Antonio M. Mora García 05 de Mayo de 2009

1. Resolución del problema militar de búsqueda de camino óptimo multiobjetivo mediante el uso de algoritmos de optimización basados en colonias de hormigas Antonio M. Mora García 05 de Mayo de 2009 TESIS DOCTORAL Directores: Juan Julián Merelo Guervós Pedro Ángel Castillo Valdivieso

2. ÍNDICE • Definición del problema • Problemas multiobjetivo • Optimización basada en colonias de hormigas • Familia de algoritmos CHAC • Algoritmos adaptados • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA • Problemas multiobjetivo • Optimización basada en colonias de hormigas • Familia de algoritmos CHAC • Algoritmos adaptados • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

4. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE CAMINO ÓPTIMO “ Dado un entorno en el que se tienen definidos distintos puntos y en el que es posible trazar rutas entre ellos, y dados dos puntos cualesquiera dentro de dicho entorno, hallar la ruta entre ambos puntos que mejor se adecue a una serie de criterios predeterminados ” Dicha ruta partirá de uno de los puntos, llamado origeny llegará hasta el otro, conocido como destinoy a su vez podrá discurrir por varios puntos intermedios. El más famoso es el Problema de Camino Mínimo (PCM), en el que la función a minimizar es la distancia al destino. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

5. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PROPIEDADES DEL PROBLEMA DE CAMINO ÓPTIMO • Se tiene un conjunto de componentes finitos (puntos). • Se tiene una serie finita de estados, donde cada estado se corresponde con una secuencia de componentes (lista de puntos recorridos). • Existe una función de vecindad que permite pasar de un estado a otro. • Cada cambio de estado tiene un coste asociado. • Una solución es una secuencia de estados que verifica las restricciones/condiciones del problema. • Hay un coste asociado a cada solución. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

6. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA MODELADO DEL PROBLEMA DE CAMINO ÓPTIMO • Se resuelve en entornos modelados como grafos, su definición sería: • “ dado un grafo y dos nodos (origen y destino), hallar la lista de nodos (o arcos) que se deben atravesar para ir desde el nodo origen al destino considerando una serie de criterios predeterminados ” • Dicho grafo deberá cumplir una serie de condiciones: • Podrá ser dirigido o no. • Será un grafo conexo. • Cada arco tendrá un peso/coste asociado. • Una solución será una secuencia de nodos comunicados mediante arcos. • Cada solución tendrá asociado un coste. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

7. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA EJEMPLOS DE PROBLEMA DE CAMINO ÓPTIMO • TSP hallar el circuito que parta y llegue al mismo nodo y pase por todos los demás, minimizando el coste asociado a los arcos a atravesar. • Camino más corto  hallar la ruta que minimice la suma de los pesos de los arcos a atravesar para llegar de un nodo origen a un nodo destino. VisualBots for Excel • VRP hallar el conjunto de rutas que partan de un nodo y lleguen a todos los demás, considerando un límite de coste por cada ruta. VRP en la Wikipedia Shortest path en Matlab Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

8. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PROBLEMA DE CAMINO ÓPTIMO MULTIOBJETIVO • Si existen varios criterios a satisfacer en la ruta y éstos son independientes, se habla de problemas de camino óptimo multiobjetivo. • Propiedades: • Cada cambio de estado tendrá varios costes asociados • Cada solución (camino) tendrá asociado un coste por cada uno de los criterios/objetivos. • Respecto al modelado como grafo: • Cada arco tendrá varios pesos/costes asociados. • Cada solución tiene asociado un coste por cada objetivo. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

9. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAMINO ÓPTIMO Actualidad Años 50 Primeros algoritmos: Bellman-Ford,Dijkstra Algoritmos informados (usan heurísticas): A* Metaheurísticas: OCH Aplicación de otras metaheurísticas y mejora de las existentes. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

10. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PROBLEMA MILITAR DE CAMINO ÓPTIMO MULTIOBJETIVO • Definido para resolver el problema del movimiento de una unidad militar en el campo de batalla. • Antes de realizar el movimiento hay que valorar dos criterios: rapidez y seguridad. • Son criterios contrapuestos, pero no excluyentes y siempre deben ser valorados ambos. • Se trata de un problema multiobjetivo. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

11. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PROBLEMA MILITAR DE CAMINO ÓPTIMO MULTIOBJETIVO De modo que el problema podría definirse como: “ La búsqueda (por parte de una unidad militar) del camino óptimo desde un punto origen hasta un punto destino, dentro de un campo de batalla y considerando los criterios de rapidez y seguridad ” Este problema se llamará PMCO-2C (o PMCOMO), y será modelado dentro de un simulador para ser resuelto. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

12. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA MODELADO DEL PMCO-2C - LA UNIDAD La unidad militar del problema está compuesta por soldados y vehículos, y tiene varias propiedades: • nivel de salud/energía: salud de los soldados, estado de los vehículos • nivel de recursos: comida, medicinas, combustible • no tiene armas La unidad únicamente se mueve, de un punto origen a un punto destino, consumiendo recursos y mermando su salud, y evitando a los enemigos y las zonas peligrosas del campo de batalla. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

13. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA MODELADO DEL PMCO-2C - EL MAPA El mapa (escenario) es una rejilla de celdas hexagonales que modela un campo de batalla. • la unidad está situada en un punto origen • coordenadas X, Y • Tipo • Subtipo • Altura • Coste en Recursos (dificultad de atravesarla). • Coste en Salud (bajas de no combate, deterioro de los vehículos). • Letalidad(consumo de salud debida al impacto de armas). • la unidad debe llegar a un punto destino • puede haber uno o más enemigos • puede haber zonas con impacto de armas Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

14. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA MODELADO DEL PMCO-2C - REALISMO Es posible utilizar mapas ‘reales’ como base, definiendo una capa de información subyacente. • Cada celda corresponde a una zona de 500x500 metros (tamaño real de la unidad desplegada). • Se ha considerado la línea de visión, y la capacidad de adquisición para unidad y enemigos. • Existen obstáculos naturales. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

15. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DEFINICIÓN DEL PMCO-2C MODELADO El problema se define como: Encontrar el mejor camino para una unidad militar, que parte de un punto y debe alcanzar otro dentro de un campo de batalla, en el que puede haber enemigos vigilando y/o disparando. Dicho camino deberá minimizar el coste en salud y en recursos El criterio del mejor camino a encontrar lo podrá definir el usuario. Estos objetivos son independientes, por lo que se trata de un problema multiobjetivo.

16. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA RESOLUCIÓN DEL PMCO-2C El problema será resuelto utilizando un algoritmo de OCH, porque: • es una metaheurística ideada para trabajar con grafos • es flexible y se adapta bien a nuevas condiciones y restricciones • es eficiente • ha demostrado dar muy buenos resultados en este tipo de problemas Dado que se trata de un problema multiobjetivo, se utilizará un OCHMO. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

17. Definición del problema • PROBLEMAS MULTIOBJETIVO • Optimización basada en colonias de hormigas • Familia de algoritmos CHAC • Algoritmos adaptados • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

18. PROBLEMAS MULTIOBJETIVO DEFINICIÓN • Son problemas en los que se trata de satisfacer varios criterios. • Cada uno de ellos será considerado un objetivo y tendrá asociado una función a optimizar. • F(x) = ( f1(x), … , fk(x) ), para k objetivos • Una solución será un vector x = ( x1, …, xk ) • Dominancia (si se tiende a la minimización): • en ese caso, se diría que la solución b es dominada por a. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

19. PROBLEMAS MULTIOBJETIVO DEFINICIÓN • Las soluciones no dominadas forman el conjunto llamado Frente de Pareto (FP). • En el ejemplo: • a y b son no dominadas • ambas dominan a c • Generalmente los algoritmos para resolución de problemas multiobjetivo buscan encontrar el máximo número de soluciones posible del FP. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

20. Definición del problema • Problemas multiobjetivo • OPTIMIZACIÓN BASADA EN COLONIAS DE HORMIGAS (OCH) • Familia de algoritmos CHAC • Algoritmos adaptados • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

21. OCH HORMIGAS NATURALES • Basada en el comportamiento de las hormigas naturales. [Dorigo et al. 1991] • Las hormigas son insectos sociales que viven en una colonia y cooperan por un beneficio común. • En su búsqueda de comida, van dejando un rastro de feromona que les permite volver al nido. • Cuando llegan a una bifurcación, eligen el camino a seguir considerando con mayor probabilidad el camino que mayor concentración de feromona tenga. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

