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ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

. . . . Math. Contenu du cours. Elments de calcul des tenseurs (1-2). I-2. Calcul statique Equilibre (2-4). Proprits mcaniques des matriaux. Concept de Poutre. Scurit Etats Limites. Traction Compression Flexion Torsion Cisaillement Combinaisons. Dformation lastique des poutres. I-

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    1. ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES AM Habraken - JP Jaspart 2011 2012

    2. Contenu du cours Elments de calcul des tenseurs (1-2) I-2

    3. I-3 Elments de calcul des tenseurs

    4. I-4 Elments de calcul des tenseurs X y z x1 X2 X3 indice varie de 1 3X y z x1 X2 X3 indice varie de 1 3

    5. I-5 Symboles dans la notation dEinstein Kronecker delta: Symbole de permutation : Elments de calcul des tenseurs

    6. I-6 Scalaire Un scalaire s est un tre mathmatique une seule composante (30) et invariant lors dun changement de repre exemples: masse, volume, temprature, nergie, ... Elments de calcul des tenseurs

    7. I-7 Vecteur un vecteur V est un tre mathmatique 31 composantes qui, lors dun changement de repre: se transforme selon la formule un vecteur V est un tre mathmatique qui, toute direction de lespace n associe un salaire Vn au moyen dune expression linaire et homogne en les cosinus directeurs nj de cette direction: exemples: force, vitesse, acclration, flux de chaleur Elments de calcul des tenseurs La premire q nest pas une nouvelle dfinition vu que cij = ei epj je meultiplie cette dfinition par epj et jy suisLa premire q nest pas une nouvelle dfinition vu que cij = ei epj je meultiplie cette dfinition par epj et jy suis

    8. I-8 Un tenseur du 2me ordre Un tenseur du 2me ordre est une entit mathmatique 32 composantes qui, lors dun changement de repre se transforment selon les formules: Un tenseur du 2me ordre est une entit mathmatique qui toute direction n de lespace, associe un vecteur Tn au moyen dune expression linaire et homogne en les cosinus directeurs nj de cette direction: avec et donc Elments de calcul des tenseurs T j cest une ligneT j cest une ligne

    9. I-9 Champs de tenseurs (voir vos cours de mcanique, de physique) Oprateur drive Oprateur double drive Oprateur Laplacian Elment de calcul des tenseurs

    10. I-10 Etude des vecteurs Addition Produit scalaire Module Divergence Exercice tableau div dun champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et cest vrai que cest de + en + divergeantExercice tableau div dun champ constant 0 un mvt de corps rigide n est surement pas divergent, div de (x 0 0 ) de (X Y 0) de (X Y Z ) vaut 1 2 3 et cest vrai que cest de + en + divergeant

    11. I-11 Produit vectoriel Rotationnel Etude des vecteurs Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un et que cela marche avec le e =0 ds que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essay bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2 Produit vectoriel 1ere coord je cache colonne 1 et determinant de ce qui reste et ainsi de suite sauf que pour la colonne du milieu on ajoute un et que cela marche avec le e =0 ds que 2 indices = +1 si indice dans ordre OK et -1 sinon Le rot des champ essay bloc rigide ou (X 0 0 ou (X Y 0) ou (X Y Z ) vaut 0 0 0 mais (-y x 0) qui tourne ne vaut pas 0 mais + 2

    12. I-12 Reprsentation gomtrique du tenseur symtrique A Croix des valeurs principales Etude des tenseurs du second ordre

    13. I-13 Forme spectrale du tenseur A Etude des tenseurs du second ordre

    14. I-14 Calcul des fonctions dun tenseur symtrique A Etude des tenseurs du second ordre Les puissance entire permettent de reprsenter sin a or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct sapplique sur les valeurs propres etc.Les puissance entire permettent de reprsenter sin a or les produits entiers de A avec vect propre 1 fois vecteur propre 2 = 0 ? fct sapplique sur les valeurs propres etc.

    15. I-15 Intgration par parties (intgrale de volume)

    16. I-16 Intgration par parties

    17. I-17 Intgration par parties (intgrale de surface)

    18. I-18 Coordonnes cylindriques

    19. I-19 Exemple Problme axisymtrique

    20. I-20 Coordonnes sphriques

    21. I-21 Exemple Problme sphrique

    22. I-22 Coordonnes curvilignes

    23. I-23 Cas des coordonnes cylindriques

    24. I-24 Cas des coordonnes cylindriques

    25. I-25 vecteur: Coordonnes cartsiennes V = Vi ei Coordonnes curvilignes V = V? e? tenseur: Coordonnes cartsiennes Tijk... Coordonnes curvilignes T???... Coordonnes curvilignes

    26. I-26 Oprateurs diffrentiels

    27. I-27 Coordonnes cylindriques Oprateurs diffrentiels

    28. I-28 Coordonnes sphriques Oprateurs diffrentiels

    29. I-29 Oprateurs diffrentiels

    30. I-30 Coordonnes cylindriques: gr=1 ; g?=r ; gz=1 Coordonnes sphriques: gr=1 ; g?=r sin? ; g? =r Oprateurs diffrentiels

