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Bayes-Netze

Bayes-Netze. Überblick. Syntax Semantik. Bayes-Netze. Bayes-Netze sind eine graphische Notation für Aussagen über bedingte Unabhängigkeit und damit ein praktischer Weg, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu spezifizieren. Syntax: Eine Menge von Knoten , einer pro Zufallsvariable.

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Bayes-Netze

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Presentation Transcript

  1. Bayes-Netze KI 14-Bayes-Netze

  2. Überblick • Syntax • Semantik KI 14-Bayes-Netze

  3. Bayes-Netze • Bayes-Netze sind eine graphische Notation für Aussagen über bedingte Unabhängigkeit und damit ein praktischer Weg, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu spezifizieren. • Syntax: • Eine Menge von Knoten, einer pro Zufallsvariable. • Ein gerichteter azyklischer Graph • Kante von A nach B bedeutet: „A beeinflusst B“. • A heißt Elternknoten von B. • Eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung für jeden Knoten in Abhängigkeit von seinen Elternknoten: P (Xi | Eltern(Xi)) • Im einfachsten Fall wird die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentiert als eine Tabelle (conditional probability table – CPT)bedingter Wahrscheinlichkeiten, d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Xi wird für jede Wertekombination der Elternknoten gegeben. KI 14-Bayes-Netze

  4. Beispiel • Topologie des Netzes kodiert Abhängigkeiten durch bedingte Unabhängigkeit: • Wetter ist unabhängig von den anderen Variablen • Zahnschmerzen und Catch sind bedingt unabhängig bei gegebenem Wert für Loch. KI 14-Bayes-Netze

  5. Beispiel • Ich bin nicht zu Hause. Nachbar John ruft an und sagt, dass meine Alarmanlage Alarm gibt, aber meine Nachbarin Mary ruft nicht an. Manchmal springt die Alarmanlage wegen eines kleinen Erdbebens an. Liegt ein Einbruch vor? • Variable: Einbruch, Erdbeben, Alarm, JohnRuftAn, MaryRuftAn • Netztopologie bildet „kausales Wissen“ ab: • Ein Einbrecher kann Alarm auslösen. • Ein Erdbeben kann Alarm auslösen. • Der Alarm kann bewirken, dass Mary anruft. • Der Alarm kann bewirken, dass John anruft. KI 14-Bayes-Netze

  6. Beispiel Bei Fehlalarm Zeitangabe nötig ! KI 14-Bayes-Netze

  7. Kompaktheit • Eine CPT (conditional probability table) für Boolesche Xi mit k Booleschen Elternknoten hat 2k Zeilen für die Kombinationen der Werte der Elternknoten. • Jede Zeile erfordert je eine Zahl p für Xi = wahr(die Wahrscheinlichkeit für Xi = falsch ist 1-p). • Wenn jede von n Variable nicht mehr als k Elternknoten hat, erfordert die Spezifikation des gesamten Netzes O(n · 2k) Zahlen. • D.h. Aufwand wächst linear mit n gegenüber O(2n)für die vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung. • Für Einbruchsnetz: n=5, 1 + 1 + 4 + 2 + 2 = 10 Zahlen (gegenüber 25-1 = 31). KI 14-Bayes-Netze

  8. Semantik Vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Produkt der lokalen bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen: P(X1, … ,Xn) = πi = 1P (Xi | Eltern(Xi)) z.B. P(j  m  a b e) = P(j | a) P(m | a) P(a | b, e) P(b) P(e) Beachte: Gerichtete Kanten können kausale oder diagnostischeAbhängigkeit bedeuten ! • AlarmJohnRuftAn : Kausale Abhängigkeit • JohnRuftAnAlarm : Diagnostische Abhängigkeit n KI 14-Bayes-Netze

  9. Konstruktion von Bayes-Netzen • 1. Wähle eine Ordnung der Variablen X1, … ,Xn. • 2. for i = 1 to n • Füge Xi dem Netz hinzu. • Wähle Eltern von Xi aus X1, … ,Xi-1 so, dass gilt P (Xi | Eltern(Xi)) = P (Xi | X1, ... Xi-1). Durch diese Wahl der Elternknoten gilt: P (X1, … ,Xn) = πi =1P (Xi | X1, … , Xi-1) (Kettenregel) = πi =1P (Xi | Eltern(Xi)) (per definitionem) Einwand: „Wenn die Ordnung der Knoten willkürlich ist, sind die Eltern von Xi möglicherweise nicht in X1, … ,Xi-1 enthalten !“ Antwort: Dann werden die Eltern zu Kindern (Xi+1, … ,Xn), d.h. kausale / diagnostische Abhängigkeit wird vertauscht. n n KI 14-Bayes-Netze

  10. Beispiel • Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? KI 14-Bayes-Netze

  11. Beispiel • Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)?P(A | J, M) = P(A)? KI 14-Bayes-Netze

  12. Beispiel • Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)?P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? P(B | A, J, M) = P(B)? KI 14-Bayes-Netze

  13. Beispiel • Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)?P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? Ja P(B | A, J, M) = P(B)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A)? P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)? KI 14-Bayes-Netze

  14. Beispiel • Wähle Ordnung M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? Nein P(A | J, M) = P(A | J)?P(A | J, M) = P(A)? Nein P(B | A, J, M) = P(B | A)? Ja P(B | A, J, M) = P(B)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A)? Nein P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)? Ja KI 14-Bayes-Netze

  15. Beispiel • Erkennung bedingter Unabhängigkeit ist schwieriger bei nicht-kausaler Orientierung der Kanten. • Kausale Modelle und bedingte Unabhängigkeit sind beim Menschen offenbar „hardwired“ ! • Netz ist weniger kompakt: 1 + 2 + 4 + 2 + 4 = 13 Zahlen zur Beschreibung. KI 14-Bayes-Netze

  16. Zusammenfassung • Bayes-Netze sind eine natürliche Repräsentation für bedingte Unabhängigkeit • Topologie + CPTs = Kompakte Repräsentation der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung • Experten einer Domäne können Bayes-Netze meist unschwer entwerfen. KI 14-Bayes-Netze

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