22. OCH HORMIGAS NATURALES • Los mejores caminos (los más cercanos a la comida) van acumulando una mayor cantidad de feromona, pues son recorridos por un mayor número de hormigas. • Los menos prometedores van perdiendo la feromona por evaporación, por lo que cada vez los recorren menos hormigas. • Tras un tiempo, las hormigas habrán creado un camino mínimo (con rastros de feromona). Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

23. OCH HORMIGAS ARTIFICIALES • Resuelven problemas modelados como grafos con pesos en los arcos. • Cada arco aij del grafo contiene dos tipos de información: • – Información heurística (hij)  preferencia heurística del arco, en • base al conocimiento previo del problema. Las hormigas no la • modifican durante la ejecución del algoritmo. • – Información memorística (tij)  medida de la “deseabilidad” • del arco, representada por la cantidad de feromona depositada • en él. Es modificada durante la ejecución del algoritmo. • Cada hormiga artificial es un agente que construye una solución completa recorriendo el grafo en cada iteración. • En base a la bondad de esa solución hace un aporte de feromona a cada arco del camino construido por ella. • Además, se hace una evaporación de todos los arcos para evitar el estancamiento en óptimos locales (si perduran los malos rastros) Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

24. OCH CONSTRUCCIÓN DE LA SOLUCIÓN • Para construir una solución, cada hormiga debe decidir en cada paso el siguiente nodo al que moverse. • Utiliza una regla de transición de estados (RTE), con la que calcula la probabilidad de pasar a cada nodo. • - define la probabilidad con la que una hormiga h • situada en un nodo i, pasaría al nodo j (alcanzable). • - depende de la información heurística (hij) y • memorística (tij) de cada arco. • Una vez calculada la probabilidad, se elige el siguiente nodo en función de ésta (ruleta de probabilidades, el de mayor probabilidad, …) Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

25. OCH ALGORITMO • El funcionamiento general de un algoritmo de OCH es: Para cada hormiga: Inicialización Elegir siguiente nodo Actualización Local de Feromona No hay más hormigas Búsqueda Local Elegir mejor solución Criterio de FIN es VERDAD Criterio de FIN es FALSO FIN Actualización Global de Feromona Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

26. OCH MODELOS PRINCIPALES • Sistema de Hormigas (SH): • - la actualización de feromona se hace cuando todas las • hormigas han terminado su proceso • - evaporación y aporte global lo hacen todas las hormigas • sobre los arcos de sus soluciones • Sistema de Colonias de Hormigas (SCH): • - utiliza una regla de transición llamada regla proporcional • pseudo-aleatoria, que depende de un parámetro q0 • - se incluye una actualización local (evaporación y aporte) • cada vez que una hormiga añade un nodo a su solución • - la actualización global únicamente la realiza la mejor • hormiga Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

27. Definición del problema • Problemas multiobjetivo • Optimización basada en colonias de hormigas • FAMILIA DE ALGORITMOS CHAC • CHAC • Mono-CHAC • CHAC-4 • CHAC-N • Algoritmos adaptados • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

28. CHAC INTRODUCCIÓN CHAC significa ‘Compañía de Hormigas ACorazadas’. Se trata de un algoritmo de Optimización basada en Colonias de Hormigas MultiObjetivo (OCHMO). Para resolver el problema, se transforma el espacio de búsqueda en un grafo (cada celda es un nodo y cada arco conecta 2 celdas vecinas). Hay 2 pesos en cada arco. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

29. CHAC DESCRIPCIÓN • CHAC es un Sistema de Colonias de Hormigas(SCH) adaptado para trabajar con 2 objetivos. • Usa el parámetro q0 para controlar el equilibrio entre exploración y explotación en la búsqueda. • Se utiliza una única colonia • Se tienen 2 matrices de feromona • Se usan 2 funciones heurísticas • Un parámetro (l (0,1)) fija la importancia relativa de cada objetivo Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

30. CHAC DESCRIPCIÓN Existen 2 reglas de transición de estados, ambas basadas en la regla proporcional pseudoaleatoria típica de los SCH: • Regla de Transición Combinada (RTC) Combina la feromona con la información heurística de los dos objetivos (multiplicándolos). Usa l para ponderar el primer objetivo y (1-l) para el segundo. • Regla de Transición basada en Dominancia (RTD) Calcula la probabilidad de cada nodo alcanzable en base al número de vecinos que domina, considerando la combinación de feromona e información heurística en cada objetivo. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

