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Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN. Plan. 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1h),TD 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2h), TP 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD

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Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

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Presentation Transcript

  1. Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

  2. Plan • 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1h),TD • 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2h), TP • 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD • 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP • 5. Filtrage adaptatif (2h), TP • 6. Architecture des DSP (2h), TP • 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP

  3. 1. Les transformées du TS • Transformée de Fourier • Définition • Échantillonnage et périodisation • Signaux de durée limitée et signaux périodiques • Signaux échantillonnés de durée limitée • Signaux discrets • Transformée de Laplace • Définition • Relation avec la transformée de Fourier • Transformée en Z • Définition • Relation avec la transformée de Fourier • Relation avec la transformée de Laplace

  4. 1.1 Transformée de Fourier (1811) • Définition • Quelques propriétés • Linéarité • X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] • x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire • x(t) réel pair  X(f) réel pair • x(t) réel impair  X(f) imaginaire impair • x(t)*y(t)X(f).Y(f) et x(t).y(t)X(f)*Y(f)

  5. Quelques relations • x(t)*d(t-t0)= x(t-t0)  X(f) exp(-2jp f t0) • x(t) exp(2 j p t f0)  X(f-f0) • x*(t)  X*(-f) • x(at)  |a|-1 X(f/a) • dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f) • Signaux importants • d(t) 1 • 1(t)½ d(f) + 1/(2 j p f ) • cos(2pf0t)[d(f-f0) +d(f+f0)]/2 et sin(2pf0t)[d(f-f0) -d(f+f0)]/2j • Sd(t+nT)FeSd(f+kFe) avec Fe=1/T • Rect(t)2a.Sinc(pfa)

  6. Échantillonnage et périodisation • Échantillonnage idéal... • ...Transformée de Fourier... •  ... périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle

  7. Transformée de X(f) x(t) Fourier 0 T t f Transformée Echantillonnage X (f) inverse de en fréquence e x (t) T Fourier 0 T 2T 0 1 2 f T T • Signaux de durée finie et signaux périodiques

  8. Transformée de X(f) x (t) e Fourier 0 NT t 0 1 f T Périodisation Transformée Echantillonnage X (f) de Fourier en fréquence e x (t) Te 1 f 0 NT 2NT 0 1 N T T • Signaux échantillonnés de durée finie

  9. Transformée de Fourier des signaux discrets • Signal discret x[k] • Transformée de Fourier discrète, périodique Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½ • Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 • Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus

  10. 1.2 Transformée de Laplace (1820) Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier • Définition en posant :

  11. Systèmes différentiels et Laplace Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t) Causal : N  M zéros • Fonction de transfert pôles Système stable||h(t)||1<   Re(pi) < 0

  12. Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f) w s=j r j -a • Relations entre Laplace et Fourier • H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace • Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t) un pôle en s=-a v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a

  13. 1.3 Transformée en Z • Définition Somme de série... donc problèmes de convergence ! • Quelques propriétés • Linéarité • Décalage temporel : • Convolution : • Multiplication par série exponentielle :

  14. Systèmes différentiels et TZ Causal : N  M • Fonction de transfert H(z)=TZ(h(t)) Système stable|pi|< 1

  15. Im(z) f=1/4 f croissante f=0 f=1/2 Re(z) -1 1 f=1 • Relations entre TZ et Fourier • z = exp(j2pf)  on restreint z au cercle unité On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité

  16. Relations entre Laplace et TZ Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné : = X(z) avec z=exp(sT) En posant s = r + jw= r +j2pf on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT) c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z

  17. Im(z) w Im(s)= 2pFe=2p/T f=0 f=1 Re(s)=r 0 Re(z) 0 1 Plan de Laplace Plan des Z

  18. |a|<1 f=0 r f=1 j - a Re(z) 0 1 Plan des Z • Interprétation géométrique de la TZ Périodicité de X(f)

  19. 2. Chaîne de traitement numérique du signal • Chaîne de traitement numérique • Échantillonnage • Échantillonnage idéal : Th. de Shannon • Filtre anti-repliement • Échantillonnage réel • Quantification • Pas, niveaux, erreur et bruit • Quantification scalaire uniforme linéaire • Quantification scalaire non uniforme, loi de compression • Restitution • Restitution idéale • Restitution réelle

  20. 2.1 Chaîne de traitement numérique du signal • Avantages des systèmes numériques • Faibles tolérances des composants • Sensibilité réduite, Précision contrôlée • Reproductibilité, pas de réglage • Souplesse, nombre d’opérations illimité • Systèmes non réalisables en analogique • Inconvénients • Inconvénients des systèmes numériques • Source d’énergie nécessaire • Limitations en haute fréquence • CAN/CNA • Bande passante nécessaire importante

