1 / 77

Las representaciones en Educación Matemática

Las representaciones en Educación Matemática. Vicenç Font Universitat de Barcelona. Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005. La investigación sobre las representaciones.

selima
Télécharger la présentation

Las representaciones en Educación Matemática

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Las representaciones en Educación Matemática Vicenç Font Universitat de Barcelona Universidad de Ganada, 24 de enero de 2005 V. Font. Granada 24-01-05

  2. La investigación sobre las representaciones • Desde la didáctica de lasmatemáticas se ha investigado mucho sobre las representaciones. Dos publicaciones a destacar son los libros: 1) JANVIER, C. (ed.)(1987), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum A.P. 2) HITT, F. (2002) Representations and Mathematics visualization. North American Chapter of PME: Cinveztav-IPN. • Estas investigaciones han puesto de manifiesto la gran complejidad asociada a las representaciones. V. Font. Granada 24-01-05

  3. EJEMPLO • Según Goldin y Janvier (1998) 'representación' y 'sistema de representación', en la didáctica de de las matemáticas tiene las siguientes interpretaciones: 1. Una situación física, externa y estructurada, o un conjunto de situaciones de un entorno físico, que se puede describir matemáticamente o se puede ver como concretización de ideas matemáticas; 2. Una materialización lingüística, o un sistema lingüístico mediante el que se plantea un problema o se discute un contenido matemático, con énfasis en lascaracterísticas sintácticas y en la estructura semántica. V. Font. Granada 24-01-05

  4. 3.Un constructo matemático formal, o un sistema de constructos, que puede representar situaciones mediante símbolos o mediante un sistema de símbolos, usualmente cumpliendo ciertos axiomas o conforme a definiciones precisas -incluyendo constructos matemáticos que pueden representar aspectos de otros constructos matemáticos. 4. Una configuración cognitiva interna, individual, o un sistema complejo de tales configuraciones, inferida a partir de la conducta o la introspección, que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas V. Font. Granada 24-01-05

  5. La noción de representación es ambigua ya que se usa con distintos significados. • Además, está estrechamente relacionada con las de significado, comprensión y en última instancia con el conocimiento V. Font. Granada 24-01-05

  6. La representación es un término que presenta muchos rostros. • La mirada sobre la representación tiene que ser poliédrica V. Font. Granada 24-01-05

  7. OBJETOSLa dimensión extensivo-intensivo • Vivimos entre objetos • Hablamos y pensamos acerca de objetos • El ejemplo obvio son los objetos físicos, pero también están todos los abstractos. • Constantemente nos empeñamos en descomponer de alguna manera la realidad en una multiplicidad de objetos identificables y discriminables a los que nos referimos mediante términos singulares y generales V. Font. Granada 24-01-05

  8. En esta aula podemos ver, entre otros los siguientes objetos: Esta mesa Una silla Mi reloj Etc. • Sobre estos OBJETOS actúa (sobre todo) la faceta extensivo / intensivo (ejemplar / tipo; singular/general; concreto / abstracto) V. Font. Granada 24-01-05

  9. Algo parecido se puede decir de otras formas • Un foucaultiano diría que ya han sido DICHOS DESDE ALGÚN DISCURSO. • Desde la filosofía de la ciencia se diría que TODA PERCEPCIÓN (OBSERVACIÓN) ESTÁ CARGADA DE TEORÍA. Todo juicio de percepción supone la aplicación de conceptos (la proposición A es B) • Desde la semiótica se les llama OBJETOS SEMIOTIZADOS O SEMIÓTICOS (Magariños) V. Font. Granada 24-01-05

  10. V. Font. Granada 24-01-05

  11. V. Font. Granada 24-01-05

  12. Signos versus objetos Conviene distinguir entre: • LOS OBJETOS y • LOS SIGNOS Es una distinción importante. Ahora bien es una diferencia coyuntural y no sustancial, ya que lo que en un momento es signo en otro puede pasar a ser objeto y viceversa. V. Font. Granada 24-01-05

  13. Los signos como acompañantes de los objetos Un objeto necesita un signo que lo enuncie (acompañe) Imaginemos que un bebé ha balbuceado algo parecido a “pan”. La madre interpreta que quiere “pan” y se lo proporciona al mismo tiempo que le dice “pan”. El bebé recibe dos estímulos que se refuerzan mutuamente: • Por una parte, la emergencia del objeto físico “pan” • Por otra parte, la palabra “pan” dicha por el mismo y por su madre. V. Font. Granada 24-01-05

