Statické systémy

Statické systémy

Statické systémy • statika se zaměřuje na studium časově invariantních struktur • statická a dynamická stránka reálných systémových jevů zpravidla neoddělitelná • v rámci teorie systémů se statika a dynamika zkoumá odděleně

Obecný statický systém • definován pomocí relace X  X1 X2  X3 … Xn Xi … statické formální objekty (nejsou časové proměnné ani funkce času)

Příklady statických systému • soustava m rovnic o n neznámých a11x1 + a12x2 + … a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … a2nxn = b2 … am1x1 + am2x2 + … amnxn = bm hodnoty proměnných xi jsou hodnotami statických formálních objektů Xi

Příklady statických systému • modely v ekonomice, marketingu či dalších disciplínách • příklad ADBUDG model X … hodnota marketingových výdajů Y … prodej a, b, c, d … koeficienty

u13 u14 u12 u11 u15 u10 u16 u5 u6 u4 u7 u3 u2 u8 u1 u9 Příklady statických systému • prutová soustava styčníky = uzlyU={u1, u2, …, u16} pruty = hrany H  U  U podmínka statické (tvarové) určitosti: p + m = 2s (p … počet prutů, m … počet vnějších reakcí, s … počet styčníků)

okolí modul 1 modul 6 modul 3 modul 4 modul 5 modul 2 okolí Příklady statických systému • soustava programových bloků analyzováno je pouze propojení jednotlivých modulů a okolí pomocí vstupů a výstupů

Obecné modely struktur • struktura = množina vazeb mezi prvky systému • obecné modely slouží k popisu všech modelů reálných struktur • pokud P je množina prvků, vazby jsou množina uspořádaných dvojic (pi, pj) – lze definovat pomocí binární relace • častěji se používá prostředků teorie grafů – struktura systému zadaná jako orientovaný/neorientovaný graf • systémová algebra – aparát pro řešení úloh souvisejících se strukturou systémů, založený na zobrazení systému pomocí grafů

Teorie grafů – připomenutí

Základní pojmy – neorientovaný graf • neorientovaný graf G = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina hran grafu H  K, kde K je množina všech dvouprvkových podmnožin U U = {q, b, c, d, e} H = {ab, ac, bc, ce} e a d b c

Základní pojmy – neorientovaný graf • konečný/nekonečný graf – podle počtu uzlů • pokud jsou x a y koncovými uzly hrany h, pak s ní incidují • počet hran, které incidují s uzlem = stupeň uzlu • izolovaný uzel = uzel se stupněm 0 • podgraf G1= [U1, H1] G2= [U2, H2] G1je podgrafem G2, když U1 U2 a H1 H2 • sled mezi uzly x0 a xn = posloupnost uzlů a hran x0, x0x1, x1, x1x2, x2 … xn-1xn, xn • tah = sled, kde se každá hrana vyskytuje pouze jednou • cesta = sled, kde každý uzel se vyskytuje pouze jednou

Základní pojmy – neorientovaný graf • souvislý graf = mezi každými uzly existuje sled • pravidelný graf = všechny uzly mají stejný stupeň • úplný graf = pravidelný graf s n uzly n-1 stupně

Základní pojmy – orientovaný graf • orientovaný graf G’ = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina uspořádaných dvojic uzlů z U (u1, u2)  H … orientovaná hrana U = {a, b, c, d} H = {(c, a), (b, a), (b, c), (c, d), (d, d)} b a c d

Základní pojmy – orientovaný graf orientovaný graf lze popsat i jako G’= [U, ], kde  je zobrazení přiřazující každému u  U podmnožinu (U) množiny U (její prvky jsou koncové prvky hran vystupující z uzlu u) (a) = {} (b) = {a, c} (c) = {a, d} (d) = {d} b a c d

Základní pojmy – orientovaný graf • sled v grafu G’= [U, ] – posloupnost uzlů (orientované spojení) u1, u2, …, uk  U, pro které platí, že ui+1  (ui) • délka – počet hran spojení • tah – neopakují se hrany • cesta – neopakují se uzly • cyklus – cesta, kde u1 = uk • smyčka – cyklus délky 1 • silně souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje orientované spojení • slabě souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje spojení dosažitelné změnou orientace hran b a c d

Matice sousednosti • počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec • prvky matice = počet hran mezi příslušnými uzly • u neorientovaného grafu vždy symetrická

