3. MATRIKS

1. 3. MATRIKS

2. 3.1 Matriks Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

3. Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,

4. Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j. Umumnya suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks dapat juga ditulis sebagai A = [aij ]. Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks.

5. 3.2 MatriksBentukKhusus Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu, 3.2.1 VektorKolom Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom). 12 40 32 25

6. 3.2.2 VektorBaris Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ] 3.2.3 MatriksPersegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom).

7. 3.2.4 MatriksSegitiga Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, aij = 0. Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga atas atau untuk setiap i> j, aij = 0

8. 3.2.5 Matriks Diagonal Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk s etiap i ≠ j, aij=0.

9. 3.2.6 MatriksSkalar Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn 3.2.7 MatriksIdentitas Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1.

10. 3.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0. 3.2.9 MatriksTranspose Contoh3.1 Jika A = , maka AT = 3.2.10 MatriksSimetridanSkew-Simetri Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = AT ) maka matriks tersebut adalah matriks simetri. Contoh3.2 , maka AT = Jika A =

11. Karena A = AT, maka A adalahmatrikssimetri. Sedangkanmatriksskew- simetriadalahmatriks yang memenuhi –A = AT. Contoh3.3 Misal A = , –A = ,maka AT = Karena –A = AT , maka A adalah matriks skew-simetri.

12. 3.2.11 Matriks 0/1 (zero-one matrix) Matriks 0/1 adalahmatriks yang elemen-elemennyaterdiri dari 0 atau 1. Berikutadalahcontohmatriks 0/1

13. 3.3 OperasiAritmatikapadaMatriks Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks. 3.3.1 Penjumlahan Misal terdapat matriks A = [aij ] dan B = [bij] yang masing-masing berukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama. Contoh3.4 Misal A = B =

14. Maka A + B = C 3.3.2 PerkalianSkalardenganMatriks Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.aij], atau dapat ditulis dalam bentuk: cA = c

15. Contoh3.5 Jika A = maka 3A = 3.3.3 PerkalianMatriksdenganMatriks Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sama. Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, ditulis AB, adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran m x p.

16. Nilai dari cij adalah, Contoh3.6 A = Diketahui B = Jika terdapat matriks C = A.B, maka C =

17. 3.3.4 Operasi Join (⋁ ), Meet (∧ ), danPerkalian Boolean (☉ ) darimatriks 0/1 (zero-one matrix) Misal A = [aij ] dan B = [bij ] , Maka A⋁ B (dibaca “join A dan B”) = [aij⋁ bij] A ∧ B ( dibaca “meet A dan B”) = [aij∧ bij] A☉B (dibaca “perkalian Boolean A danB”) = [cij] =(ai1 ⋀ b1j) ⋁ ( ai2 ⋀ b2j) ⋁… ⋁ ( aik⋀ bkj) Contoh3.7 TentukanA⋁ B dan A ∧ B darimatriksberikut!

18. Penyelesaian:

19. Contoh 3.8 TentukanA☉B darimatriksberikut! Penyelesaian