1. Povrchy a objemy hranatých a rotačných telies Pavel Kollár 3.F 2010/2011 Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského

2. Obsah • Rotačné telesa: Valec Kužeľ, Zrezaný kužeľ Guľa Hranaté telesa: Hranol Ihlan, Zrezaný ihlan Kváder Kocka

3. Rotačné telesá • O telese T v priestore hovoríme, že priamka t je osou jeho rotácie a že je rotačným telesom, ak sa zobrazí samo na seba pri každom otočení okolo priamky t. • Ak za množinu U zvolíme pravouholník ABCD, ktorého vrcholy A,B ležia na priamke t, dostaneme rotačný valec s výškou AB a polomerom BC. • Ak za množinu U zvolíme pravouhlý trojuholník ABC, ktorého vrcholy A,B ležia na priamke t a pravý uhol je pri vrchole B, dostaneme rotačný kužeľ s výškou AB a polomerom podstavy BC. • Ak za množinu U zvolíme polkruh nad priemerom AB, pričom , dostaneme guľu s priemerom AB. Rotačné telesá sú:Valec, kužeľ, zrezaný kužeľ, guľa

4. Valec Rotačný valec je priestorový útvar s dvoma rovnako veľkými kruhovými podstavami s polomerom r (alebo priemerom d) a priestorovou výškou v • Objem valca : V = πr2v • Povrch valca : S = 2πr(r + v)

5. Kužeľ • Kužeľ je špicaté teleso s kruhovou základňou, ktorej všetky body sa zbiehajú do jedného bodu, ktorý sa nazýva vrchol • Objem kužeľa : V = ⅓πr2v • Povrch kužeľa : S = π· r · (r + s) s- strana kužeľa

6. Zrezaný kužeľ Objem zrezaného kužeľa : V =⅓πv(r1²+r1r2+r2²) Povrch zrezaného kužeľa : S = π(r1²+r2²)+Q Q = πs(r1 + r2)

7. Guľa • Množina bodov v metrickom priestore, ktoré sú vzdialené od pevného bodu menej než pevne dané číslo • Objem gule : V = 4/3πr³ • Povrch gule : S =4πr2

8. Hranaté telesá • Hranol, ihlan, zrezaný ihlan, kocka, kváder • Hranol • Majme v priestore rovinu ρ, v nej konvexný mnohouholník A1A2...An. Nech A1´ je bod, ktorý neleží v ρ. • Existuje práve jedno posunutie pri ktorom sa A1 zobrazí na A1´, rovina ρ na rovinu ρ´ a mnohouholník A1A2...Ansa zobrazí naA1´A2´...An´. • Ak bod X postupuje po mnohouholníku A1A2...An, vyplní jeho obraz X´ mnohouholník A1´A2´...An´ a úsečka XX´ (všetky jej body) vytvoria teleso, ktoré sa nazýva hranol. • Ak postupuje bod X iba po obvode mnohouholníku, vytvorí úsečka XX´ iba plášť. • Hranol sa skladá z bočných stien (rovnobežníkov) a z podstáv. • Steny hranola: bočné steny, podstavy • A1A2...An, A1´A2´...An´ - podstavy • Podľa hodnoty n rozlišujeme hranol na : trojboký, štvorboký, .. n-boký hranol • Ak smer posunutia je kolmý na rovinu podstavy, hovoríme o kolmom hranole. Ak nie, tak je šikmý – kosí hranol. • Kolmý hranol, ktorého podstavy sú pravidelný mnohouholník, nazývame pravidelný n-boký hranol. • Hranol, ktorého podstavy sú rovnobežníky sa nazýva rovnobežnosten. • Rovnobežnosten, ktorého všetky steny sú pravouholníky je kváder. Ak každý z pravouholníkov je štvorec, kváder je kockou

9. Hranol • Objem : V = Spv • Povrch : S = 2Sp + Q

10. Ihlan • Objem : V = Spv • Povrch : S = Sp + Q

11. Zrezaný ihlan • Objem : V = ⅓v(Sp1+√Sp1Sp2 + Sp2) • Povrch : S =Sp1 + Sp2+Q

12. Kváder • Objem : V = abc • Povrch : S = 2(ab+ac+bc)

13. Kocka • Objem : V = a3 • Povrch : S = 6a2

14. Ďakujem za pozornosť