Matice incidence • počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec • prvky matice • orientovaný graf 1 – uzel je počátečním vrcholem hrany -1 – uzel je koncovým vrcholem hrany 0 jinak • neorientovaný graf 1 – vrchol inciduje s hranou 0 – jinak

Statické systémy – pokračování

Maticové zápisy • pro účely modelování se systémy popisují pomocí matic • rychle poskytují řadu informací pro analýzu • odhalují vlastnosti struktur • méně nákladné než kreslení grafů • precedenční matice systému(v teorii grafů se používají incidenční matice či matice sousednosti) • existence vazby mezi prvky se znázorní hodnotou 1 na souřadnicích těchto prvků • možnost zahrnout i okolí matice

Maticové zápisy • transponovaná matice PT k precedenční matici P = matice následnosti • matice ohodnocení (algebraická matice) • 0 a 1 precedenční matice nahrazeny libovolnými čísly, jež mohou představovat parametry vazeb • lze použít i prostorové matice • prostorová matice • prvky matice nejsou tvořeny skalárními hodnotami, ale vektory

Maticové zápisy (Mitášová, 1984) • matice prvků • popisuje propojení prvků • booleovská, algebraická • matice vazeb – popisuje návaznost vazeb • matice popisující vztah mezi prvky a vazbami (výstupní vazby z prvků) • matice popisující vztah mezi vazbami a prvky (vstupní vazby prvků) • příklad: • S = (P, R) • P = {x0, x1, x2, x3, x4, x5} • R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • incidenční zobrazení φ = { 1(x0, x1); 2(x0, x2); 3(x1, x3) 4(x3, x2); 5(x2, x4); 6(x3, x4); 7(x4, x5); 8(x1, x5)}

Úlohy na systémech • indexování prvků • přiřazování jedinečné číselné hodnoty každému prvku • umožňuje využití matic • pokud jsou hrany orientované a systém je acyklický, je snahou, aby indexy prvků ve všech cestách byly rostoucí

Operace systémové algebry • logické umocňování precedenční matice P2 = (pij2) r … počet řádek m ... pořadová čísla řádek a sloupců U … operace logického součtu Λ … logický součin

Operace systémové algebry • interpretace logického umocňování • obecně je m-tý prvek v j-tém sloupci matice Pn-1 • běžné násobení matic (algebraických) – interpretace

Operace systémové algebry • operace výběru (zapisujeme (v)) výběrový vektor (popisuje složení subsystému Sj) pomocí logických operací se vybírají všechny předchůdci subsystému Sj ve vzdálenosti 1 obecně

Úlohy na statických systémech • optimalizační úlohy • hledání extrémů funkce • využívá se metod matematického programování (lineární, nelineární, celočíselné, konvexní • obecně mají tvar g(x)  0

Úlohy na statických systémech • úlohy o struktuře • řeší se většinou na orientovaných grafech a multigrafech • uplatnění mají zejména v analýze a syntéze • typy úloh: • identifikační • úlohy o cestách a cyklech • úlohy o společném rozhraní • ostatní úlohy

Identifikační úlohy • vybírají se a třídí se některé prvky či vazby systému podle určitých vlastností či znaků: • identifikace hraničních prvků • identifikace hranic subsystémů • identifikace prvků podle počtu jejich vazeb • úlohy precedenční a sekvenční analýzy: • identifikace všech předchůdců a následovníků – využívají se algebraické metody teorie grafů nebo systémové algebry (mocniny P, selekční operace)

Úlohy o cestách a cyklech • studují se cesty mezi prvky a jejich vlastnosti (délky cest, doby nutné pro realizaci cesty, kapacity cest apod.) • vyšetřování cyklů pro studium zpětných vazeb • využívají se metody teorie grafů a systémové algebry • typy úloh: • identifikace cest mezi dvěma prvky • identifikace cyklů • zjištění délky cest a doby nutné pro realizaci cesty • úlohy o tocích mezi dvěma prvky • kapacitní úlohy • hamiltonovské cesty (cesty spojující všechny uzly) • hledání minimální kostry

Úlohy o rozhraní • analyzují se vlastnosti sousedních prvků, subsystémů, prvků a vazeb

Ostatní úlohy • simplifikační úlohy • zjednodušení struktury • dekompozice • agregace • eliminace • a další

Statické systémy