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Analysis – mehr als Tangenten und Flächen ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen Werkzeugen Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de. Vorgesehene Reihenfolge
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Analysis – mehr als Tangenten und Flächen ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen Werkzeugen Michael RüsingB. M. V. – SchuleBardelebenstraße 945147 Essen michael@ruesing-essen.de
Vorgesehene Reihenfolge • Darstellung eines Einstiegs in die Differentialrechnung mit CAS • Teile des Einstiegs, die mit GTR möglich sind • Einstiege der Teilnehmerinnen und Teilnehmer • Konsequenzen in der S I • Vergleich von Abituraufgaben mit und ohne CAS • Einstieg in die Integralrechnung Zwischendurch: Unterbrechungen, Kommentare, Fragen, Änderungswünsche
Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht • beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen, • durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten, • mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen, • durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten. Bildungsstandards
Einstieg in die Differentialrechnung Voraussetzungen Änderungsrate ist bei linearen Funktionen bekannt Intuitiver Grenzwertbegriff ist vorhanden
Einstiegsaufgabe zur Differentialrechnung Schilderung eines Problemzusammenhangs An einer meteorologischen Messstation werden verschiedene Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der Regenwasserstand ist. Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des Wasserstandes registriert, ergibt sich eine Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten.
Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen Wie hoch steht das Wasser nach 8 Stunden? Wann steht das Wasser 5 cm hoch? Um wie viel ist der Wasserstand von 10 Uhr bis 11 Uhr gestiegen?
Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen Hat es um 15.00 Uhr stärker geregnet oder um 16.00 Uhr?
Zweiter Lösungsansatz Erster Lösungsansatz Also hat es um 16.00 stärker geregnet. In der 16. Stunde ist mehr Regen gefallen als in der 17.
wird verglichen mit Dritter Lösungsansatz Die Werte werden so klein und sind nicht mehr miteinander vergleichbar.Wie entscheidet man, ob es von 15 bis 15,5 heftiger geregnet hat als von 15 bis 15,1? Wähle ein gemeinsame Bezugsgröße, etwa eine Stunde:
Verallgemeinerung Bisher berechnet:durchschnittliche Regenheftigkeit in Intervallen Beobachtung:Je kürzer das Intervall, desto besser stimmt der Durchschnittswert mit der Heftigkeit des Regens zu dem gewünschten Zeitpunkt überein. Erinnerung:Grenzwertbildung
Term (unendlich viele Durchschnittswerte) als Voraussetzung für Grenzwertbildung Im Unterricht beobachtete Alternativen Alle Alternativen sind brauchbar
Vorteile des Einsatzes von CAS „Analysis ist schwer, weil man dabei so viel rechnen muss“ Neu zu lernen notwendiges Werkzeug algebraische Vereinfachung schwer leicht Schülermeinung Durch den Einsatz von CAS werden Schwierigkeiten isoliert
Kombinieren der Schwierigkeiten Bei welchen Funktionstypen sollen die Schüler die Umformung des Differenzenquotienten ohne Technologie leisten? Zu welchem Zeitpunkt soll das geschehen? Erwartete Schülerlösung: Klausuraufgabe: Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung Bestimmen Sie als Grenzwert ohne Technologie
Beispielaufgabe Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist gegeben durch die Funktion mit der Gleichung: Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und 24.
Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages? • Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann leer? • Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter? • Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während des Tages? • Zu welchem Zeitpunkt ist die Verbrauchsrate maximal? • Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauchsrate minimal? • Wie groß ist die minimale bzw. maximale Verbrauchsrate?
Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Differentialrechung. Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein. Noch nicht bekannt: Ableitungsregeln Ableitungsfunktion von CAS
Vergleich der Unterrichtsgänge zur Differentialrechnung Motivierendes Einführungsbeispiel Kriterium: interessanter Kontext Anwendungen: neue Begriffe mit Hilfe der Ableitung Ableitungsregeln werden an den Beispielen entdeckt Kriterien als Hilfsmittel zum Aufstellen von Funktionsgleichungen
Übertragen Sie die vorgestellten Möglichkeiten auf Ihren eigenen Unterricht. Welchen Einstieg verwenden Sie für die Differentialrechung? Diskutieren Sie, ob dieser Einstieg durch die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln unterstützt werden kann. Notieren Sie, an welchen Stellen eine Unterstützung sinnvoll sein kann. Bevorzugen Sie dabei GTR oder CAS?
http://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdfhttp://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdf
Interview mit einer 36jährigen Akademikerin Aufgabenstellung des Versuchsleiters: An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung in S und P aus.
Konkretisierung nach Diskussion Gleichung zu einem Graphen Zeichnung einer Schülerin
Einigung auf Modellierung durch eine Funktion 5. Grades: Forderungen an die Funktion
Umkehraufgaben zur Differentialrechnung Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher Fragestellung der Rechenansatz passt: a) b) c) d) e)
