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Sistema Progol

Sistema Progol. TÉCNICAS E HEURÍSTICAS. Progol – Tópicos. Definição do sistema;. Declarações de Modo;. Construção da cláusula mais específica;. Algoritmo de Covering do Progol;. Algoritmo A* de construção de cláusula;. Exemplo de construção de cláusula;. Definição do Sistema.

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  1. Sistema Progol TÉCNICAS E HEURÍSTICAS

  2. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

  3. Definição do Sistema • O Progol é um interpretador Prolog com provador limitado por profundidade. (depth bound); • O Progol possui um mecanismo de inversão da conseqüência lógica, que o torna capaz de aprender e/ou refinar teorias de forma indutiva (através de exemplos);

  4. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

  5. Declarações de Modo • São uma forma de definir (restringir) as relações entre diversos literais nas cláusulas geradas, como : • Os literais que podem aparecer no corpo e na cabeça; • O tipo de cada termo em um predicado; • A definição de termos de entrada e saída em um predicado; • O número máximo de literais com os quais um predicado pode se relacionar;

  6. Declarações de ModoRestringindo literais do corpo e cabeça • Modeb • As declarações modeb definem quais os literais que podem aparecer no corpo de uma regra; Ex.: modeb(*, long(+car)) • Modeh • As declarações modeh definem quais os literais que podem aparecer na cabeça de uma regra; Ex.: modeh(*, eastbound(+train))

  7. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Definição de Tipos : • As declarações modeb e modeh necessitam da definição de um tipo para cada termo do literal sendo definido. modeh(*,eastbound(+train)), modeb(*,long(+car)) Não é permitido : eastbound(A)<- long(A)

  8. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Definição de Tipos : • Para cada tipo definido, nós devemos definir também o seu domínio. Ex. modeb(shape(+car, #shape)) Domínio car : • car(car_11), car(car_12), car(car_22). Domínio shape : • shape(elipse), shape(hexagon), shape(u_shaped).

  9. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Termos de Entrada e Saída : • Definição do predicado como uma função com parâmetros de entrada (termos de entrada) e parâmetros de saída (termos de saída); Existem três tipos de marcadores: +tipo(entrada), –tipo (saída) e #tipo (constante); modeb(*, open(+car)), modeb(*, has_car(+train, -car)) modeb(*, shape(+car, #shape))

  10. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Cadeia de variáveis : • Uma cláusula C é um encadeamento de variáveis(variable-chaining) se e somente se ela contém uma cadeia de variáveis v1, ..., vn, tal que v1, vn são, respectivamente, termos de entrada e saída na cabeça de C e cada par vi,vi+1, 1 i < n, são respectivamente termos de entrada e saída em um literal do corpo de C. • Uma cláusula C é E/S completa(I/O complete) se e somente se para cada termo de saída u da cabeça de C, existe uma cadeia de variáveis v1,..,vn, onde vn = u.

  11. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis Considere o seguinte exemplo: modeh(*, mult(+real, +real,-real)), modeb(*, dec(+real,-real)) modeb(*, plus(+real, +real,-real)) C = mult(E,F,G)  dec(E, H), mult(F, H, I), plus(F,I,G). C = mult(E,F,G)  dec(E, H), mult(F, H, I), plus(F,I,G). C = mult(E,F,G)  dec(E, H), mult(F, H, I), plus(F,I,G). C = mult(E,F,G)  dec(E, H), mult(F, H, I), plus(F,I,G). C é um encadeamento de variáveis pois contém a cadeia de variáveis E,H,I,G. C é E/S completa pois existe uma cadeia de variáveis para G em C. .

  12. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Restrição do Progol : • Uma variável só pode ser utilizada como termo de entrada em um literal se ela for uma variável global (da cabeça, quantificada universalmente) ou uma variável de trabalho retornada anteriormente na regra como resposta (quantificada existencialmente). eastbound(A)<-has_car(A,B), not open(B), not long(B) eastbound(A)<-not open(B), has_car(A,B), not long(B)

  13. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Literais determinados : • São literais que “fornecem somente uma resposta” para uma determinada configuração de parâmetros de entrada. dec(5,4), inc(5, 6), infront_of(car_11, car_12). has_car(train1, car_11), has_car(train1, car_12)

  14. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • Profundidade de uma variável : • Seja A L1,..Ln uma cláusula ordenada • A profundidade de uma variável v é definida como : • prof(v) = 0, se v ocorre em A • prof(v)=prof(x)+1, onde v, x ocorre em Li e x é a variável de maior profundidade em Li. Se nenhuma das outras variáveis de Li tem a profundidade já definida então prof(v) = 

  15. Declarações de ModoRestringindo utilização de variáveis • No Progol, nós podemos afirmar que a profundidade exprime o menor caminho entre uma variável de trabalho (quantificada existencialmente) e uma variável global (quantificada universalmente, da cabeça). • eastbound(A)<-has_car(A,B), has_car(A,C), long(B), short(C), infront_of(B,C). Prof(A) = 0 Prof(B) = 1 Prof(C) = 1

