Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

1. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinace VY_32_INOVACE_M4r0108 Mgr. Jakub Němec

2. Kombinace • Kombinace je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných neuspořádaných k-tic lze sestavit z n prvků, které se v nich mohou vyskytnout nejvýše jednou, přičemž . • U této operace nám nezáleží na pořadí prvků. Uveďme si jednoduchý příklad: • Adam, Jirka a Tonda si chtějí potřást rukou. Je zřejmé, že je jedno, zda si Adam potřese rukou s Tondou, či Tonda s Adamem, proto na pořadí nezáleží. Kolik je možností, jak si potřesou pravicí? • AJ, AT, JT– tedy tři • Pokud by se k nim přidal ještě Marcel, bylo by možností více: AJ, AT, AM, TJ, TM, JM– tedy šest

3. Kombinace – definice a vzorec • Definice kombinace vychází z výše uvedeného, tedy: • k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. • k-členná kombinace z nprvků je k-prvková podmnožina množiny těmito n prvky určené. • V překladu: Kolik různých pětičlenných týmů lze vytvořit ze sedmi, osmi, deseti fotbalistů? • Počet všech k-členných variací z n prvků odpovídá vztahu: , kde a , jak již víme z problematiky věnující se faktoriálům. • Mezi variacemi a kombinacemi platí následující vztah:

4. Ve vedení firmy je pět mužů a tři ženy. Chtějí vytvořit užší vedení, v němž by byly čtyři osoby. Kolik mají možností bez ohledu na pohlaví osob? Kolik mají možností, aby vytvořili užší vedení se dvěma muži a dvěma ženami? Kolik mají možností, aby ve vedení byli pouze muži? Kolik mají možností, aby ve vedení byly všechny ženy? V prvním příkladu využijeme definice. Nezáleží na pohlaví osob, je jich tedy osm. Druhý příklad jej již obtížnější. Musíme si uvědomit, jaká situace nastává pro ženy a jaká pro muže. Nakonec počet obou skupin vynásobíme dle pravidla o kombinatorickém součinu. Třetí příklad je jednodušší v tom, že můžeme vynechat ženy, tedy máme pouze pět prvků. U čtvrtého příkladu je již nutné přihlédnout i ke druhé skupině, protože ženy jsou pouze tři, což by na čtyřčlenné vedení bylo málo.

5. Tento příklad je založen pouze na výpočtech dle definice kombinace. Zaměřte se především na změny počtu možností při změně prvků pouze o jeden více či méně. Jaká je reálná možnost, že v takovéto loterijní hře vyhrajete? Kolik možností existuje pro losování sázkové hry, v níž se z 49 čísel losuje šest čísel, která jsou vítězná? Jak se změní počet, když se bude losovat pouze pět čísel, nebo když se bude losovat sedm čísel?

6. Úkol závěrem • 1) V širším kádru hokejového týmu jsou tři brankáři, 11 obránců a 21 útočníků. Kolik možností k sestavení týmu má trenér, aby ve výběru byli dva brankáři, sedm obránců a 15 útočníků? • 2) Určete počet prvků n, když počet čtyřčlenných kombinací je dvacetkrát větší než počet dvoučlenných kombinací.

7. Zdroje • Literatura: • Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.