Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik

1. Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005

2. Gliederung • Einführung • Elliptische Funktionen • Die Weierstrass‘sche -Funktion

3. C Doppelt periodisch! Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Berechnung der Länge von Ellipsenbögen Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. Fagnano): Abel: Umkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit Offensichtlicher reeller Periode Verborgener komplexer Periode

4. Weierstrass (1862/1863): Vorlesung mit rein funktionentheoretischer Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen Ausgangspunkt: -Funktion (spezielle elliptische Funktion) Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten Genügt Differentialgleichung Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in und

5. Elliptische Funktionen Elliptische Funktionen

6. Im ω1+ω2 ω2 ω1 Re -ω1 -ω2 C C Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Eine Teilmenge L с heißt Gitter, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ ω1 und ω2 in gibt, so dass gilt:

7. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Bezeichnung: doppelt periodisch Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:

8. Im ω1+ω2 ω2 ω1 Re ω1 ω1+ω2 a a b b a b a b 0 ω2 b Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Der Periodentorus Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ codiert Geometrisches Modell:

9. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibt f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Dabei: Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1

10. Die Weierstrass‘sche -Funktion Die Weierstrass‘sche - -Funktion

11. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Ord(f) = 1 Ord(f)= 2 Zwei Pole 1.Ordnung Einen Pol 2. Ordnung Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt! Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!

12. Problem: Keine absolute Konvergenz! Beweis: Für z=0, L=Z+Zi, gilt für ω=m+ni: 1. Hilfssatz: Die Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Denkbarer Ansatz:

13. 3. Hilfssatz: Sei M с L\{0} eine Menge von Gitterpunkten. Die Reihe konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe konvergiert für s>2. Idee (Weierstrass): Einführung von konvergenzerzeugenden Summanden

14. Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion zum Gitter L Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Abbildung: Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre Ableitung

15. Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L • In ganz C meromorph • Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten • Außerhalb von L analytisch • Gerade, also • Laurententwicklung um z0=0: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung

16. Satz: Charakterisierung der -Funktion Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2 Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Ungerade:

17. Halbwerte der -Funktion: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Satz: Nullstellen von : Ein Punkt a Є C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L Nullstellen von :

18. Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral  Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“ Erinnerung: Laurentreihe der -Funktion Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:

19. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Induktion nach n liefert für n>1: Und damit:

20. Satz: Die Reihe konvergiert absolut, und es gilt: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Eisenstein-reihen

21. Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Ziel: Stelle als Polynom in dar Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung

22. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140G6 sein.

23. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion

24. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!