  14. Diferencia entre signo y objeto • Primera fase: No diferenciación entre signo y objeto. (por ejemplo, los niños pequeños) • Segunda fase: Diferenciación entre signo y objeto Un signo, o representamen, es algo que está para alguien, por algo, en algún aspecto o disposición"2(Peirce). • Puesto que tanto el “signo” como el “objeto” son “algo”, hay que tener presente que ambos son objetos • Ser objeto o signo es algo relativo. V. Font. Granada 24-01-05

  15. Identificación/Diferenciación En la fase de “No diferenciación” el sujeto identifica (confunde) el signo con el objeto. En la fase de “Diferenciación” el sujeto está en condiciones, según convenga, de identificar o diferenciar el signo del objeto. "Estar en lugar de, es decir, situarse en una relación tal respecto a otro que, para ciertos fines, puede considerársele, en algún modo como si fuese ese otro“ (Peirce). V. Font. Granada 24-01-05

  16. “Algo” por “Algo”La dualidad Expresión/Contenido • La posibilidad de diferenciar entre signo y objeto permite que “alguien” pueda establecer una relación diádica (función semiótica) entre “dos objetos” (“Algo” por “Algo”) . • En esta relación (“Algo” por “Algo”) normalmente se considera que el signo es una “expresión” que se relaciona con un “contenido” (el objeto). V. Font. Granada 24-01-05

  17. V. Font. Granada 24-01-05

  18. ¿Cómo se relaciona el signo con el objeto? V. Font. Granada 24-01-05

  19. En este triángulo se considera que: • el objeto  (A) es el “referente”(significatum), • la palabra escrita (acústica) reloj (B) el “significante” (signo o símbolo) y • el concepto de reloj (C) el “significado”(referencia, interpretante). • La relación entre B y A es indirecta por medio del concepto (interpretante) que tiene el sujeto (el interprete). V. Font. Granada 24-01-05

  20. En este ejemplo, se toma como referente un objeto (reloj) que se puede considerar exterior al sujeto y perteneciente al mundo de las cosas reales. • Si consideramos un objeto matemático, topamos con el problema la “existencia” de dichos objetos. • Si consideramos que existe un concepto matemático A en algún mundo platónico, el concepto A sería el referente, B el significante matemático y C el concepto matemático individual del sujeto. V. Font. Granada 24-01-05

  21. Representaciones internas y externas • Normalmente se considera que tanto el concepto como el signo se entiende que son representaciones • Normalmente se considera que la palabra escrita “reloj” es una representación externa y que el concepto es una representación interna (mental). • En esta clasificación estamos considerando la representación como un objeto (material o mental). V. Font. Granada 24-01-05

  22. En los programas de investigación cognitivos en los que la clasificación interno/externo es un elemento clave, se considera: • Que lo externo representa lo interno. • Que las representaciones internas se pueden inferir a partir de la producción de representaciones externas ya que las primeras son la causa de las segundas. • Que un concepto matemático se ha aprendido en la medida en que se han desarrollado una variedad de representaciones internas apropiadas, junto con las relaciones funcionales entre ellas, que permitan producir representaciones externas adecuadas para la resolución de las tareas propuestas en las que dicho concepto sea determinante. V. Font. Granada 24-01-05

  23. Desde el punto de vista cognitivo se entiende la comprensión de los alumnos en términos de representaciones, en especial representaciones internas, ya que se considera que la comprensión está relacionada con la construcción estructurada e integrada de representaciones internas, las cuales son la causa que produce en el alumno un dominio de los sistemas de representación externos que le permite resolver las tareas escolares propuestas. • El proceso de instrucción debe tener como objetivo el desarrollo de representaciones internas adecuadas y bien conectadas en los estudiantes. V. Font. Granada 24-01-05

  24. El tema de investigación en la Didáctica de las Matemáticas ha de ser el conocimiento de estas representaciones internas (esquemas , imágenes, etc.) • Los puntos de vista cognitivos hacen una opción muy definida por los enfoques centrados en el individuo y por la utilización de elementos de análisis desarrollados por la psicología. • Definición e imagen conceptual (Vinner y Tall) • Teoría APOS (Dubinsky) • Etc. V. Font. Granada 24-01-05

