEL CERTO “ Sair a letra X ” “ Sair a letra T ” “ Sair uma consoante ”

14. Probabilidades 9º Ano EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento Acontecimento ELEMENTAR CERTO COMPOSTO IMPOSSÍVEL A: “ Sair o nº 3 ” B: “ Sair um nº ímpar ” C: “ Sair um nº menor que 7 ” D: “ Sair o nº 8 ” A={ 3 } B={ 1, 3, 5 } C={1,2,3,4,5,6 } D={ } Só tem um elemento Tem mais do que um elemento Coincide com o espaço de resultados

15. Probabilidades 9º Ano PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO Lei de LAPLACE A primeira definição de probabilidade (definição clássica de probabilidade) foi enunciada pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827) e publicada num tratado, em 1812, designado por "Théorieanalytiquedesprobabilités" (Teoria Analítica das Probabilidades) e que unificou na altura todos os seus trabalhos sobre probabilidades. 1749 - 1827

16. Atividade 5: Antes de jogares, responde às seguintes questões: Quem pensas que vai ganhar, o A ou o B? Têm ambos as mesmas hipóteses de ganhar? Qual a probabilidade de sair face com número primo?

17. Probabilidades 9º Ano Lei de LAPLACE EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado O dado tem 6 faces: E = { 1,2,3,4,5,6 } Qual é a probabilidade de sair face com número primo? Nº casos favoráveis = 3 Nº casos possíveis = 6

18. Probabilidades 9º Ano Cálculo de Probabilidades Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos: 1) A: “ Sair o número 3 “ 2) B: “ Sair um número maior que 3 “ A probabilidade de um acontecimento pode ser representada sob a forma de fracção, dízimaou de percentagem.

19. Probabilidades 9º Ano Propriedades das probabilidades A probabilidade de um acontecimento impossível é 0. A probabilidade de um acontecimento certo é 1. A probabilidade de um acontecimento varia sempre entre 0 e 1. Acontecimento Certo Acontecimento Impossível Acontecimento possível mas não certo

20. Probabilidades 9º Ano Propriedades das probabilidades Acontecimentos que não podem ocorrer em simultâneo. Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75 vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade, numa extração, sair bola amarela ou verde?

21. Probabilidades 9º Ano Propriedades das probabilidades Acontecimento contrário. Acontecimento complementar Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75 vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade, numa extração, não sair bola vermelha?

22. Probabilidades 9º Ano Problemas de contagem – Tabelas de Dupla entrada EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados Quantos são os casos possíveis? Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 3?

23. 9º Ano • Entrada: • Sopa • Canja Prato: • Arroz de frango • Bife grelhado • Lampreia • Sobremesa: • Fruta da época • Pudim Problemas de contagem– Diagramas de árvores EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa? Entrada Refeição Prato Sobremesa ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P ( S,B,F ) F S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B 12 refeições diferentes! P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P )

24. 9º Ano Cálculo de Probabilidades Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta?

25. 9º Ano Cálculo de Probabilidades Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta? Resposta: Entrada Prato Sobremesa Refeição ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P F ( S,B,F ) S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P )

26. Probabilidades 9º Ano Processo de Contagem – Diagrama de Venn • Numa turma de 25 alunos fez-se um inquérito e após a análise dos seus desportos favoritos, registaram-se as seguintes conclusões: • -16 alunos sabem jogar ténis; • -12 alunos sabem jogar xadrez; • 3 não sabem jogar ténis nem xadrez. 25 - 3 = 22 16 + 12 = 28 Ténis Xadrez Meio: 28 - 22 = 6 10 6 Só Ténis: 16 - 6 = 10 6 Só Xadrez: 12 - 6 = 6 3

27. Probabilidades 9º Ano Xadrez Ténis Escolhendo um aluno ao acaso qual é a probabilidade de saber: a) jogar ténis e xadrez? 10 6 6 6 P = 3 25 b) jogar só ténis? 10 2 P = = 25 5 c) jogar ténis? 16 P = 25

28. Experiência 1 Experiência 2 Experiência 3 Frequência Relativa e Probabilidade O João realizou 3 experiências ao lançar uma moeda ao ar: 100 vezes na 1ª experiência, 300 vezes na segunda e 500 vezes na terceira experiência. À medida que o número de lançamentos aumenta, compara a frequência relativa de cada acontecimento com a sua probabilidade. Que observas?

29. Frequência relativa e probabilidade