Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május , 2002

Hőeloszlás háromszögelt síkrészekenMájus, 2002 BálintMiklós (miklosb@student.ethz.ch) Vilmos Zsombori (v.zsombori@gold.ac.uk)

Áttekintés • a témakör meghatározása • síkbeli NURBS görbék • véges elem módszer • Delaunay háromszögelés • következtetések

CAD rendszer Felosztás Anyag def. FEM BEM FDM Vizualizáció Eredmény Fizikai szimulációk • Test • Forma • Anyag és más jellemzők • Jelenség • Átmeneti • Egyensúly • Model • Megoldás • Analítikus • Numerikus

FEM – egyenlet, módszer • egyenlet: • módszer: véges elemek (FEM) • átalakítjuk integrálegyenletté • alkalmazzuk a Green formulát - > redukálja a deriváltak rendjét • diszkretizáljuk a teret - > háromszögelés, bázisfüggvények számolása • integrálunk a háromszögeken - > számoljuk a merev mátrixokat (element stiffness matrices) • összerakjuk a rendszert • alkalmazzuk a határfeltételeket

FEM – a mi esetünk • integrálegyenlet: • Green formula után: • a tartományt felosztjuk háromszögekre:

FEM – elemek • háromszög - koordináta rendszer, bázisfüggvények • integrálás, merev mátrix

FEM – összerakás, határfeltétel • összerakás - > ritka mátrix • határfeltételek - > redukálódik az egyenletrendszer rendje • megoldás: • direkt - „pontos”, „lassú” • iteratív – „közelítő”, „gyorsabb”

FEM – eredmény • és végül az eredmény: Kx=10E-10; Ky=10E+10 Kx=10E+10; Ky=10E-10

NURBok – görbék • síktartományok - > görbék határolják • görbék - > függvények: • explicit • implicit • parametrikus • cél: egy olyan görbe, amely • „mímel” minden formát, • flexibilis kezelhetőséget nyújt, • lehet kontrolálni a folytonosságát ill. görbületét, • formája nem változik meg, ha elemi grafikai műveleteknek tesszük ki, • „gyorsan” evaluálódik.

NURBok – jellemzők • NURB görbék: (non uniform rational B-splines) • meghatározzák: • az alakját – kontrol pontok (bi ) • a folytonosságát – knot-ok (xi ) • a görbületét – egy pozitív egész szám - > a görbe rendje (k) • tulajdonságok: • polinomiális – bármely pontot a görbéről k darab k-1-ed fokú polinom kiértékelésével kapunk • rational vagyis racionális – minden kontrol ponthoz hozzá van rendelve egy súly, amely szerint e pont befolyásolja a görbének a rá eső részét • a kontrol pontok befolyása a görbére lokális • non uniform vagyis nem egyenletes – ez a knot vektorra vonatkozik; így a görbét át tudjuk vezetni bizonyos pontokon, ill. a görbén „sarkakat” létrehozni

NURBok – bázisfüggvények • bázisfüggvények: • kiértékelés: ; egyenlet: • kontrolpontok lokalitása:

NURBok – egyenletes<-> nem-egyenletes • egyenletes kvadrikus bázisfüggvények: • nem-egyenletes kvadrikus bázisfüggvények:

Felosztás • Háromszögelés • Feltételek • Alak - minimál szög minél nagyobb: konvergencia • Nagyság: egyenesen befolyásolja a hibát • Számosság: megoldás sebessége • Cél • Jó alakú háromszögek • Kontrolálható számosság • Kontrolálható eloszlás

Felosztás • Delaunay háromszögelés • bemenet: ponthamaz • minden háromszög köré írt kör “üres” • legnagyobb minimál szög • algoritmus • alaplművelet: flip • inkremetális

Felosztás • kötött Delaunay háromszögelés • bemenet: egyenes élű sík gráf (PSLG) • módositott “üres” kör • bemenet élek részei a háromszögelésnek • algoritmus • Divide-et-impera • minden élnek megfelel egy jól meghatározott Delaunay csúcs • csak a tartomány belsejét dolgozzuk fel

Felosztás • Általános Delaunay finomítás • Steiner pontok • birtokolt bemenet él - > élosztás • kisszögű háromszög - > háromszögosztás • minimál szög garantált (felhasználó) • Sajátos igények • Bizonyos területen kisebb háromszögek • határon: tompaszög • belsőben: közeli pontok

Következtetések • Közelítési hibák • térbeli diszkretizálás: háromszögelés • lineáris interpoláció • Továbbfejlesztések • pontosság - > kvadrikus/kubikus elem bázisokkal (6x6/10x10 merev mátrixok, Gauss kvadratúrák) - > csökken a sebesség • időfüggő egyenlet • u.a. a mesh generátor, solver + időbeli diszkretizáció (FDM) • más egyenlet • u.a. a mesh generátor, továbfejlesztett solver • 3-Dimenzió • uj mesh generátor, kevés módosítás a solver-ben • sebesség • párhuzamosítás multigrid használatával

Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május , 2002