    31. I-31 Problmes plans (2 D) Indices latins: i = 1,2 Indices grec: ? = a,b Coordonnes cylindriques ou polaires r,q Croix des valeurs principales limite 2 branches

    32. Chapter I Elements of tensor calculus End

    33. Chapitre II Statique des solides dformables

    34. Force Grandeur physique -Direction -Sens -Intensit Tenseur dordre 1, Vecteur Unit: Newton N souvent des kN soit 1000N II-34 1 petit bonhomme qui tire sur un Pieux un clou quon enfonce un coup de poing une masse de 1kg exerce une force de 10 N rflchir prendre mon poids de vannerie Ordre de grandeur en tte 1k sucre 10N votre poids 580N 1 tonne 10 000N 10kN donc une presse de 40 tonnes cest une presse de 400KN 1 petit bonhomme qui tire sur un Pieux un clou quon enfonce un coup de poing une masse de 1kg exerce une force de 10 N rflchir prendre mon poids de vannerie Ordre de grandeur en tte 1k sucre 10N votre poids 580N 1 tonne 10 000N 10kN donc une presse de 40 tonnes cest une presse de 400KN

    35. Moment dune force Raction ingnieur Force en B, Moment par rapport A ? II-35

    36. Moment dune force Force en B, Moment par rapport A ? vecteur M II-36

    37. II-37 Moment dune Force Par rapport lorigine O des axes

    38. II-38 Moment dune Force Par rapport laxe est un scalaire Projection sur laxe du moment par rapport un point de

    39. II-39 Moment dune Force Si est laxe On retrouve les composantes du moment par rapport lorigine

    40. II-40 Moment dune Force Si est laxe

    41. II-41 Moment dune Force

    42. II-42 Moment dune Force

    43. Moment dun couple = Couple Soient Direction // Sens oppos Mme intensit F Couple II-43

    44. Moment dun couple Couple II-44

    45. Cours de mcanique du solide dformable Etude dun corps solide sous laction de sollicitations diverses Sollicitations exprimes par des formules mathmatiques II-45

    46. Cours de mcanique du solide dformable La matire est continue Vide entre, dans Atome Molcule On regarde les choses de loin Approche macroscopique II-46

    47. Force sur un volume Volume soumis un champ de forces Soit O lintrieur de II-47

    48. II-48 Chargements ou sollicitations exerces sur des solides

    49. Force sur une surface Surface soumise un champ de forces Soit O sur cette surface II-49

    50. II-50 Chargements ou sollicitations exerces sur des solides Mon pied fait 160 cm mes 2 pieds 32000 mm Mon poids 580 N ?0,464 Mpa 1 cube d1 m fait 1 tonne ou 10KN sur 10KN/m 0,01 MpaMon pied fait 160 cm mes 2 pieds 32000 mm Mon poids 580 N ?0,464 Mpa 1 cube d1 m fait 1 tonne ou 10KN sur 10KN/m 0,01 Mpa

    51. II-51 Chargements ou sollicitations exerces sur des solides

    52. II-52 Sollicitation dun solide Btiment sur le sol grand distance OK si effet sur la colline mais pas sur la fondation locale contact de la roue dun train sur une rail pour le talus cest une charge concentre pour lusure de la rail pas OK (voir chap 7)Btiment sur le sol grand distance OK si effet sur la colline mais pas sur la fondation locale contact de la roue dun train sur une rail pour le talus cest une charge concentre pour lusure de la rail pas OK (voir chap 7)

    53. II-53 Sollicitation dun solide

    54. II-54 Equilibre global dun solide

    55. II-55 Equilibre global dun solide

    56. II-56 Equilibre global dun solide LivreLivre

    57. II-57 Equilibre global dun solide

    58. II-58 Ractions dappui Exemple Btiment pont barrageExemple Btiment pont barrage

    59. II-59 Ractions dappui Exemple Btiment pont barrageExemple Btiment pont barrage

    60. II-60 Ractions dappui Exemple Btiment pont barrageExemple Btiment pont barrage

    61. II-61 Raction dappui

    62. Calcul de lquilibre Connu Charges appliques Poids propre Pression du vent, de leau . Inconnu Ractions dappui II-62

    63. Calcul de lquilibre 6 quations dquilibre 6 inconnues : solide isostatique >6 inconnues: solide hyperstatique <6 inconnues: solide hypostatique II-63

    64. II-64 Calcul de lquilibre: principe de la coupe

    65. II-65 Calcul de lquilibre: principe de la coupe

    66. II-66 Calcul de lquilibre: principe de la coupe

    67. II-67 Calcul de lquilibre: principe de la coupe

    68. II-68 Calcul de lquilibre: principe de la coupe

    69. II-69 Calcul de lquilibre: principe de la coupe Forces interne en comic sans tm et les autres c est des variables FIN DE LA LECON 3 Forces interne en comic sans tm et les autres c est des variables FIN DE LA LECON 3

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