1 / 11

Analisa Numerik

Analisa Numerik. Persamaan Diferensial Biasa 2. Formula Langkah Ganda (Multistep). Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1) titik, x n , x n-1 , ..., x n-m. (8-44). Formula Langkah Ganda (Multistep). Dlm. notasi Newton backward formula

step
Télécharger la présentation

Analisa Numerik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 2

  2. Formula Langkah Ganda (Multistep) Aproksimasi f(x, y) dng. polinom yg. menginterpolasi f(x, y) pada (n+1) titik, xn, xn-1, ..., xn-m. (8-44)

  3. Formula Langkah Ganda (Multistep) • Dlm. notasi Newton backward formula masukkan polinom ini ke (8-44), mk. didapat : di mana utk. m = 4, 0 = 1, 1 = 1/2, 2 = 5/12, 3 = 3/8, 4 = 2/720, m = 0, Euler Formula (8-45) disebut metode Adams-Bashforth. (8-45)

  4. Formula Langkah Ganda (Multistep) • Pemakaian Tabel-Difference (m = 3) xn-3 yn-3 fn-3 fn-3 xn-2 yn-2 fn-2 2fn-2 fn-2 3fn-3 xn-1 yn-1 fn-1 2fn-2 fn-1 xn yn fn (8-45) menjadi : yn+1 = yn + h(fn + ½ fn-1 + 5/12 2fn-2 + 3/8 3fn-3) Dng. memakai definisi ifs, diperoleh : yn+1 = yn + h/24 (55fn - 59 fn-1 + 27 fn-2 - 9 fn-3) Dng. kesalahan : EAB = h5yv() 251/720

  5. Catatan • Formula langkah ganda tidak dapat berjalan tanpa adanya m-1 nilai awal. Nilai awal ini biasanya didapat dari metode langkah tunggal, biasanya order formula langkah tunggal = formula langkah ganda. • Koefisien metode Adams-Bashforth utk. O(hs), koefisien suku kesalahan lebih besar dibanding formula RK yg. juga O(hs). • Di setiap langkah xn ke xn+1, langkah ganda hanya perlu menghitung sekali harga f, sedang RK perlu harga f lebih dari 1. Jadi langkah ganda lebih cepat.

  6. Metode Prediktor-Korektor • Metode langkah ganda biasa, f(x, y) diinterpolasi pada titik xn, xn-1, …, xn-m. [tipe terbuka] • Metode langkah ganda prediktor-korektor, f(x, y) diinterpolasi pada titik xn+1, xn, xn-1, …, xn-m. [tipe tertutup] • diaproksimasi (dekati) oleh formula integral trapesium, mk. diperoleh : • Error formula ini : -(h3/12)y’’’, tetapi implisit (mengandung yn+1, di sebelah kanan).

  7. Metode Prediktor-Korektor • Untuk memulainya harus dipredik (taksir) dng. formula eksplisit (Euler, RK), baru lakukan iterasi (korektor). • Algoritma 8-4 Diberikan y’ = f(x, y), y(x0) = y0, h, xn = x0 + nh, n = 0, 1, ... • Hitung yn+1(0) dng. yn+1(0) = yn + hf(xn, yn) • Hitung yn+1(k) (k = 1, 2, ...) dng. yn+1(k) = yn + h/2[f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1(k-1))] sampai diberikan. • Catatan : • Iterasi 2 biasanya akan konvergen dng. cepat (k kecil) jika prediktor dan korektor punya order sama dan h cukup kecil. • Jika tidak konvergen, sebaiknya h diperkecil.

  8. Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) • f(x, y(x)) diinterpolasi pd. xn+1, xn, xn-1, ..., xn-m, m>0 • Dng. mengintegrasi dari xn ke xn+1, diperoleh di mana beberapa nilai ’k : ’0 = 1, ’1 = -1/2, ’2 = -1/12, ’3 = -1/24, ’4 = -10/720 utk. m = 2

  9. Metode Adams-Moulton (Prediktor-Korektor Order Tinggi) • Algoritma 8-5 Prediktor-korektor Adam-Moulton. Diberikan y’ = f(x, y), dng. h tetap, xn = x0 + nh, (y0, f0), (y1, f1), (y2, f2), (y3, f3) , n = 3, 4, ... • Hitung yn+1(0) dng. formula : (Adam-Bosforth) yn+1(0) = yn + h/24 (55fn – 59fn-1 + 37fn-2 – 9fn-3) • Hitung fn+1(0) = f(xn+1, yn+1(0)) • Hitung : (k = 1, 2, ...) yn+1(k) = yn + h/24[9f(xn+1, yn+1(k-1) + 19fn – 5fn-1 + fn-2] • Iterasikan pada k sampai diberikan.

  10. Menaksir Kesalahan • Adams-Bashforth : y(xn+1) – yn+1(0) = 251/720 h5yv(1) y(xn+1) – yn+1(1) = -19/720 h5yv(2) • Secara umum (1 ≠ 2), tapi jika dianggap yv konstan, di interval [x0, xk] Jd. h5yv = 720/270 (yn+1(1)-yn+1(0)) Jd. y(xn+1) – yn+1’ = -19/270 (yn+1(1) – yn+1(0))  -1/14 (yn+1(1) – yn+1(0)) = Dn+1

  11. Implementasi Secara Umum • Diasumsikan, kesalahan lokal per langkah, satuan terbatas (Toleransi) • Hitung yn+1(0), fn+1(0) • Hitung yn+1(1), fn+1(1) • Hitung |Dn+1| • Jika E1  |Dn+1|/h  E2, lanjutkan ke n+2, dng. h yg. sama. • Jk. |Dn+1|/h > E2, h terlalu besar, h = h/2, hitung 4 nilai-nilai awal (dng. formula RK) & kembali ke 1 • |Dn+1|/h < E1, lebih akurat, h = 2h, hitung 4 nilai awal, lanjutkan ke n+2.

More Related