  25. El problema de la clasificación entre representaciones internas y externas • “¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que <<representa>> a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente?” (Kaput, 1998). V. Font. Granada 24-01-05

  26. La versión fuerte de la representación • La dualidad interno/externo (realidad/mente) tiene su origen en una visión representacionista de la relación entre el sujeto y el mundo real. • El representacionismo parte de los siguientes supuestos: • Existe un mundo exterior predefinido. • Nuestra cognición aprehende este mundo, aunque sea en forma parcial; y • La manera de conocer este mundo predefinido es representarnos los rasgos más característicos y después actuar sobre la base de dichas representaciones. V. Font. Granada 24-01-05

  27. Si a estos supuestos añadimos el funcionamiento de la visión (que va de fuera a dentro) se llega a la conclusión de que: (1) Los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas Y SOBRE TODO (2) dichos objetos sólo son accesibles por medio de sus representaciones mentales. V. Font. Granada 24-01-05

  28. V. Font. Granada 24-01-05

  29. LAS REPRESENTACIONES COMO PROCESO que relaciona objetos entre “mundos” (¿uno o dos?) • Representacionistas (dinosaurios) versus antirepresentacionistas (mamíferos) • Versión fuerte de la representación versus versión débil de la representación • Representaciones verticales versus representaciones horizontales V. Font. Granada 24-01-05

  30. DOS MUNDOS • Estos diferentes clases de objetos que se han comentado se pueden dividir en dos mundos: 1) El de las experiencias posibles de las personas, y 2) El mundo objetivo hipotético donde hay que situar los objetos reales A su vez, el mundo de las experiencias del sujeto se puede dividir en dos submundos: la esfera de lo material y la de lo mental. V. Font. Granada 24-01-05

  31. V. Font. Granada 24-01-05

  32. Antirepresentacionistas • Optan por la versión débil de la representación: “(...) Considero la <<representación>> como la <<representación>> de una experiencia por otra(..)” (Kaput 1991) • No consideran que las representaciones internas sean la causa oculta de las representaciones externas. • Consideran que la manipulación de representaciones materiales va acompañada de “procesos psicológicos” y se produce en un contexo determinado. • No tiene sentido segregar las representaciones internas de las externas (supeditando las segundas a las primeras) ni tampoco segregarlas de la situación en que se producen. V. Font. Granada 24-01-05

  33. UNA SOLUCIÓN: LA DUALIDAD OSTENSIVO / NO OSTENSIVO Esta distinción se ha de tomar en sentido intersubjetivo: “Algo” se puede mostrar a otro directamente versus “Algo” no se puede mostrar directamente, solamente por medio de otro “algo”, que si se puede mostrar directamente. V. Font. Granada 24-01-05

  34. V. Font. Granada 24-01-05

  35. “¿Qué es una representación mental? ¿Qué se quiere decir cuando decimos que <<representa>> a algo? ¿Para quién? ¿Cómo? ¿Cuál es la diferencia entre la experiencia de una representación interna y la correspondiente a una representación externa? ¿Una representación externa es un sistema constituido social o personalmente?” (Kaput, 1998). V. Font. Granada 24-01-05

  36. LA FACETA INSTITUCIONAL-PERSONAL • En el proceso de instrucción estamos interesados en la enseñanza de objetos institucionales. Estos objetos se presentan en la actividad matemática por medio de sus ostensivos asociados. • Como resultado del proceso de instrucción los alumnos habrán construido sus objetos personales, los cuales se presentaran en su actividad matemática por medio de ostensivos asociados. • La faceta institucional-personal es básica para analizar las “Representaciones en Educación matemática” V. Font. Granada 24-01-05

  37. V. Font. Granada 24-01-05

  38. En la mayoría de investigaciones sobre las representaciones en Didáctica de las Matemáticas no se distingue entre los niveles 1 y 2, y se considera que: los objetos ostensivos (nivel 2) son las representaciones externas y también se considera que los niveles 3 y 4 son las representaciones internas. V. Font. Granada 24-01-05

  39. LA FACETA ELEMENTAL -SISTÉMICA • Resulta "ingenuo" el punto de vista que considera a las representaciones ostensivas de los conceptos matemáticos simplemente como diferentes significantes del mismo concepto. • Desde este punto de vista, la representación se entiende básicamente en términos de la faceta expresión/contenido, • Una correspondencia abstracta entre dos entidades que son puestas en alguna relación referencial una con otra, por un actor o un observador. "Pero deliberadamente no se presta atención al tipo de objetos que se ponen en correspondencia"(Kaput, 1998, p. 266). V. Font. Granada 24-01-05

