FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. FUNCIONES,LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 8 Apuntes 1º Bachillerato CT

2. CÁLCULO DE LÍMITES Tema 8.7bis2 * 1º BCT Apuntes 1º Bachillerato CT

3. Límites con radicales • Al hallar el limite en un punto ya hemos visto que a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0]. • Sin embargo en ocasiones no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. • El método que procede en esos casos es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contenga los radicales, a semejanza de cuando tenemos que racionalizar denominadores. • Y por último se factorizan los polinomios que se obtenga. • Ejemplo 1 √x – 1 (√x – 1).(√x + 1) (x – 1) 1 • lím ‑‑‑‑‑‑‑----- = lim --------------------- = lím -------------------- = ---- • x1 x – 1 x1 (x – 1).(√x +1) x1 (x – 1).(√x +1) 2 Apuntes 1º Bachillerato CT

4. Ejemplo 2 √ (x – 2) – 1 √ (3 – 2) – 1 1 – 1 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = --------------------- = ----------- = [-----] • x3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 • Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√ (x – 2) – 1).(√ (x – 2) + 1) x – 2 – 1 • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------------------------- = lím ---------------------------- = • x3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) x  3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) (x – 3) 1 • = lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------- = -------------------- = 1 / 2 • x3 (x – 3).(√ (x – 2) + 1) √ (3 – 2) + 1 Apuntes 1º Bachillerato CT

5. Ejemplo 3 √x – 2 √4 – 2 2 – 2 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------ = --------------- = ---------- = [-----] • x4 √(x – 3) – 1 √(4 – 3) – 1 1 – 1 0 • Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (√x – 2).(√x + 2). (√ (x – 3) + 1) • lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------------------------------- = • x4 (√x + 2). (√ (x – 3) – 1). (√ (x – 3) + 1) (x – 4). (√ (x – 3) + 1) √ (4 – 3) + 1 1+1 • lím ‑‑‑‑‑‑‑---------------------- = ------------------- = ------ = 2 / 4 = 1 / 2 • x4 (√x + 2). (x – 4) √4 + 2 2+2 Apuntes 1º Bachillerato CT

6. Límites por cambio de variable • Al hallar el limite en un punto, a veces nos resultan indeterminaciones de la forma [0/0], pero no podemos factorizar numerador y denominador al no ser éstos polinomios. • Procede realizar un cambio de variable: • n • Si en la función hay un radical del tipo √x , el cambio de variable será: • x = tn • n • Si en la función hay un radical del tipo √(x – a) , el cambio de variable será: • x – a = tn • n m • Si en la función hay un radical del tipo √x y √x , el cambio de variable será: • x = tMCM(n,m) • Y tras el cambio de variable se factorizan los polinomios que se obtenga. Apuntes 1º Bachillerato CT

7. Ejemplo 1 √(x-2) - 1 √3-2) – 1 1 – 1 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = --------------------- = ----------- = [-----] • x3 x – 3 3 – 3 3 – 3 0 • Cambio de variable: x – 2 = t2  x = t2+ 2 • √(t2+ 2 -2) - 1 √ t2– 1 t – 1 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑--------------- = lím --------------- = lim ------------- = [-----] • t1 t2+ 2 – 3 t  1 t2– 1 t1 t2– 1 0 • t – 1 1 1 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = ------ = 1/2 = 0,5 • t1 ( t + 1 ).( t – 1 ) t1 t + 1 1+1 Apuntes 1º Bachillerato CT

8. Ejemplo 2 • 3 • √x – √x 1 – 1 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----------- = [-----] • x1 4 • 1 - √x 1 – 1 0 • Cambio de variable: x = t12, pues 12 = mcm (2,3 y 4). • 3 • √ t12 – √ t12 t4 – t6 0 • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ----------- = [-------] que ahora se puede • t1 4 t1 1 - t3 0 factorizar. • 1 - √ t12 • – t4 (t2 – 1) – t4 (t – 1)(t + 1) t4 (t + 1) 1.(1+1) • lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------------ = ------------------ = ---------- = • t1 – (t3 – 1) – (t– 1) .(t2 + t + 1) (t2 + t + 1) 1+1+1 • = 2 / 3 Apuntes 1º Bachillerato CT

9. Indeterminada [1oo] • Sabemos que 1k = 1 siempre. • Sabemos que koo = oo siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1oo , no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [1oo ] • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser eλ , con lo cual sólo queda calcular λ • λ = Lím ( base – 1 ). exponente • xa • Y el límite sería, si le hay : L = eλ Apuntes 1º Bachillerato CT

10. El número e • Sea la sucesión • n • 1 • 1 + ---- , donde n es un número natural • n • Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 • Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25 • Para n = 3 , el término de la sucesión vale: (1+0,3333)3 = 2,37 • Para n = 4 , el término de la sucesión vale: (1+0,25)4 = 2,4414 • ………. • Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048 • …….. • Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169 • …….. • Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. Apuntes 1º Bachillerato CT

11. El número e • Sea la sucesión • n • 1 • 1 + ---- , donde n es un número natural • n • Si hallamos su limite en el infinito: • 1 n oo λ 1 n • L = lím ( 1 + --- ) = 1 = e , donde λ = lím (1 + ---- – 1).n = --- = 1 • noo n n  oo n n • λ 1 • Luego L = e = e = e Apuntes 1º Bachillerato CT

12. El número e en las funciones Apuntes 1º Bachillerato CT

13. Ejemplos 1-2-3 (Siempre xoo y sólo si [1oo]) Apuntes 1º Bachillerato CT

14. Ejemplos 4-5-6 (Siempre xoo y sólo si [1oo]) Apuntes 1º Bachillerato CT

15. Otra forma de cálculo • Ejemplo 7: • 3 / (x-1) 3 / 0 • x + 1 2 λ • lím ------‑‑ = ‑--- = [1oo ] = Indeterminación = e • x1 2 2 • λ = lím (base – 1 ). Exp • x + 1 3 (x + 1 - 2).3 (x-1).3 • λ = lím ( --------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------------- = --------- = 3/2 • x1 2 x - 1 2 ( x - 1) (x -1).2 • 3/2 • L = e Apuntes 1º Bachillerato CT

16. Ejemplo 8: • (x2-1) /x [oo / oo] • x + 1 oo λ • lím ------‑‑ = ----- = … = [1oo ] = Indet = e • xoo x oo • λ = lím (base – 1 ). exp • x + 1 (x2-1) x2 - 1 oo • λ = lím ( -------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ------------- = [------ ] = … = 1 • xoo x x x2 oo • 1 • L = e = e Hay que resolver las indet. [oo/oo]. Apuntes 1º Bachillerato CT