31. CHAC DESCRIPCIÓN • Las funciones heurísticas: • camino rápido (hr) • camino seguro (hs) • La actualización de feromona (tr, ts): - local al añadir un nodo a la solución en construcción. • global  al final de cada iteración y solo para las soluciones dentro del Frente de Pareto (FP). • Las funciones de evaluación (una por objetivo): - camino rápido coste en recursos y ocultación. Ff - camino seguro coste en energía y ocultación. Fs Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

32. CHAC ALGORITMO • El funcionamiento general del algoritmo CHAC es: Para cada hormiga: Inicialización Elegir siguiente nodo Actualización Local de Feromona Solución completa Evaluar Solución Incluir en el FP Eliminar Dominadas No hay más hormigas Criterio de FIN es VERDAD Criterio de FIN es FALSO FIN Actualización Global de Feromona Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

33. Mono-CHAC DESCRIPCIÓN • Transformación de CHAC para tratar un solo objetivo. • Se hace una agregación de los objetivos para tratarlos como uno solo. La función a minimizar sería: • F(x) = wr · Fr(x) + ws · Fs(x) • Es un SCH monobjetivo (también dispone del parámetro q0). • Solo considera una función heurística, que se define como fusión de las dos de CHAC. • Solo considera una matriz de feromonas. • Existe una función de evaluación, que combina los factores de las dos funciones de CHAC. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

34. Mono-CHAC DESCRIPCIÓN • Solo utiliza una regla de transición, la proporcional pseudoaleatoria clásica de los SCH estándar. • No utiliza el parámetro l. • Se hace una actualización local de feromona cada vez que se añade un nuevo nodo a una solución. • Se hace una actualización global de feromona, pero únicamente se aplica a los arcos de la mejor solución. • La estructura del algoritmo es igual que la de CHAC, excepto por la consideración de una sola solución en lugar de un Frente de Pareto. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

35. CHAC-4 DESCRIPCIÓN • Interpretación del problema para considerar 4 objetivos. Cada uno de los criterios se subdivide en 2 objetivos: • Rapidez  consumo de recursos y • distancia media al destino • Seguridad  consumo de salud y visibilidad • Es un SCH adaptado para tratar 4 objetivos. • Considera 4 funciones heurísticas, cada una dedicada a minimizar uno de los objetivos. • Considera 4 matrices de feromonas, una por objetivo. • Existen 4 funciones de evaluación, una por objetivo. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

36. CHAC-4 DESCRIPCIÓN • Considera dos reglas de transición, RTC y RTD. • Utiliza el parámetro l (en RTC). • Se hace una actualización local de feromona cada vez que se añade un nuevo nodo a una solución. • Se hace una actualización global de feromona, pero únicamente se aplica a los arcos de las soluciones en el Frente de Pareto. • La estructura del algoritmo es igual que la de CHAC, trabajando nuevamente con un conjunto de soluciones no dominadas. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

37. CHAC-N DESCRIPCIÓN • Generalización de los anteriores. • Aplicable a cualquier problema multiobjetivo resoluble con OCH. • Trabaja con N funciones heurísticas, N matrices de feromona y N funciones de evaluación, una por cada objetivo. • Considera dos reglas de transición, RTC y RTD. • Se hace una actualización local de feromona cada vez que se añade un nuevo nodo a una solución. • Se hace una actualización global de feromona, pero únicamente se aplica a los arcos de las soluciones en el FP. • La estructura del algoritmo es igual que la de CHAC, considerando un conjunto de soluciones no dominadas. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

38. Definición del problema • Problemas multiobjetivo • Optimización basada en colonias de hormigas • Familia de algoritmos CHAC • ALGORITMOS ADAPTADOS • MOACS • BIANT • GREEDY MO • Experimentos y Resultados • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

39. MOACS DESCRIPCIÓN • SCH propuesto por Barán et al. en 2003, para la resolución del VRPTW. • Propiedades: • Utiliza una sola matriz de feromonas para dos objetivos. • Considera las mismas funciones heurísticas que CHAC. • Utiliza la RTC. • Usa el parámetro l, pero siguiendo la filosofía de CHAC (valor fijo para todas las hormigas). • Hace reinicialización de feromona si no se mejora el FP. • actualización local de feromona. • actualización global de feromona (soluciones en el FP). • La estructura del algoritmo es similar a la de CHAC, considerando un conjunto de soluciones no dominadas, pero con el mecanismo de reinicialización. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