  16. Declarações de ModoRestringindo o número o de relações entre predicados • Parâmetro de Recall : • A declaração modeb (e/ou modeh) para um literal p permitem definir o número máximo de possíveis instanciações para os termos de saída de p. modeb(2, squareroot(+real, -real)), modeb(1, dec(+int,-int)) modeb(*, has_car(+train,-car))

  17. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

  18. Algoritmo da Bottom Clause • Entrada : h, i naturais, B conhecimento preliminar, e uma instância e M um conjunto de declarações de modo. •   Seja m uma declaração de modo. a(m) representa o átomo formado pela troca de cada marcador por uma variável distinta. • Ex.: a(modeb(*, open(+car))) = open(B) • Seja hash : Termos  + uma função que mapeia termos em números naturais. • Seja k = 0, i = <>, TermosInt =

  19. Algoritmo da Bottom Clause • Se não existe nenhum modeh em M tal que a(m) e então retorne . • 2. Caso contrário, seja m a primeira declaração de modo tal que a(m) e com substituição h. Seja ah uma cópia de a(m). Para cada v/t em h, se v corresponde a um marcador #tipo em m troque v em ah por t, caso contrário troque v por vj onde j = hash(t). Adicione ah em i. Se v for um termo de entrada (+tipo), adicione t a TermosInt. • 3.Se k = i então retorne i caso contrário k = k + 1.

  20. Algoritmo da Bottom Clause 4.Para cada modeb mb seja {v1,..,vn} variáveis de entrada em a(mb). Seja T(mb) = T1 x .. x Tn o conjunto de tuplas de termos tal que cada Tj corresponde ao conjunto de todos os termos do mesmo tipo de vj em TermosInt. Para cada <t1,..,tn> seja ab uma cópia de a(mb) e  = {v1/t1,...,vn/tn}. Se Prolog com limite de profundidade h for bem-sucedido na consulta ab?, retornando o conjunto de respostas b então para cada b em b e v/t em b se v for constante (#tipo) então troque v em ab por t caso contrário troque v em ab por vj onde j = hash(t) e adicione ab em i. Se v for um termo de saída(-tipo), adicione t a TermosInt. 5.Vá para o passo 3. .

  21. Algoritmo da Bottom Clause eastbound(east2). (i = 2, h = 100) B = {has_car(east2,car_21), has_car(east2, car_22), has_car(east2, car_23), open(car_21), open(car_22), shape(car_21, u_shaped), shape(car_22, u_shaped), shape(car_23, rectangle)} i = {eastbound(A)  has_car(A,B), has_car(A,C), has_car(A,D), TermosInt = {east2, car_21, car_22, car_23} i = {eastbound(A)  has_car(A,B), has_car(A,C), has_car(A,D), open(B), open(C), not open(D), not long(B), not long(C), not long(D), shape(B, u_shaped), shape(C, u_shaped), shape(D, rectangle) } TermosInt = {east2, car_21, car_22, car_23} i = {eastbound(A)  has_car(A,B), has_car(A,C), has_car(A,D), open(B), open(C), not open(D), TermosInt = {east2, car_21, car_22, car_23} i = {eastbound(A)  has_car(A,B), has_car(A,C), has_car(A,D), open(B), open(C), TermosInt = {east2, car_21, car_22, car_23} i = {eastbound(A)  TermosInt = {east2 i = {eastbound(A)  has_car(A,B), has_car(A,C), has_car(A,D), open(B), open(C), not open(D), not long(B), not long(C), not long(D), TermosInt = {east2, car_21, car_22, car_23} .

  22. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

  23. Algoritmo de Covering do Progol • Se E =  então retorne B. • Seja e o primeiro exemplo de E. • Construa a cláusula i de e. • Construa a cláusula cl para i. • Seja B = B  cl • Seja E’= {e | e  E , B╞e} • E = E – E’ e retorna para 1.

  24. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

  25. Algoritmo A* de construção de cláusula • O algoritmo de construção de cláusula do Progol para um exemplo e busca encontrar a melhor cláusula cl tal que  cli, • O algoritmo inicia com uma cláusula vazia e através de um operador de refinamento (especialização) e uma heurística, pesquisa no espaço de cláusulas tais que  cli.

  26. Algoritmo A* de construção de cláusula • Definição da -subsumption : • Seja C e D duas cláusulas. C -subsume D ou C  D se e somente se CD. C = eastbound(A)has_car(A,B), long(B), has_car(A,C), open(C). D = eastbound(A)has_car(A,B), long(B), open(B), shape(B, triangle). = {A/A, B/B, C/B} C = eastbound(A)has_car(A,B), long(B), open(B) = {A/A, B/B, C/B} C = eastbound(A)has_car(A,B), long(B), open(B)  D. = {A/A, B/B, C/B}

  27. Algoritmo A* de construção de cláusula • Um operador de refinamento retorna para uma determinada cláusula C, um conjunto de especializações de C. • Ex.: C = eastbound(A)  (C) = {(eastbound(A)  has_car(A,B)), (eastbound(A)  has_car(A,B), not open(B)), ...}

  28. Algoritmo A* de construção de cláusula • O operador de refinamento (C) é construído para manter  cli : • Ele trabalha com estados do tipo <C,,k>, onde C é uma cláusula,  um conjunto de substituições tal que Ci e k (1  k  n, onde n = |i|) um índice indicando que os literais l1,..,lk foram considerados para estar em C.