  21. ) ) t f ( ( r R * ) ) t f ( ( a Y a y = = ) ) t f ( ( s S Filtre de restitution ) ) r(t), R(f) T Tf / ( t ( Sinc rect T * ) ) f t ( ( y Y = = ) ) t f ( ( a y Y a Convertisseur N/A ) kT - t ) ( ] z d k ( ] [ H h kT ) * [ z périodique ] y ( k å X [ x 18, 17, 14, 17, ...5, 9, 11, 16, = = = ) ) ] f ) z 20,... k t ( ( ( [ Y Y y y ) ) T n Système de kT numérique h[n],H(z) traitement - - t f ( ( d X ] å kT [ x 1 T 18, 17, 13, 17, å ...6, 9, 12, 15, = ) = 19,... f ) ) ] z ( t k ( ( e [ X X e x x Convertisseur A/N Echantillonneur- ) bloqueur et f ) t ( ( G g ) * f ) ( t E ( e = = ) ) f t ( ( x X Filtre passe-bas anti-repliement g(t), G(f) ) ) f t ( ( e E

  22. Filtre analogique anti-repliement • Eliminer les hautes fréquences • (Echantillonneur-bloqueur) • Maintien du signal à l’entrée du convertisseur • Convertisseur analogique numérique (CAN) • Convertir en binaire l’amplitude des échantillons • Système numérique de traitement • Calcul sur la suite de valeurs binaires • Convertisseur numérique analogique (CNA) • Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique • (Filtre de restitution) • Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA

  23. Température Jour Orage Nuit Nuit Temps 2.2 Echantillonnage • Problème • Mesurer la température mais ... pour quelle application ? • Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique. • Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100 (ou plus !) • Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile»

  24. Echantillonnage idéal Périodisation en fréquence

  25. Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon • Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible • Si Fe < 2 Fmaxil y a recouvrement de spectre • On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée

  26. Filtre anti-repliement • Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à Fe /2 • On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti-repliement • Le filtre anti-repliement définit Fmax !

  27. Xe(f) -f0 -Fe -e e f0 Fe • Illustration : stromboscope Fréquence d’échantillonnage Fe = f0+e Fréquence apparente e

  28. Échantillonnage réel • Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2 • Filtre anti-repliement non idéal • Filtre anti-repliement impossible (CCD) • Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition • Effet de l’échantillonneur-bloqueur • Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2 Fe > (2+k) Fmax

  29. 2.3 Quantification Réduction d ’un espace de valeurs Espace infini de valeurs  Espace fini de valeurs niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification (D)

  30. Erreur (ou bruit) de quantification xe(t) : signal échantillonné non quantifié xq(t) : signal échantillonné quantifié Le rapport signalsurbruit de quantification PS : puissance du signal m(t) PB : puissance du bruit de quantification

  31. Types de quantification • Quantification scalaire = échantillon par échantillon • Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur) • Quantification uniforme = plage constante • Quantification non uniforme • Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)

  32. Quantification scalaire uniforme linéaire • Plage de quantification D = cte • Niveau de quantification = milieu des plages • Nombre de niveaux : Nnq = dyn/D • Erreur de quantification : - D /2  e(t) <+ D /2

  33. La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire : où f() désigne la densité de probabilité de , supposée constante : La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité. Si elle est de typegaussienne avec mmax=3 Nnq=2N

  34. Bruit de quantification du CAN • Plage d’entrée du CAN P • Nombre de bits en sortie N • Pas de quantification D = P/2N Pour P= 8 sx (1 ech / 15000 > 4, sx) on a : Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio) il faut au moins N=16 bits.

  35. Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!) • Quantification scalaire non uniforme  dépend de l’amplitude du signal Erreur de quantification non constante

  36. Compression (loi) Quantification uniforme • Loi de compression Pré-traitement des valeurs et conservation d ’un quantificateur simple Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs Loi de compression logarithmique

  37. Loi de compression logarithmique A, m Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé : Les valeurs de A = 87.6 et  = 255 sont normalisées. (RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB

  38. 1 1 • Compression logarithmique par segment L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion réciproquesest impossible  Approximation par segments

  39. CAN (q = 2n) m(t) Quantification Codage Echantillonnage MIC qniveaux n bits fréquencefe • Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM) A chaque valeur échantillonnée et quantifiéemot de n bits -code- Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!

  40. L’utilisation d’un MIC à à compression par segments non uniforme (loi A) permet de coder les 256 niveaux de quantification par : n = log2 256 =8 bits Exemple :La téléphonie Fe=8 kHz D = 8 *8=64 kbit/s

  41. Filtre de X (f) restitution x (t) e e f t -1/T 0 F =1/T 2/T -F F T=1/F e MAX MAX e X(f) x(t) t F -F f 0 MAX MAX 2.4 Restitution • Restitution idéale, interpolateur idéal

  42. t = x ( t ) x ( t ) * Sinc ( ) e T t å = d - [ ] ( ) * ( ) x kT t kT Sinc e T • Interprétation temporelle • Filtrage passe-bas

  43. Interpolateur idéal de Shannon L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal

  44. x(t) t T • Restitution réelle (CNA), interpolateur d ’ordre N • Cas N=0 • Conséquences spectrale

  45. Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0 Filtre de restitution(analogique, passe-bas)

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