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Lógica Proposicional

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Lógica Proposicional

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  1. Lógica Proposicional Relações semânticas entre conectivos e formas normais

  2. Conjunto de conectivos completo • Um conjunto de conectivos é qualquer conjunto cujos elementos sejam conectivos (^, v, ,, ) • Num conjunto completo C, dada uma fórmula H do tipo (P), (PvQ), (P^Q), (PQ) ou (PQ), então é possível determinar uma fórmula G, equivalente, usando apenas os conectivos de C e os símbolos proposicionais de H.

  3. Exemplo de conjunto de conectivos completo • {,v} • As fórmulas com conectivos {^,,} são trocadas por equivalências com {,v} • Achar tautologias do tipo • (P*Q)  F, sendo • * € {^,,} • F expressa com {,v} • Equivalência entre ^ e {,v} • (P^Q) (Pv  Q) é uma tautologia • (PQ) e (Pv  Q) são equivalentes

  4. Equivalência entre  e {,v} • (PQ)  (PvQ) é uma tautologia • (PQ) e (PvQ) são equivalentes • Resultado importante • Olha  sob o ponto de vista de interpretação (valoração)

  5. Equivalência entre  e {,v} • (P  Q)  ((P  Q)^(Q  P)) • Substituindo  por seu equivalente • (P  Q)  ((P vQ)^(Q vP)) • Substituindo ^ por seu equivalente • (P  Q) ((P vQ)v(Q vP)) • Está provada a completude de {,v}

  6. Regra de substituição de subfórmulas • Dadas as fórmulas da lógica proposicional Eg, Eh, G e H onde • G é subfórmula de Eg • H é subfórmula de Eh e • Eh é obtida de Eg substituindo as ocorrências de G em Eg por H • então se G equivale a H, Eg equivale a Eh

  7. Transformação para o conjunto {,v} • Dada uma fórmula E, como obter G contendo apenas {,v} • e.g. E=(P  Q)v(R  S) • Substituir PQ por ((P vQ)v(Q vP)) • E=((P vQ)v(Q vP))v(R  S) • Substituir PQ por (Q vP) • G=((P vQ)v(Q vP))v(RvS) • G equivale a E!

  8. Conjunto {nand} • (P nand Q) = ((P^Q)) • {nand} é completo! • Demonstração • Se {nand} puder expressar {,v} • P equivale a (P nand P) (1) • (PvQ) equivale a (P nand Q) • Substituindo  (1), (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q))

  9. Transformação para o conectivo nand • H=P^(RS) • Primeiro, transformar para {,v} • Depois transformar para nand, usando as equivalências • P equivale a (P nand P) • (PvQ) equivale a ((P nand P) nand (Q nand Q))

  10. Possível Redefinição da Linguagem da Lógica Proposicional • Alfabeto • Símbolos de pontuação: (,) • Símbolos de verdade: false • true = false • Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... • Conectivos proposicionais: ,v • E com nand???

  11. Formas normais e {,v,^} • Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação • Um bom conjunto completo é {,v,^} • Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos

  12. Forma normal disjuntiva • Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais • F é da forma F1 v F2 v ... v Fn, onde • Fi é uma conjunção (da forma A1 ^ A2 ^ ... ^ An ) e • Ai é um literal • Ex: H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S)

  13. Forma normal conjuntiva • Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais • F é da forma F1 ^ F2 ^ ... ^ Fn, onde • Fi é uma disjunção (da forma A1 v A2 v ... v An ) e • Ai é um literal • Ex: G=(PvQ) ^ (RvQvP) ^ (PvS)

  14. Obtenção de formas normais • Observe que H e G são parecidos • H=(P^Q) v (R^Q^P) v (P^S), DNF • G=(PvQ) ^ (RvQ vP) ^ (PvS), CNF • Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais • Os mesmos, trocando-se T por F

  15. H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=T P Q R H T T T T L1 F T T T L2 F F T T L3 L1=P^Q^R L2=P^Q^R L3=P^Q^R H=L1 v L2 v L3, DNF H=(P^Q^R) v (P^Q^R) v (P^Q^R) P Q R H T T T T T T F F T F T F T F F F F T T T F T F F F F T T F F F F Obtenção de formas normais a partir de tabelas-verdade

  16. H=(PQ) ^ R Pegam-se as linhas em que H=F P Q R H T T F F T F T F T F F F F T F F F F F F H=L1 ^ L2 ^ L3 ^ L4 ^ L5, DNF H=(PvQvR) ^ (PvQvR) ^ (PvQvR) ^ (PvQvR) ^ (PvQvR) P Q R H T T T T T T F F T F T F T F F F F T T T F T F F F F T T F F F F Obtenção de formas normais conjuntivas

  17. Exercícios de obtenção de formas normais • Obter DNF de (P ^Q) R • Obter CNF de (P ^Q) R

  18. Algoritmos usando leis (repetidamente) • 1 -Leis de eliminação • PQ = (PvQ) • P  Q = (P  Q)^(Q  P) • 2 -Lei da negação • (H)  H • 2 -Leis de De Morgan • (PvQ) =P ^ Q • (P^Q) =P v Q • 3 -Leis distributivas: • F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) • F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)

  19. Exercícios • Obter DNF de (P v Q) R • = (PvQ) v R (eliminação de ) • = (P ^ (Q)) v R (De Morgan) • = (P ^ Q) v R (negação) • Obter CNF de (P^(QR))S