1 / 51

MATRIKS

MATRIKS. Trihastuti Agustinah. DEFENISI. Susunan segiempat ( rectangular array ) dari bilangan-bilangan Ukuran ( size ) matriks: banyaknya baris dan kolom Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris Notasi: matriks  huruf besar

skah
Télécharger la présentation

MATRIKS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MATRIKS Trihastuti Agustinah

  2. DEFENISI • Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan • Ukuran (size) matriks: • banyaknya baris dan kolom • Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom • Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris • Notasi: • matriks huruf besar • kuantitas numerik dalam matriks  huruf kecil

  3. Notasi entry • Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks Aaij • Matriks Amxn: • Notasi kompak [aij]mxn atau [aij] • Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A)ij = aij

  4. Notasi (lanj.) • Notasi matriks baris dan kolom: • Huruf kecil cetak tebal • Contoh: • Matriks A dengan n-baris dan n-kolom • Matriks bujursangkar orde-n • Entri a11, a22, …, ann diagonal utama dari A

  5. Operasi-operasi matriks (1) • Matriks A dan B adalah sama • Ukuran sama • Entri yang bersesuaian sama • Jadi, A=B ↔ (A)ij=(B)ij atau aij=bij • Contoh: • Jika x = 4, maka A=B

  6. Operasi-operasi matriks (2) • Ukuran matriks A dan B adalah sama • Jumlah A+B • Matriks • Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian • SelisihA–B

  7. Operasi-operasi matriks (3) • A: matriks dan c: skalar • Hasilkali cA • Matriks • Perkalian tiap entri A dengan c

  8. Contoh 1

  9. Kombinasi linear • Matriks A1, A2, …, An berukuran sama • c1, c2, …, cn adalah skalar • Ekspresi disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien c1, c2, …, cn

  10. Contoh 2 • Matriksdari contoh 1 kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3

  11. Hasilkali matriks • Matriks Amxr dan Brxn • Hasilkali AB: • Contoh:

  12. Partisi matriks (1) • Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil • menyisipkan garis vertikal atau horizontal • diantara baris atau kolom • Contoh:

  13. Partisi matriks (2) • Contoh:

  14. Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1) • Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya • Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

  15. Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2) • Jika matriks baris dari A: a1,a2, …, am dan matriks kolom dari B: b1,b2, …, bn • Maka: dan

  16. Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB:

  17. Perkalian matriks: kombinasi linear • Cara alternatif perkalian matriks

  18. Contoh 4 • Perkalian matriks: • Dengan kombinasi linear

  19. Contoh 4 (lanj.) • Perkalian matriks: • Dengan kombinasi linear

  20. Sistem linear: bentuk matriks • Sistem persamaan linear • m persamaan • n unknown

  21. Sistem linear (2) • Pers. matriks • Perkalian matriks

  22. Sistem linear (3) • Notasi pers. matriks • Augmented matriks

  23. Transpos • Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, AT adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A • Transpos matriks A bujursangkar:

  24. Trace • Matriks A bujursangkar • Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama

  25. Sifat-sifat operasi matriks • Asumsi ukuran matriks berikut sesuai • Operasi berikut adalah valid

  26. Matriks nol • Matriks yang seluruh entrinya nol • Operasi matriks nol

  27. Matriks identitas • Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol • Notasi: I • Jika ukuran diperhatikan: In • A matriks mxn, maka

  28. Invers matriks • A dan B matriks bujursangkar berukuran sama • Terdapat hubungan AB=BA=I • Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A • Contoh: matriks A dan B • Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A

  29. Sifat-sifat invers (1) • Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! • Perkalian A dengan invers A = matriks identitas • AA-1 = I atau A-1A = I • A dan B berukuran sama • AB dapat-dibalik • (AB)-1 = B-1A-1

  30. Contoh 4 • Matriks:  • Invers dari matriks tersebut • dan

  31. Sifat-sifat invers (2) • Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila ad–bc≠0 • Rumus:

  32. Pangkat dari matriks (1) • A matriks bujursangkar • A0=I • n>0 • Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A:

  33. Pangkat dari matriks (2) • Jika A dapat-dibalik, maka • A-1 dapat-dibalik dan (A-1)-1 = A • An dapat-dibalik dan (An)-1 = (A-1)n • k: skalar, matriks kA dapat-dibalik dan • Contoh: • Dapatkan A-3

  34. Sifat-sifat transpos • Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: • ((A)T)T = A • (A  B)T = AT  BT • (kA)T = kAT • (AB)T = BTAT • Jika A dapat-dibalik, maka AT juga dapat-dibalik (AT)-1 = (A-1)T

  35. Matriks elementer • Matriks nxn disebut matriks elementer: diperoleh dari matriks identitas In melalui satu operasi baris elementer • Contoh matriks elementer dan operasinya • Kalikan kedua dari I2 dengan -3 • Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I4

  36. Matriks elementer • Contoh matriks elementer dan operasinya • Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama • Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

  37. Note: Operasi baris elementer: • Kalikan baris dengan konstanta tidak nol • Pertukarkan dua baris • Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya

  38. Perkalian matriks dengan matriks elementer • Matriks elementer E: hasil operasi baris pada Im • A: matriks mxm • EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A • Contoh: matriks

  39. Perkalian matriks dengan matriks elementer • Matriks elementer E: • Tambahkan 3 kali baris pertama dari I3 pada baris ketiga • Matriks EA: • Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A

  40. Metode membalik matriks (invers) • Cara mendapatkan invers dari matriks A • Lakukan operasi baris elementer  reduksi A menjadi I • Lakukan operasi yang sama pada I • Prosedur: • Bentuk matriks: [A | I] • Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I • Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A-1]

  41. Prosedur: invers matriks • Contoh: dapatkan invers dari Bentuk matriks [A : I] Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

  42. Prosedur: invers matriks Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Kalikan baris ketiga dengan -1 Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama

  43. Prosedur: invers matriks Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Invers A:

  44. Matriks tidak dapat-dibalik • Matriks Anxn tidak dapat-dibalik • Tidak dapat direduksi menjadi In • Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol • Komputasi dihentikan • Contoh:

  45. Matriks diagonal • Matriks bujursangkar • Entri nondiagonal utama bernilai nol • Dnxn: • Ditulis juga dalam bentuk:

  46. Matriks diagonal • Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol • Invers matriks diag. • Pangkat matriks diag.:

  47. Perkalian matriks dengan matriks diag. • Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian • Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian

  48. Matriks segitiga (triangular) • Lower triangular • Upper triangular

  49. Matriks simetris • Matriks bujursangkar • A = AT • Jika dan hanya jika aij= aji • Contoh:

  50. Hasilkali matriks • Matriks Amxndan ATnxm • Hasilkali AAT (berukuran mxm) dan ATA (berukuran nxn) • matriks bujursangkar • simetris • Contoh: • Dapatkan AAT dan ATA

More Related