3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes .

1. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

2. 3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes. Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento. Em seu método, o erro tipo I é no máximo  para qualquer das comparações possíveis. Suponha um conjunto de m contrastes das médias de tratamento. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 2

3. 3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes. O procedimento de Scheffé também pode ser usado para construir intervalos de confiança para todos os contrastes possíveis entre as médias de tratamento. intervalos simultâneos tal que o nível de confiança conjunto é pelo menos 1-. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 3

4. Exemplo Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 4

5. 3.5.7 Comparação de pares de médias de tratamento e usar Scheffé. Porém, nesse contexto, o método de Scheffé não é o mais sensível para tais comparações. Existem vários métodos para esse tipo de comparação. Veremos os dois mais populares. Nesse caso poderíamos fazer Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 5

6. Teste de Tukey • Tukey (1953) propôs um procedimento para o qual o • nível de significância global é exatamente , quando os • tamanhos amostrais são iguais e, no máximo , quando os • tamanhos são desiguais. • Também é possível usar esse método para construir • intervalos de confiança para as diferenças entre médias. • Os intervalos têm nível de confiança conjunto de 100(1- )% • no caso balanceado e pelo menos 100(1- )% no caso • não balanceado. Suponha uma ANOVA na qual a hipótese nula de médias iguais foi rejeitada e que deseja-se testar as hipóteses Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 6

7. Teste de Tukey para a comparação de pares de médias • Valores da distribuição da estatística q foram tabulados • Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita • a hipótese nula se O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 7

8. Teste de Tukey para a comparação de pares de médias • Quando as amostras são não balanceadas Equivalentemente, podemos construir intervalos de confiança de 100(1-)% para todos os pares dados por Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 8

9. Teste de Tukey para a comparação de pares de médias Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = dados$y ~ dados$rf) $`dados$rf` diff lwr upr p adj p180-p160 36.2 3.145624 69.25438 0.0294279 p200-p160 74.2 41.145624 107.25438 0.0000455 p220-p160 155.8 122.745624 188.85438 0.0000000 p200-p180 38.0 4.945624 71.05438 0.0215995 p220-p180 119.6 86.545624 152.65438 0.0000001 p220-p200 81.6 48.545624 114.65438 0.0000146 No R, há as função TukeyHSD e plot(TukeyHSD). Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 9

10. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 10

11. Comparação de médias É possível obter um teste F global da ANOVA significativo e, ao comparar todos os pares de médias, concluirmos que as diferenças não são significativas. Essa situação pode ocorrer porque o teste F está considerando simultaneamente todos os contrastes possíveis envolvendo as médias de tratamento e não somente os pares. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11

12. Método de Fisher da menor diferença significante (mds) • Supondo uma alternativa bilateral uma região crítica • Para um teste de nível  é: O método de Fisher da menor diferença significante para comparar todos os pares de média controla a taxa de erro  para cada comparação individual, mas não a taxa de erro global do experimento. Esse procedimento usa a estatística t para testar a hipótese H0 : i = j . Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 12

13. Método de Fisher da menor diferença significativa (mds) é chamada menor diferença significativa. Se o experimento é balanceado • Para usar um procedimento de Fisher, simplesmente • comparamos a diferença observada em cada par com a • correspondente MDS. • O risco global  pode ser consideravelmente inflacionado • por esse método. A quantidade Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 13

14. Que método usar? • Não existe uma resposta e muitos estatísticos discordam sobre a utilidade dos vários procedimentos. • Carmer e Swanson (1973) realizaram uym estudo de simulação de Monte Carlo de vários procedimentos de comparações múltiplas, incluindo procedimentos que não foram apresentados aqui. • O método MDS é efetivo para detectar diferenças verdadeiras se aplicado somente após o teste F da ANOVA ter resultado significante a 5%, apesar do método não controlar a taxa de erro global. • Muitos preferem o método de Tukey por controlar a taxa de erro global. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 14

15. Comparações de médias de tratamento com um controle • O procedimento é uma modificação do teste t usual. Se um dos tratamentos é um controle e se está interessado em comparar cada um dos outros a-1 tratamentos com o controle, apenas a-1 comparações são feitas. Um procedimento para fazer essas comparações foi desenvolvido por Dunnett (1964). Suponha que entre os tratamentos, o a-ésimo seja o controle e que Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 15

16. Procedimento de Dunnett em que a constante d é obtida por meio de tabela apropriada. Aqui,  é o nível conjunto dos a-1 testes. Quando comparamos tratamentos com um controle, uma boa estratégia é usar mais observações no controle do que nos demais. A razão na/n de ve ser aproximadamente igual à raiz quadrada de a. Para cada hipótese calcula-se a diferença Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 16

17. 3.7 Sample Size DeterminationText, Section 3.7, pg. 101 • FAQ in designed experiments • Answer depends on lots of things; including what type of experiment is being contemplated, how it will be conducted, resources, and desired sensitivity • Sensitivity refers to the difference in means that the experimenter wishes to detect • Generally, increasing the number of replicationsincreases the sensitivity or it makes it easier to detect small differences in means Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

18. Sample Size DeterminationFixed Effects Case • Can choose the sample size to detect a specific difference in means and achieve desired values of type I and type II errors • Type I error – reject H0 when it is true ( ) • Type II error – fail to reject H0 when it is false ( ) • Power = 1 - • Operating characteristic curves plot against a parameter where Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

19. Sample Size DeterminationFixed Effects Case---use of OC Curves • The OCcurves for the fixed effects model are in the Appendix, Table V • A very common way to use these charts is to define a difference in two means D of interest, then the minimum value of is • Typically work in term of the ratio of and try values of n until the desiredpower is achieved • Most statistics software packages will perform power and sample size calculations – see page 103 • There are some other methods discussed in the text Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

20. Power and sample size calculations from Minitab (Page 103) Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

21. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

22. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

23. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

24. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

25. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

26. Sugestão de exercícios do capítulo 3 • 1,2,4,6,8 a 11, 16, 18 a 20