Gazdaságstatisztika

1. Gazdaságstatisztika 15. előadás

2. Gazdaságstatisztika FELADATOK AZ ELMÉLETI ELOSZLÁSOK TÉMAKÖRÉBŐL

3. 1. Feladat • Egy gépgyárban készített tengelyekkel kapcsolatban az a tapasztalat, hogy 5%-uk nem felel meg a minőségi elvárásoknak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenül kiválasztott 5 tengely közül • a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak? • b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak? • c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak? Gazdaságstatisztika

4. 1. Feladat - megoldás • Jelentse a nem megfelelő termékek számát a kiválasztott 5 termékből. binomiális eloszlású. 5% nem felel meg => • a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak  0 db nem megfelelő van • 0,7738 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak. • b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak  • Közel 0 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül egyik sem felel meg az elvárásoknak. • c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak  legfeljebb 1 nem felel meg a minőségi elvárásoknak  • 0,9774 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak. Gazdaságstatisztika

5. 2. Feladat • Egy mobilszolgáltatónál elvégzett vizsgálatok azt mutatták, hogy 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik váratlan kimaradás a szolgáltatásban. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt • a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban? • b.) történik kimaradás a szolgáltatásban? • c.) legfeljebb1 kimaradás történik a szolgáltatásban? Gazdaságstatisztika

6. 2. Feladat - megoldás • Mivel 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás ezért 10 nap alatt várhatóan 2 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás. (p=10/200 = 0,05 a szolgáltatás-kimaradás valószínűsége.) • Ez alapján a 10 nap alatt bekövetkező szolgáltatás-kimaradások számáról feltételezhetjük, hogy Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értékkel. • a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? • 0,2707 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt 1 szolgáltatás-kimaradás történik. • b.) történik kimaradás a szolgáltatásban (10 nap alatt)? • 0,8647 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt történik szolgáltatás-kimaradás. Gazdaságstatisztika

7. 2. Feladat - megoldás • c.) legfeljebb 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? • 0,4060 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt legfeljebb 1 szolgáltatás-kimaradás történik. Gazdaságstatisztika

8. 3. Feladat • Egy fodrászatban a vendégek által várakozással eltöltött időről kimutatták, hogy exponenciális eloszlású. További vizsgálatok azt mutatták, hogy az átlagos várakozási idő 20 perc. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vendég • a.) 10 percnél rövidebb ideig várakozik? • b.) pontosan 5 percig várakozik? • c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? Gazdaságstatisztika

9. 3. Feladat - megoldás • Legyen a valószínűségi változó a várakozással eltöltött idő. Az átlagos várakozási idő 20 perc, ezért perc. • Tudjuk, hogy , így 1/perc. • a.) 10-percnél rövidebb ideig várakozik? • 0,3935 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél rövidebb ideig várakozik. • b.) pontosan 5 percig várakozik? • 0 a valószínűsége annak, hogy egy vendég pontosan 5 percig várakozik. • c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? • 0,2386 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik Gazdaságstatisztika

10. 4. Feladat • Egy palackozóüzemben a palackozott sör töltési térfogatát vizsgálták. A vizsgálat során megállapították, hogy a töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető 510ml várható értékkel és 20ml szórással. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata • a.) 510ml-nél nagyobb? • b.) pontosan 505ml? • c.) 490ml és 500ml közé esik? Gazdaságstatisztika

11. 4. Feladat - megoldás • Jelölje a töltési térfogatot, mint valószínűségi változót. • Tudjuk, hogy normális eloszlású ml várható értékkel és ml szórással. • Az eloszlás paraméterei: és • a.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 510ml-nél nagyobb? • Tudjuk, hogy • Ezért és • 0,5 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 510ml-nél nagyobb. Gazdaságstatisztika

12. 4. Feladat - megoldás • b.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata pontosan 505ml? • Ennek a valószínűsége nulla, mert folytonos valószínűségi változó. • c.) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy palack töltési térfogata 490ml és 500ml közé esik? • 0,1499 a valószínűsége annak, hogy a töltési térfogat 490ml és 500ml közé esik. Gazdaságstatisztika

