1 / 23

On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer

On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer. Abstract. 目標. ポートフォリオの Value-at-Risk 最小化問題を解きたいな♪. nonconvex ！ （難しい ‥ ）. 解決策１. LPEC （相補性制約を持つ LP ）に変換. VaR の上界値、下界値を導出. Branch-and-Bound して大域的最適解 ♪. 解決策２. Smoothing して近似解 ♪. VaR と CVaR とは ‥ ？.

sanura
Télécharger la présentation

On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. On the global Minimization of the Value at RiskJong-shi PangSven Leyffer

  2. Abstract 目標 ポートフォリオのValue-at-Risk 最小化問題を解きたいな♪ nonconvex！ （難しい‥） 解決策１ LPEC（相補性制約を持つLP）に変換 VaRの上界値、下界値を導出 Branch-and-Boundして大域的最適解♪ 解決策２ Smoothingして近似解♪

  3. VaRとCVaRとは‥？ VaR　　：信頼水準から見た損失のリスク基準値 CVaR:リスク損失の期待値 信頼水準（β）=0.9だとすると‥、 損失額の 密度関数 10% CVaR VaR 損失小 損失大 VaR最小化

  4. VaRとCVaRの定式化 ：金融商品の損失ベクトル（r.v.） ：利用可能な金融商品の集合 ：投資ベクトル（d.v.） ：投資　 のときの総損失（r.v.） ：許容可能な損失の信頼水準 ：　　　　　　　を達成する　　の集合

  5. VaR最小化とCVaR最小化 • CVaR最小化問題は以下の凸計画問題に帰着できる（ことが知られている）。 • その一方でVaR最小化は凸計画問題ではない‥。　　 VaRの 欠点 この論文の目標：

  6. 損失ベクトルを離散化 • ここからは、　　をcompact polyhedronとし、損失ベクトル　　はシナリオに（離散化）する。 ：　　の有限なシナリオの集合 ：　　のシナリオ確率 確率 密度関数 シナリオ

  7. は以下のLPの最適値となる。 (Primal) (Dual)

  8. 相補性定理 （Ｄ） （Ｐ） 主問題と双対問題のそれぞれの許容解　 と　 が ともに最適解であるための必要十分条件は、 かつ が成立することである。（田村・村松 『最適化法』）

  9. VaR最小化問題（LPEC） 相補性定理を用いて、VaR最小化問題は以下の LPEC（相補性制約を持つLP）に帰着できる！ を達成する どっちかが必ず０！

  10. 上界値（１）：LPによる上界値(index set) LPECの相補性条件（どっちかが０）を 『左が０』 or 『右が０』 に強める。 idea 得られている許容解　　　　　　の相補性条件の 満たし方で以下のindex setを定義する。 （例えば、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） に関して‥ index set ｛　｜左が正、右が０｝ ｛　｜左も右も０｝ ｛　｜左が０、右が正｝ 適当に 分割

  11. 上界値（１）：LPによる上界値(定式化1) LPECの相補性条件（どっちかが０）を 『左が０』 or 『右が０』 に強める。 idea よーく見ると、　 は他の解に 無関係。省いてしまおう！

  12. 上界値（１）：LPによる上界値(定式化2) 　　初期解　　　　　　を用いてindex setを構成した 上式を解き、新たな解　　　　　　　　を得る。 として以下が成り立つ。 ＝最適解

  13. 上界値（１）：LPによる上界値(まとめ) ２通りのケース １． （上界値の改善無し） ｛　｜左も右も０｝の分割の仕方を変えてリトライ！ 退化が役に立つ 極めて稀なケース ２． （strictな改善） 初期解を　　　　　　 に置き換えて繰り返し！ ただの理論的興味‥ Theorem 3.1 　　　　　　　　　 もし、strictな改善が常に得られるなら、 有限回のstepで最適VaRにたどり着く。

  14. 上界値（２）：ＮＬＰによる上界値 idea LPECと等価なNLP をソルバーで解く！ 非凸な問題だが、最近のNLP ソルバーは結構いいセンいく？ ⊥ ⊥ 相補性条件と 等価な非線形制約

  15. 下界値（１ ２）：convex hull緩和(非線形項) 相補性条件： を　　　　　　　　について足し合わせて、 唯一の非線形項（´ヘ｀；）

  16. 下界値（２）：convex hull緩和(見た目) 唯一の非線形項　　　　　　　　　　 は双線形変数！ を で置き換えて以下の制約で挟もう！ のconcave envelope のconvex envelope

  17. 下界値（２）：convex hull緩和(式で) の上（下）界値：　１（０）　　←当然 の上（下）界値： ←例えばLP 　　を計算 を用いて、　　　　　　のconvex hullは 以下の式で表せる（と知られている）。

  18. 下界値（２）：convex hull緩和(LP定式化) 相補性条件を 省いたもの 緩和された 相補性条件 さっきの 制約式

  19. Branch and Bound 相補性アリ　→　最適解 　　　　 ナシ　→分枝操作へ LPEC（相補性）の 緩和問題を解く。 緩和問題である子問題を解いていく。 LPECの許容解を見つける。　→最適解 子問題が実行不可能。　　　　 →実行不可能 上界値（暫定値）に越される。 →枝をCut！ 計算実験（シナリオ３０コ！？） LP、NLPによる上界値が（大域的）最適解 で あることがBranch and Boundで証明できた！

  20. 解決策２：Smoothingして近似解 プラス関数「　　」をsmooth functionで近似する。 smooth function 傾きが緩い 2階微分可能で 狭義凸関数 ある定数　　　　において、 十分小さな全ての　　　　で の近似 が成立。 多分‥ 例） o

  21. Smoothingの利点　　　　　　　　 は　　　　　　　　 の唯一の最適解！ 　　　　　　　　が以下のsmooth equationを満たす 唯一の　　となる！ で微分 して、＝０ 近似VaR最小化問題（　　　　　　　　　）は非凸だが、 1変数　 のsmoothなNLP！ 様々な効率的アルゴリズムが使用可

  22. Smoothingの結果 Proposition 6.2 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　が一点集合　　　　　 で あるような最適解　　　　が存在すれば、 が成り立つ。 理論的には美しいが、大きな欠点が‥。 近似VaR最小化問題の大域的最適解を NLPソルバーが計算できない！ 現実的には使えない‥。

  23. 結論 • VaR最小化問題を非凸なLPECとして定式化し、解の大域的最適性を証明するためのBranch and Boundを考案した。 • 近似VaRを計算するSmoothing操作の収束性を示した。 • MPECにおいて、現在あるlocal methodとBranch and Boundを組み合わせて、大域的最適解を得るのに機は熟した（勝利宣言？）。 VaR最小化以外の一般的な LPECにも拡張可能！

More Related