40. BIANT DESCRIPCIÓN • SH presentado por Iredi et al. en 2001, para la resolución del SMTTP. • Propiedades: • Utiliza 2 matrices de feromonas. • Considera las mismas funciones heurísticas que CHAC. • Utiliza una RTE similar a la RTC, pero sin considerar q0. • Usa el parámetro l, pero siguiendo la filosofía de CHAC (valor fijo para todas las hormigas). • Se hace una única actualización global de feromona, una vez han terminado todas las hormigas de cada iteración. Evaporación de todos los arcos +aporte de las soluciones dentro del FP. • La estructura del algoritmo es similar a la de CHAC, con soluciones no dominadas, pero considerando la RTE de un SH, no hay actualización local de feromona y la actualización global incluye evaporación y aporte. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

41. GREEDY MO DESCRIPCIÓN • Enfoque greedy (voraz) clásico adaptado a un problema multiobjetivo (con 2 objetivos). • Se basa en elegir siempre los elementos más prometedores en cada paso. • Muy simple, construye la solución en 1 sola iteración  muchas veces no encuentra solución. • Adaptación al problema: • Elegirá como nodo siguiente aquel que domine a más vecinos según una comparativa de funciones de coste. • Considerará como funciones de coste las funciones heurísticas de CHAC (hr y hs). • No utiliza el parámetro l. • Tiene un componente estocástico soluciones diferentes en diferentes iteraciones/ejecuciones. • Si se ejecuta varias iteraciones, puede obtener un conjunto de soluciones no dominadas. • Añade backtracking hasta 3 niveles evita estancamientos Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

42. Definición del problema • Problemas multiobjetivo • Optimización basada en colonias de hormigas • Familia de algoritmos CHAC • Algoritmos adaptados • EXPERIMENTOS Y RESULTADOS • Conclusiones Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

43. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS CONSIDERACIONES PREVIAS • Se han analizado todos los algoritmos en los mismos mapas, con la misma configuración de parámetros. • Los resultados han sido obtenidos para l = 0,9 y l= 0,1 (los extremos con l = 1 y l = 0). • Todos los algoritmos obtienen un conjunto de soluciones, excepto mono-CHAC. • Se muestran las mejores soluciones obtenidas de entre todos los FPs. • Fr es el coste en rapidez/recursos y Fs es el coste en seguridad/salud. • En última instancia las soluciones de todos los algoritmos han sido evaluadas usando esas funciones, incluso las de Mono-CHAC y CHAC-4. Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

44. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS DESCRIPCIÓN DEL MAPA DE EJEMPLO El mapa ejemplo a resolver es: Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

45. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS CHAC-RTC 1500 iteraciones - 50 hormigas Más Rápido (l = 0,9) Más Seguro (l = 0,1) Fr = 80,5 Fs = 7,3 Fr = 68,5 Fs = 295,4 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

46. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS CHAC-RTD 1500 iteraciones - 50 hormigas Más Rápido Más Seguro Fr = 102,5 Fs = 9,5 Fr = 70,5 Fs = 295,6 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

47. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS CHAC-4-RTC 1500 iteraciones - 50 hormigas Más Rápido (l = 0,9) Más Seguro (l = 0,1) Fr = 89,0 Fs = 8,3 Fr = 70,0 Fs = 305,5 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

48. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS CHAC-4-RTD 1500 iteraciones - 50 hormigas Más Rápido Más Seguro Fr = 77,37 Fs = 9,4 Fr = 71,0 Fs = 305,6 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

49. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS Extremo-CHAC-RTC 1500 iteraciones - 50 hormigas Extremad. Rápido (l = 1) Extremad. Seguro (l = 0) Fr = 80,5 Fs = 7,3 Fr = 68,5 Fs = 295,4 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García

50. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS extremo-CHAC-RTD 1500 iteraciones - 50 hormigas Extremad. Rápido Extremad. Seguro Fr = 93,0 Fs = 9,0 Fr = 72,0 Fs = 285,8 Resolución del PMCOMO mediante OCH – Antonio M. Mora García