有限自动机 (Finite Automata)

有限自动机(Finite Automata) 描述程序设计语言中的单词的识别过程。主要内容： • 确定有限自动机DFA(Deterninistic FA) • 确定有限自动机DFA的实现 • 非确定有限自动机NFA(Nondeterninistic FA) • NFA到DFA的转换 • DFA的化简

确定有限自动机DFA • 确定有限自动机DFA为一个五元组 (,SS,S0,f,TS)，其中： • 是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入字符； • SS是一个有穷集，它的每个元素称为一个状态； • S0SS是唯一的一个初始状态； • f是在 SS   SS上的转换函数 • TSSS，是一个终止状态集，又称为接受状态集

DFA的两种表示方式 • 状态转换图：结点表示状态，转换边表示转换函数，边的箭头方向指向转换函数中定义的转换方向。标识出初始状态和终止状态。 • 状态转换表：可用二维数组描述。标识出初始状态和终止状态。 Trans（ SI ，a）＝ SJ

一个DFA的例子 • DFA M=( {a,b}, {S,U,V,Q}, S, f, {Q} ), • 其中 f 定义为： f ( S, a )=U f ( V, a )=U f ( S, b )=V f ( V, b )=Q f ( U, a )=Q f ( Q, a )=Q f ( U, b )=V f ( Q, b )=Q

a a a,b b a S U V Q b b 状态转换图

状态转换表

DFA接受的字符串 • 对于*中的任何字符串t,若存在一条从初始结点到某一终止结点的路径，且这条路上所有弧的标记符连接成的字符串等于t,则称t可为DFA M所接受（识别）。 • DFA M 所能接受的字符串的全体记为L(M).

DFA的确定性 • 初始状态唯一。 • 转换函数f:SSSS是一个单值函数，也就是说，对任何状态SSS,和输入符号a  , f(S,a)唯一地确定了下一个状态。即转换函数至多确定一个状态。 • 没有空边。即没有输入为（）

DFA的实现1 • 状态转换表的形式：（数组T存放转换函数） 1.当前状态State置为初始状态 2.读一个字符  CurrentChar 3.如果CurrentCharEof并且 T(State,CurrentChar)error 则当前状态转为新的状态T(State,Current)，读下一字符。重复第3步工作。 4.如果当前字符为Eof并且当前状态属于终止状态，则接受当前字符串，程序结束。否则报错 • 特点：程序短小，但占用存储空间多

DFA的实现2 • 状态转换图的形式： • 每个状态对应一个带标号的case语句 • 转向边对应goto语句 • 特点：程序长，但占用存储空间少 Li: case CurrentChar of a ：goto Lj b : goto Lk other : Error( ) j a i b k

非确定有限自动机NFA • 定义1：一个非确定有限自动机(NFA)A是一个五元组A=(,SS,S0,f,TS).其中 • 是字母表 • SS是状态集 • S0是初始状态集 • f是转换函数，但不要求是单值的 • f: SS  (∪{}) 2SS • TS是终止状态集

非确定有限自动机NFA • 定义2：设A是一个NFA，A= (,SS,S0,f,TS) • 则定义L(A)为从任意初始状态到任意终止状态所接受的字符串。 L(A)={|s0s’, s0 S0s’TS} • 定义3：设A1和A2是同一个字母表上的自动机，如果有L(A1)=L(A2),则称A1和A2等价。

NFA到DFA的转换 • 定理对于每一个非确定自动机A,存在一个确定自动机A’,使得L(A)=L(A’). • 转换：符号合并同一状态的不同输出边标有相同的字符。 合并含有边

NFA到DFA的转换 • 符号合并：A：NFA, A’:DFA 1.令A’的初始状态为S0’=[S1,S2,…Sk], 其中S1…Sk是A的全部初始状态。 2.若S’=[S1,…,Sm]是A’的一个状态， a则定义 f’(S’,a)=f(S1,a)f(S2,a)…f(Sm,a) 3.若S’=[S1,…,Sn]是A’的一个状态,且存在一个Si是A的终止状态，则令S’为A’ 的终止状态。