13. 5. Feladat • Egy autógyárban a kiszállított gépkocsikkal kapcsolatos vevői reklamációkat vizsgálták. Azt találták, hogy 10000 gyártott gépkocsi esetén átlagosan 4 autó motorhibás. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott 10000 gépkocsi között • a.) 1 motorhibás autó van? • b.) van motorhibás autó? • c.) legfeljebb 1 motorhibás autó van? Gazdaságstatisztika

14. 5. Feladat - megoldás • Mivel 10000 gépkocsi között átlagosan 4 motorhibás van, ezért a motor meghibásodása ritka eseménynek tekinthető. • Ezért a 10000 gépkocsi között motorhibás gépkocsik számáról ( ) – mint valószínűségi változóról – feltételezhetjük, hogy Poisson-eloszlású. • Poisson-eloszlású várható értékkel. • a.) 1 motorhibás autó van? • 0,0733 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között 1 motorhibás autó van. • b.) van motorhibás autó? • 0,9817 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között van motorhibás autó. Gazdaságstatisztika

15. 5. Feladat - megoldás • c.) legfeljebb 1 motorhibás autó van? • 0,0916 a valószínűsége annak, hogy 10000 autó között legfeljebb 1 motorhibás autó van. • Megjegyzés • A feladat a p=4/10000, n=10000 paraméterű binomiális eloszlás felhasználásával is megoldható. Az így adódó eredmények az első 4 tizedesjegyben azonosak a Poisson-eloszlás alkalmazásával adódó eredményekkel. Gazdaságstatisztika

16. Gazdaságstatisztika FELADATOK A BECSLÉS TÉMAKÖRÉBŐL

17. 1. Feladat • Egy elektronikai gyártosoron egy alkatrész nyomtatott áramkörre történő beültetési pozíciójának x-irányú koordinátáját vizsgálták. Korábbi elemzésekből ismert, hogy az x-irányú beültetési pozíció normális eloszlású valószínűségi változó 0,03mm szórással. 10 mérést elvégezve az x-irányú beültetési koordináta 10,34mm-re adódott. • a.) Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékére! • b.) Legalább hány elemű mintát vegyünk, hogy az alkatrész x-irányú beültetési koordinátájának várható értékét 95% valószínűséggel 0,01mm-nél kisebb eltéréssel tudjuk becsülni? Gazdaságstatisztika

18. 1. Feladat - megoldás • a.) Az x-irányú beültetési koordináta normális eloszlású ismeretlen várható értékkel és ismert mm elméleti szórással. • Táblázatból: • mm • A várható értékre vonatkozó 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum: Gazdaságstatisztika

19. 1. Feladat - megoldás • b.) Aösszefüggésből • Keressük azt az n értéket, amelyre a eltérés valószínűséggel kisebb az előre rögzített értéknél. • Ha n értékét úgy választjuk meg, hogy teljesül, akkor is teljesül. • Tehát a várható érték valószínűséggel -nál kisebb eltéréssel történő becsléséhez szükséges minta nagysága: Gazdaságstatisztika

20. 1. Feladat - megoldás • b.) Esetünkben • mm • mm • Ahhoz tehát, hogy a várható értéket 95%-os valószínűséggel legfeljebb 0,01mm eltéréssel tudjuk becsülni legalább 35 elemű minta szükséges. Gazdaságstatisztika

21. 2. Feladat • Egy kávéautomata ellenőrzése során az automata által adagolt eszpresszó kávé térfogatát vizsgálták. Korábbi tapasztalatok alapján az adagolt kávé térfogata normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A vizsgálat során 10 mérést végeztek, a mérési eredmények értékei ml-ben a következők voltak: 101; 97; 103; 99; 102; 98; 104; 101; 97; 100. • Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az eszpresszó kávé adagolt térfogatára! Gazdaságstatisztika