  40. Basta mirar con una perspectiva histórica un objeto matemático cualquiera para ilustrar la complejidad de las relaciones que se establecen entre: • un objeto matemático, • sus ostensivos asociados, • las prácticas que permiten manipular estos ostensivos y • las situaciones en las que se usa el objeto (juntamente a sus ostensivos y prácticas asociadas) para organizar fenómenos. V. Font. Granada 24-01-05

  41. Un ejemplo: la cisoide • Tomemos como ejemplo la cisoide y la consideramos definida como lugar geométrico en el marco de la geometría sintética. • Dentro del programa de la geometría sintética se puede realizar la “conversión” entre el lenguaje verbal de la definición y el “lenguaje geométrico” de la figura. • Además se pueden realizar diferentes prácticas en las que interviene la “representación gráfica” (figura) de la cisoide. V. Font. Granada 24-01-05

  42. Sea C una circunferencia de radio a/2 y centro O, AB un diámetro de C y l la recta tangente a C en B. Para cada recta AM, M l, consideramos su intersección N con C y un segmento AP, PAM, de igual longitud que MN. El lugar geométrico de los puntos P así obtenidos es una curva llamada Cisoide de Diocles. V. Font. Granada 24-01-05

  43. Esta forma de representación (desde la perspectiva actual) de la cisoide permite obtener información significativa sobre esta curva: • 1)   Es simétrica respecto del eje de abscisas, • 2)   La recta x = a es una asíntota vertical , • 3)   Es algebraica, • 4)   Es de grado 3, • 5) En el origen de coordenadas presenta una singularidad de orden 2, • 6)   Es irreducible • 7)   Es racional V. Font. Granada 24-01-05

  44. Gráfica  Expresión simbólica • En la "Geometrie", Descartes se plantea hallar la expresión simbólica de una curva. • Los triángulosARP i ANS son semejantes; por tanto: . V. Font. Granada 24-01-05

  45. La circunferencia tiene por ecuación: t2 = ax –x2 • Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene la ecuación de la a cisoide: V. Font. Granada 24-01-05

  46. La traducción "GRÀFICA  ECUACIÓN ÍMPLÍCITA" es una técnica que forma parte de un programa de investigación, iniciado por Descartes en la Géométrie, que (según Boss) consta básicamente de tres partes:   1)    Primeramente, Descartes ha de determinar cuáles son las curvas que serán estudiadas (las geométricas). V. Font. Granada 24-01-05

  47. 2) En segundo lugar, ha de postular un criterio claro para distinguir las curvas simples de las que no lo son (la aplicación del álgebra le permite obtener ecuaciones, el grado de las cuales puede ser usado como un indicador de simplicidad). • 3) Finalmente, ha de encontrar un método para hallar la curva más simple posible mediante la cual se puede resolver un problema dado. V. Font. Granada 24-01-05

  48. Este “programa de investigación” permite la conversiön del registro gráfico al simbólico. • Permite algunas traducciones entre expresiones simbólicas, pero al ser un programa global en el que el estudio local no se contempla, no permite otras • Por ejemplo, permite la traducciónImplícita  Implícita Con el siguiente cambio de coordenadas: x = y1 , y = -x1 la expresión implícita de la cisoide es: y13 + x12 y1 - a x12 = 0 y ahora, la traza de la cisoide es la gráfica de una función: V. Font. Granada 24-01-05

  49. Este programa de investigación no permite la traducción Implícita  Explícita • Mientras nos limitemos a buscar la expresión implícita nos estamos situando en en un punto de vista GLOBAL. • Para Buscar la forma explícita estamos obligados a introducir razonamientos de tipo LOCAL. • Situados dentro de este nuevo “programa de investigación” (perspectiva local), las técnicas de desarrollo en series de potencias nos permiten obtener expresiones explícitas de la cisoide. V. Font. Granada 24-01-05

  50. En la expresión y13 + x12 y1 - a x12 = 0, el teorema de la función implícita nos asegura que, en un entorno de un punto no singular (x,y) de la cisoide, la curva se puede parametrizar en la forma (x , h (x)). V. Font. Granada 24-01-05

More Related