  29. Algoritmo A* de construção de cláusula • Seja C uma cláusula e  uma substituição tal que Ci. <C´, ´, k´> está em (<C, , k>) se e somente se C´ = C  {l}, k´ = k, <l,´> (, k) e C´Li(M), ou C´ = C, k´ = k+1, ´ =  e k < n.

  30. Algoritmo A* de construção de cláusula • Uma variável v é dita splittable em um literal p se ela corresponde a um marcador +tipo ou –tipo em uma declaração modeh de p ou se corresponde a um marcador –tipo em uma definição modeb de p. Ex.: eastbound(A)  has_car(A,B), not open(B), not long(B), has_car(A,C), long(C), open(C).

  31. Algoritmo A* de construção de cláusula • Sejam l = p(v1,...,vm), lk = p(u1,...,um), o k-ésimo literal de i duas cláusulas,  e ’, ’, dois conjuntos de substituições • < l, ’>  (,k) se e somente se • l’=lk, • ’- = {(vj / uj) | uj é splittable em lk e vj não pertence a dom()}, • Para cada variável ujsplittable em lk, vj / uj  ’

  32. Algoritmo A* de construção de cláusula 1.Seja Abertos = {<,,1>} e Fechados =  2.Seja s = melhor(Abertos) e Abertos = Abertos-{s} 3.Seja Fechados = Fechados  {s}. 4.Se poda(s) vá até 6. 5.Seja Abertos = (Abertos (s)) - Fechados. 6. Se terminado(Fechados, Abertos) então retorne melhor(Fechado). 7. Se Abertos =  então imprima ´sem compressão´ e retorne <e, , 1> 8.Vá até 2.

  33. Algoritmo A* de construção de cláusula Verdadeiro se ns = 0 e fs > 0  poda(s) = Falso caso contrário Verdadeiro se s = melhor(S), ns = 0, fs > 0 e para cada s´  S´ fs  fs´  terminado(S,S´) = Falso caso contrário .

  34. Algoritmo A* de construção de cláusula ps = |{e : e  E | B  C  e╞h}| (# ex. corretos) ns = |{e : e  E | B  C  e╞h}| (# ex. incorretos) cs = |C|-1 (# tamanho da cláusula-1) Vs = {v : u / v  e u está no corpo de C} hs = min vVsd´(v) (# de átomos para completar a cláusula) fs = ps – (ns + cs + hs) (medida de performance da cláusula) melhor(S) é o estado s  S que tem o maior valor de f e cs c. .

  35. Algoritmo A* de construção de cláusula 0 se não existe variável –tipo na cabeça de i. 0 se v é uma variável –tipo na cabeça de i.  se v não está em i. (minuUvd´(u)+1) caso contrário. d´(v)= onde Uv são variáveis –tipo nos literais do corpo de C onde v é um termo de entrada. .

  36. Algoritmo A* de construção de cláusula Considere o seguinte exemplo: modeh(*, mult(+real, +real,-real)), modeb(*, dec(+real,-real)) modeb(*, plus(+real, +real,-real)) i = mult(A,B,C)  dec(A, D), dec(B, E), mult(B, D, F), mult(A, E, G), plus(A, G, C), plus(B, F, C). C = mult(A,B,C)  dec(A, D), mult(B, D, F). d’(A)=3, d’(B)=2, d’(D) = 2, d’(F) = 1 e d’(C) = 0 (h = 1) C = mult(A,B,C)  dec(A, D), d’(A)=3, d’(B)=3, d’(D) = 2 e d’(C) = 0 (h = 2) .

  37. Algoritmo A* de construção de cláusula • Este algoritmo é garantido de terminar e retorna a cláusula, se existir, que tem o melhor poder explanatório com o menor tamanho possível. No pior caso, o algoritmo irá considerar todas as cláusulas da ordenação subsumption. • Refinamentos de estados s são desconsiderados se fs > 0 e ns = 0, porque os refinamentos aumentam cs e tendem a diminuir ps, piorando o valor de fs. O algoritmo termina quando existe um estado já fechado com maior fs já encontrado até então e que não pode ser melhorado por refinamentos. Considera-se que nenhum outro estado s´ ainda aberto com fs fs´ pode ter refinamento melhor. .

  38. Progol – Tópicos • Definição do sistema; • Declarações de Modo; • Construção da cláusula mais específica; • Algoritmo de Covering do Progol; • Algoritmo A* de construção de cláusula; • Exemplo de construção de cláusula;

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