NFA到DFA的转换 • 合并（Close(S)） 1.对S状态寻找边，如果有令Ss＝{S} 2.对任意状态SiSs,如果有：f(Si,)=Sj则消除边：Ss= SsSj 重复上述操作直至没有边 3.对a f(Ss,a)=  f(Sk,a) Ss={S1,…,Sm},k=1,…,m. 4.如果Ss中包含初始状态则Ss也为初始状态，如果有终止状态，则Ss为终止状态。

NFA到DFA的转换 NFA到DFA的转换过程: 1. NFA初始状态集的合并集作为DFA的初始状态。 2. 对DFA中一状态S，对a,进行符号合并和合并得到的状态设为S’,定义DFA的转换函数为f(S,a)=S’. 3. 直至没有新状态产生为止。

 a 2 3     a b b 0 10 1 6 7 9 8   b 4 5  例：将如下的NFA转化为DFA

DFA的化简（极小化） • 状态等价对DFA中的两个状态S1和S2，如果将它们看作是初始状态，所接受的符号串相同，则定义S1和S2是等价的。 • 方法状态合并法状态分离法

DFA的化简 • 状态合并法（状态吸收方法）寻找等价状态S1和S2 如果S2为初始状态，则S1和S2对调 S2的出现修改为S1 删除状态S2。 • 状态分离法初始化为两个不等价状态集组：非终止状态组和终止状态组。对每组中的某个状态分离出与之不等价的状态组，直至所有状态组内部状态都等价为止

正则表达式与有限自动机等价 定理：对任一确定有限自动机A，存在一正则表达式e,使得L(A)=L(e),反之亦然。关系图： NFA 正则表达式 DFA

a b a b 1 2 3 1 3 a a | b 1 2 1 2 b b b*   1 3 2 3 1 正则表达式到FA的转换规则：  W • 首先扩展转换图： X

a b a b 1 2 3 1 3 a a | b 1 2 1 2 b b a b*c c a 1 3 2 3 1 DFA到正则表达式的转换规则：

输入流 词法分析器（Scanner） TokenList error DFA NFA 词法描述（正则表达式）词法分析器的工作过程

词法分析器的设计 • 人工构造词法分析器过程： 1.确定词法分析器的接口，即确定词法分析器是作为语法分析的一个子程序还是作为独立一遍。 2.确定单词分类和Token结构。 3.根据2步，构造每一类单词的描述正则表达式NFADFA。 4.根据3步设计算法实现DFA。 • 利用工具自动生成：ScanGen Lex

词法分析器lexyy.c 正则表达式文件 Lex.l C编译器 Lex Token 序列输入流 a.out 词法分析器的生成器－Lex • 功能：依据语言的正则表达式，自动生成该语言的词法分析程序。 • 执行过程：

Lex中的元字符 • [abc] ：字符a、b或c中的任一个。 • a? ：一个可选的a。 • [^ab] ：除了a、b外的任何一个字符。 • . ：除了新行之外的任一字符。 • \. ：字符 “.”。 • {xxx}：名字为xxx的正则表达式。 • [a-z] ：a到z中的任一字符。为了与减号区别，减号表示为“\-”。

Lex输入文件的格式 • 输入文件格式： {declarations} %% {rules} %% {auxiliary procedures} %{声明变量,常量%} 正则定义 p {action}

例子 %{ LT, LE, IF, THEN, ELSE #include <stdio.h> int count =0; %} letter [A-Za-z] digit [0-9] id {letter} ({letter}| {digit})* %% if {return (IF);} {id} {yylval = installid();return (ID);} “<” {yylval = LT; return (RELOP);} %% installid() { …… }

单元总结 • 两个工具：有限自动机、正则表达式 • 三个算法：正则表达式到FA的转换 NFA到DFA的转换 DFA的化简 • 一个实现： DFA的实现

作业： • 构造正则表达式 (a|b)*abb(a|b)*的最简 DFA。要求先构造NFA，其次转换为DFA，最后加以极小化。 • 书上 Pp58 第8题附加题： • 分别构造{}和的自动机

有限自动机 (Finite Automata)