22. 2. Feladat - megoldás • Az adagolt kávétérfogat normális eloszlású valószínűségi változó, melynek elméleti várható értékét és elméleti szórását nem ismerjük. • A feladatunk az, hogy 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk a várható értékre. Mivel az elméleti szórás imeretlen, így az következő összefüggsét használhatjuk: • Az mintaátlag: • Az korrigált tapasztalati szórás: Gazdaságstatisztika

23. 2. Feladat - megoldás • A szabadságfok n-1=9 • A t-eloszlás táblázatából • A 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallum: • Az eszpresszó kávé adagolt térfogata 95%-os valószínűséggel aintervallumba esik. Gazdaságstatisztika

24. 3. Feladat • Egy forgácsoló üzemben esztergált tengelyek átmérőjét vizsgálták. A vizsgálat során 30 darab tengely átmérőjét mérték meg. A tengelyek átmérőjének a mintából számított átlaga 55mm, korrigált tapasztalati szórása 0,2mm. A tengelyek átmérőjéről feltételezhető, hogy normális eloszlású valószínűségi változó. • Adjunk 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést • a.) a tengelyek várható átmérő méretére! • b.) a tengelyek átmérőjének szórására! Gazdaságstatisztika

25. 3. Feladat - megoldás • 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a • a.) a tengelyek várható átmérő méretére! • A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére ismeretlen elméleti szórás esetén. • A mintából számított átlag: mm • A mintából számított korrigált tapasztalati szórás: mm • , n-1=30-1=29 • A t-eloszlás táblázatából: • A keresett konfidencia-intervallum: Gazdaságstatisztika

26. 3. Feladat - megoldás • 99%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslés a • b.) a tengelyek átmérőjének szórására! • A feladat az, hogy 99%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot adjunk egy normális eloszlású valószínűségi változó várható szórására. • mm, , n-1=30-1=29 • A khi-négyzet eloszlás táblázatából: • A szórásnégyzetre vonatkozó konfidencia-intervallum: • A szórásra vonatkozó konfidencia-intervallum: Gazdaságstatisztika

27. 4. Feladat • Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. • Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést az izzók várható élettartamára! Gazdaságstatisztika

28. 4. Feladat - megoldás • Az izzók élettartamáról tudjuk, hogy normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, ismeretlen várható értékkel és ismeretlen szórással. • A feladatunk az, hogy a várható értékre adjunk 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumot. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, így a következő összefüggést használhatjuk. • Az átlagot a gyakorisági táblázatból a leíró statisztikából ismert módon számítjuk: Gazdaságstatisztika

29. 4. Feladat - megoldás • Az korrigált tapasztalati szórást a gyakorisági táblázatból a leíró statisztikából ismert módon számítjuk: • , a szabadságfok n-1=59 • A t-eloszlás táblázatából: • A 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallum: • Az izzók várható élettartama 95%-os valószínűséggel a (15,4186 hónap; 18,9814 hónap) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

30. 5. Feladat • Megbízhatósági elemzések során a 60W-os izzók élettartamát vizsgálták. Összesen 60 darab izzó élettartamát figyelték meg, a megfigyelések eredményeit az alábbi gyakorisági táblázatban rögzítették. Az izzók élettartamáról feltételezhető, hogy normális eloszlást követ. • Adjunk 95%-os megbízhatósági szintű intervallumbecslést • a.) a legalább 18 hónap élettartamú izzók arányára! • b.) a 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára! Gazdaságstatisztika

31. 5. Feladat - megoldás • a.) A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): • Konfidencia-intervallum a sokasági arányra: • Táblázatból: • A 95%-os konfidencia-intervallum: • A legalább 18 hónap élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a (0,3735; 0,6265) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika

32. 5. Feladat - megoldás • b.) A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók arányára a gyakorisági táblázatból (a konkrét mintából): • Konfidencia-intervallum a sokasági arányra: • Táblázatból: • A 95%-os konfidencia-intervallum: • A 12 hónapnál rövidebb élettartamú izzók aránya 95%-os valószínűséggel a (0,0988; 0,3012) intervallumba esik. Gazdaságstatisztika